Случайные величины и их распределения

Случайным называют такое явление, которое при неоднократном его вос­произведении протекает каждый раз несколько по-иному, т. е. факторы, влияющие на явление, определены неполностью. Случайная величина — это такая переменная величина, которая в зависимости от случайного исхода некоторого эксперимента может принять одно из своих возможных значе­ний, но неизвестно, какое именно. Обычно случайные величины обознача­ются прописными буквами конца латинского алфавита: X, Y, Z. Возможные значения случайных величин обозначаются соответствующими строчными

буквами. Числовое значение х, которое приняла случайная величина Х в ка­ком-либо конкретном эксперименте, называется реализацией этой случай­ной величины. Множество всех значений, которые может принимать слу­чайная величина X, называется областью возможных значений X.

Случайное событие, состоящее в том, что случайная величина примет какое-либо определенное значение, записывается в виде равенств или неравенств. Например, запись Х=х обозначает случайное событие, состоящее в том, что случайная величина X примет значение х, запись а < Y < b обозначает событие, состоящее в том, что случайная величина Y примет какое-нибудь значение из интервала [а, b ].

Самой полной характеристикой случайной величины является закон ее рас­пределения. Законом распределения случайной величины называется любое соотношение, устанавливающее связь между возможными значениями слу­чайной величины и вероятностями, соответствующими этим значениям. Наиболее употребительным законом распределения случайной величины является ее функция распределения.

Функция F (x) распределения случайной величины X (иногда называемая интегральной функцией распределения вероятностей) — это такая функция вещественной переменной х, значение которой при каждом х равно вероят­ности выполнения неравенства Х< х, т. е. F (x) определяется для каждого х следующим образом:

F (x) = Р{Х < х) для -оo < х < oo,

где Р(Х< х) — вероятность события Х< х. Иными словами, F (x) — это веро­ятность того, что после выполнения эксперимента случайная величина X получит значение, не превышающее число х. Функция распределения F (x) имеет следующие свойства:

□ для всех значений х:

0< F (x)< 1;

□ F (x) является неубывающей функцией, т. е.:

Люб(x_b x ₂: x_t < x ₂): F (x ₁) < F (x ₂);

□ F (x) изменяется от 0 до 1:

Lim x-->-oo F(x) = 0, lim x-->oo F(x) = 1.

Если случайная величина X принимает значения только из конечного или счетного множества, она называется дискретной. Вероятность, с которой дискретная величина X принимает значение х), определяется так:

р(хд = Р(Х=х i), i = 1,2,...,

причем выполняется равенство:

Функция распределения дискретной случайной величины X в соответствии с данным ранее определением запишется так:

В имитационном моделировании обычно используются случайные величи­ны, множество возможных значений которых составляет непрерывный ин­тервал. Будем говорить, что случайная величина X является непрерывной, если существует неотрицательная функция J { x), которая определена для всех вещественных значений х и имеет следующее свойство: для любого множе­ства С вещественных чисел справедливо:

с дополнительным условием

Функция / называется плотностью распределения (вероятностей) случайной величины X. Функция F распределения случайной величины X определится теперь так:

С некоторыми допущениями можно считать, что f (x) — это производная функции F (x) (рис. 10.1).

В частности, если а и b — любые вещественные числа, для которых а < = b, и / = [а, b ] — интервал вещественных чисел, то справедливо соотношение (рис. 10.2):

Метод Монте - Карло

Способ имитационного моделирования процессов с помощью генерации последовательностей случайных величин получил общее название метод Монте-Карло, поскольку именно рулетка является одним из самых старых генераторов случайных чисел. Метод Монте-Карло используется не только для анализа систем в условиях неопределенности. Рассмотрим одно из са­мых простых применений этого метода для определения вполне детермини­рованной величины — для вычисления значения числа я. Возьмем квадрат со стороной 2R, тогда его площадь 4R². Площадь вписанной в этот квадрат окружности равна ПиR². Отношение площади окружности к площади квадра­та равно я/4. Построим имитационную модель, которая дает возможность вычислить число я с любой требуемой точностью, так. Будем генерировать пару случайных чисел в интервале [- R, R ] с помощью генератора случайных чисел с равномерным распределением и рассматривать эти числа как пары

координат { X, Y) случайной точки. Отношение числа точек, которые попа­дут внутрь вписанной окружности (т. е. тех, у которых X ² + Y ² < R ²), к чис­лу всех сгенерированных точек внутри квадрата, будет приближаться к числу л/4. Построим такую модель в AnyLogic.

Создайте новый проект chisloPi. В окне редактора корневого активного объекта Main введите один параметр в (радиус вписанной окружности) со значением 100 и две переменные: n — число сгенерированных случайных точек и NOval — число точек, которые попадают внутрь вписанной окруж­ности. Их начальные значения установите 0. Кроме того, введите перемен­ную EstPi, которая будет подсчитывать оценку числа п в процессе модели­рования, а также переменную Err, которая будет отражать относительную погрешность оценки. Все эти переменные вещественные.

Задача нашей имитационной модели — многократно генерировать случай­ные координаты точки в интервале (-R, R), добавлять в переменную NOval единицу, если очередная точка попадает внутрь окружности радиуса R, и подсчитывать оценку числа я по формуле EstPi=4*NOval/N. Организуем ге­нерацию точек с помощью циклического статического таймера. За каждый шаг по времени для быстроты будем генерировать сразу 100 точек. Введите таймер в поле редактора модели, и в поле Действие при срабатывании окна Свойств таймера введите следующий код:

for (int i=0; i<100; i++) {

N++;

double X = uniform) -R, R); // генерируем случайные координаты

double Y = uniform) -R, R);

if(X*X + Y*Y < R*R) // если точка попадает внутрь окружности,
NOval++;                                  // то увеличиваем NOval

}

EstPI = 4*NOval/N;                                             // подсчитываем оценку числа л

2rr = abs(Math.PI - EstPI)/Math.PI; // подсчитываем ошибку

Для вычисления ошибки здесь в качестве точного значения числа п исполь­зуется константа pi класса Math языка Java.

Соответствующая модель с именем chisloPi находится в папке ModelExamples\Part II. Для наглядности в этой модели добавлена анимация с именем animation, и в код Действие при срабатывании окна свойств тай­мера добавлены следующие операторы:

ShapeOval dot = new ShapeOval(X, Y, 1.); // порождается новый

//графический объект - окружность радиуса 1 с координатами X, Y dot.setLineColor(color); //у окружности устанавливаем цвет color dot.setFillColor(color); // это цвет заливки и цвет линии animation.add(dot); // эта точка добавляется в анимацию

Цвет color устанавливается либо красным, если точка попадает в o вписан­ную окружность, либо синим в противном случае. После запуска модели вы увидите результат, представленный на рис. 10.3.

Состояние модели, представленное на рис. 10.3, показывает, что прошло 3000 испытаний. При случайной генерации внутрь окружности радиуса R попали 2356 точек. Это определяет значение Пикак 4*2356/3000 = 3.1413(3). Относительная погрешность определения числа Пи равна 8*10^-5, т. е. менее одной сотой процента.