Экстраполяция и интерполяция
Лекции.Орг

Поиск:


Экстраполяция и интерполяция




Исследование динамических рядов социально-экономических явлений, определения закономерности их развития во времени создают основу для статистического прогнозирования (экстраполяции) и интерполяции изучаемого явления.

Экстраполяция в динамике предполагает распространение полученных выводов, полученных в прошлом на будущее время. При этом предполагается, что закономерность развития, динамического ряда сохраняется в будущем.

Самый простой метод экстраполяции это применение средних характеристик ряда динамики: среднего абсолютного прироста и среднего темпа роста.

Более часто применяют экстраполяцию динамического ряда по аналитически выровненным рядам.

После того как по фактическому динамическому ряду выявлен тренд (выровненный ряд, отражающий тенденцию развития) экстраполяцию можно провести двумя методами:

1. графический метод. Заключается в построении точного графика выровненного динамического ряда, на котором линию полученного тренда продлевают до интересующей нас даты.

2. аналитический метод. При данном методе в рассчитанное аналитическое уравнение подставляют номер интересующего нас периода.

Выявление основной тенденции развития дает возможность определять также значение недостающего члена ряда – интерполяция. Также проводится графическим и аналитическим методом.

 

Пример 6.1. По району имеются данные о количестве правонарушений на 10000 человек, за ряд лет  (табл. 6.1).

 

Таблица 6.1

Год Год
1997 19 2002 20
1998 17 2003 21
1999 18 2004 16
2000 20 2005 17
2001 21 2006 20

 

Рассчитать:

1. Показатели динамики:

· абсолютный прирост (цепной и базисный);

· темп роста (цепной и базисный);

· темп прироста (цепной);

· абсолютное значение 1% прироста;

· средние показатели динамики.

Решение.

1. Рассчитаем показатели динамики, результаты занесем в табл. 6.2.

По полученным результатам рассчитаем средние показатели динамики.

Средний абсолютный прирост рассчитывается как:

.

где - количество абсолютных приростов.

 


Таблица 6.2

Год

Количество правонарушений.

Абсолютный прирост

Темп прироста

Темп прироста Абсолютное значение 1% прироста
цепной базисный цепной базисный цепной цепного
1997 19 - - - - - -
1998 17 -2 -2 89,47 89,47 -10,53 0,19
1999 18 1 -1 105,88 94,74 5,88 0,17
2000 20 2 1 111,11 105,26 11,11 0,18
2001 21 1 2 105,00 110,53 5,00 0,20
2002 20 -1 1 95,24 105,26 -4,76 0,21
2003 21 1 2 105,00 110,53 5,00 0,20
2004 16 -5 -3 76,19 84,21 -23,81 0,21
2005 17 1 -2 106,25 89,47 6,25 0,16
2006 20 3 1 117,65 105,26 17,65 0,17

 


Средний коэффициент роста рассчитывается как:

– число коэффициентов роста.

Средний темп роста рассчитывается как:

Средний темп прироста рассчитывается как:

Среднее абсолютное значение 1% среднего прироста рассчитывается как:

 

Пример 6.2. По району имеются данные о количестве правонарушений на 10000 человек, за ряд лет (табл. 6.3).

 

Таблица 6.3

Год Количество правонарушений.
1998 16
1999 18
2000 20
2001 21
2002 20
2003 21
2004 23
2005 27
2006 20

 

Необходимо:

1. Провести выравнивание динамического ряда.

а) методом средних скользящих;

б) аналитическое выравнивание по линейной функции, и по функции параболы второго порядка.

2. Провести экстраполяцию на 2007 год.

Решение.

1. Проведем выравнивание динамического ряда.

а) Метод средних скользящих. Для выравнивания динамического ряда методом средних скользящих рассчитаем средние уровни за определенное количество лет (в нашем случае возьмем три года) со сдвигом на одну дату.

    

   

 

И т.д. результаты занесем в табл. 23.

б) Аналитическое выравнивание динамического ряда по прямой. Линейная функция динамического ряда имеет вид:

Рассчитаем неизвестные параметры уравнения и  при помощи системы уравнений:

Назначим точку отсчета, при которой сумма показателей времени исследуемого динамического ряда будет равна нулю ( ) (табл. 22).

Сократим систему уравнений:

отсюда

и

В таблице 6.4 рассчитаем все необходимые значения для определения параметров уравнения.

 

Таблица 6.4

Год Средняя скользящая
1998 16   -4 16 -64 16,465
1999 18 18,00 -3 9 -54 17,682
2000 20 19,67 -2 4 -40 18,899
2001 21 20,33 -1 1 -21 20,116
2002 20 20,67 0 0 0 21,333
2003 21 21,33 1 1 21 22,550
2004 23 23,67 2 4 46 23,767
2005 27 25,33 3 9 81 24,984
2006 26   4 16 104 26,201
Итого 192   0 60 73  

 

Рассчитаем:

 

Подставим полученные значение в уравнение:

Подставляя в полученные уравнения значения  рассчитаем теоретические значения :

И т.д. результаты занесем в таблицу 22.

2. Проведем экстраполяцию на 2007 год. Номер t для 2007 г. будет 5. Подставим данные номера в уравнение линейного тренда и проведем прогнозирование на данный период.

Для 2007 г:

 

Пример 6.3. По району имеются данные о количестве правонарушений на 10000 человек, за ряд лет (табл. 6.4).

 

Таблица 6.4

Год Количество правонарушений.
1998 7
1999 8
2000 11
2001 10
2002 12
2003 14
2004 10
2005 13
2006 11

 

Провести выравнивание динамического ряда по параболе второго порядка.

Решение.

Аналитическое уравнение параболы второго порядка имеет вид:

Для расчета параметров уравнения используем систему уравнений:

.

Приравняв  система сократится:

Рассчитаем все возможные значения в табл. 6.5

 

Таблица 6.5

Год надой

1998 7

-4

16 256

-28

112

6,80

1999 8

-3

9 81

-24

72

8,60

2000 11

-2

4 16

-22

44

10,04

2001 10

-1

1 1

-10

10

11,13

2002 12

0

0 0

0

0

11,86

2003 14

1

1 1

14

14

12,23

2004 10

2

4 16

20

40

12,24

2005 13

3

9 81

39

117

11,90

2006 11

4

16 256

44

176

11,20

Итого 96 0 60 708 33 585  

 

Из уравнения (5) рассчитаем:

Останется система из двух уравнений:

 подставим значения

Рассчитаем параметр , исключив из системы параметр , для этого:

а) разделим 7-е и 8-е уравнения на коэффициенты, стоящие при , т.е. 7-е на 9, а 8-е на 60.

Таким образом, коэффициенты, стоящие при , будут равны единице.

б) далее из 8-го сокращенного уравнения вычтем 7-е сокращенное уравнение, исключив таким образом .

Получится уравнение с одним неизвестным :

Подставим параметры  и  в 1-е уравнение и рассчитаем параметр .

Подставим значение параметров в уравнение :

Подставляя значение и  рассчитаем значения .

Пример 6.4. За ряд лет по хозяйству имеются данные о сдельной среднемесячной заработной плате (табл. 6.6).

 

Таблица 6.6

Месяц

Год

2004г 2005г 2006г
Январь 7,28 8,52 5,46
Февраль 7,54 9,12 5,88
Март 8,06 7,80 6,93
Апрель 6,76 7,44 4,62
Май 6,50 7,20 3,78
Июнь 6,11 6,72 3,99
Июль 4,16 6,12 3,32
Август 6,50 7,68 6,72
Сентябрь 8,19 7,80 6,72
Октябрь 8,97 7,80 7,77
Ноябрь 9,10 8,16 8,19
Декабрь 10,14 8,28 9,87

 

Необходимо выявить сезонность изменений среднемесячной оплаты труда, предварительно проведя аналитическое выравнивание динамического ряда по прямой или по другой более подходящей функции.

Решение. Проведем выравнивание динамического ряда по прямой (табл. 26).

Рассчитаем параметры уравнения (см. пример 6.7).

 

 

Таблица 6.7

Месяц
А 1 2 3 4 5
Январь 7,28 -35 1225 -254,80 7,63
Февраль 7,54 -33 1089 -248,82 7,60
Март 8,06 -31 961 -249,86 7,57
Апрель 6,76 -29 841 -196,04 7,54
Май 6,50 -27 729 -175,50 7,51
Июнь 6,11 -25 625 -152,75 7,48
Июль 4,16 -23 529 -95,68 7,45
Август 6,50 -21 441 -136,50 7,42
Сентябрь 8,19 -19 361 -155,61 7,39
Октябрь 8,97 -17 289 -152,49 7,35
Ноябрь 9,10 -15 225 -136,50 7,32
Декабрь 10,14 -13 169 -131,82 7,29
Январь 8,52 -11 121 -93,72 7,26
Февраль 9,12 -9 81 -82,08 7,23
Март 7,80 -7 49 -54,60 7,20
Апрель 7,44 -5 25 -37,20 7,17
Май 7,20 -3 9 -21,60 7,14
Июнь 6,72 -1 1 -6,72 7,10
Июль 6,12 1 1 6,12 7,07
Август 7,68 3 9 23,04 7,04
Сентябрь 7,80 5 25 39,00 7,01
Октябрь 7,80 7 49 54,60 6,98
Ноябрь 8,16 9 81 73,44 6,95
Декабрь 8,28 11 121 91,08 6,92
Январь 5,46 13 169 70,98 6,89
Февраль 5,88 15 225 88,20 6,85
Март 6,93 17 289 117,81 6,82
Апрель 4,62 19 361 87,78 6,79
Май 3,78 21 441 79,38 6,76
Июнь 3,99 23 529 91,77 6,73
Июль 3,32 25 625 83,00 6,70
Август 6,72 27 729 181,44 6,67
Сентябрь 6,72 29 841 194,88 6,64
Октябрь 7,77 31 961 240,87 6,61
Ноябрь 8,19 33 1089 270,27 6,57
Декабрь 9,87 35 1225 345,45 6,54
Итого 255,20 0 15540 -243,18  

Подставляя значение в полученное уравнение рассчитаем значения .

 

Рассчитаем индексы сезонности (табл. 6.8):

 

Таблица 6.8

Месяц Индексы сезонности
Январь 7,28 7,63 0,9535
Февраль 7,54 7,60 0,9916
Март 8,06 7,57 1,0644
Апрель 6,76 7,54 0,8964
Май 6,50 7,51 0,8655
Июнь 6,11 7,48 0,8170
Июль 4,16 7,45 0,5586
Август 6,50 7,42 0,8764
Сентябрь 8,19 7,39 1,1090
Октябрь 8,97 7,35 1,2197
Ноябрь 9,10 7,32 1,2427
Декабрь 10,14 7,29 1,3906
Январь 8,52 7,26 1,1735
Февраль 9,12 7,23 1,2615
Март 7,80 7,20 1,0836
Апрель 7,44 7,17 1,0381
Май 7,20 7,14 1,0090
Июнь 6,72 7,10 0,9459
Июль 6,12 7,07 0,8652
Август 7,68 7,04 1,0906
Сентябрь 7,80 7,01 1,1126
Октябрь 7,80 6,98 1,1175
Ноябрь 8,16 6,95 1,1744
Декабрь 8,28 6,92 1,1970
Январь 5,46 6,89 0,7929
Февраль 5,88 6,85 0,8578
Март 6,93 6,82 1,0156
Апрель 4,62 6,79 0,6802
Май 3,78 6,76 0,5591
Июнь 3,99 6,73 0,5929
Июль 3,32 6,70 0,4956
Август 6,72 6,67 1,0078
Сентябрь 6,72 6,64 1,0126
Октябрь 7,77 6,61 1,1763
Ноябрь 8,19 6,57 1,2458
Декабрь 9,87 6,54 1,5085
Итого     35,999278

Рассчитаем средний индекс сезонности:

 

Большое значение индекса сезонности указывает на наличие сезонных колебаний.





Дата добавления: 2018-10-14; просмотров: 86 | Нарушение авторских прав | Изречения для студентов


Читайте также:

Рекомендуемый контект:


Поиск на сайте:



© 2015-2020 lektsii.org - Контакты - Последнее добавление

Ген: 0.021 с.