Анализ в условиях неопределенности

При построении упрощенной модели реального явления с помощью абстра­гирования всегда выделяются определяющие факторы. Остальные, второсте­пенные факторы можно считать случайными воздействиями на исследуемое

явление. Если такое воздействие незначительно и им можно пренебречь при анализе модели, мы получаем детерминированную модель. Однако часто многочисленные второстепенные факторы играют заметную роль в явлении, и их влиянием на характеристики системы пренебречь нельзя.

С теоретической точки зрения случайные факторы ничем не отличаются от тех, которые выделены в модели в качестве "основных". Повышая точность модели, учитывая все новые и новые факторы, в принципе можно строить модели, в которых влияние неопределенности совершенно незначительно. Оказывается, однако, что этот путь стратегически неверен: такая модель, как правило, будет и чрезмерно громоздкой, и менее общей, в ней все будет те­ряться в обилии деталей и в сложности их сочетаний. Нельзя рассматривать явление в микроскоп и при этом сохранять общность и широкое поле зре­ния. Важно уметь разрабатывать и анализировать модели, в которых некото­рые факторы являются неопределенными.

Учет влияния неопределенных факторов на характеристики модели возмо­жен, если это влияние обладает своего рода устойчивостью. Существуют многочисленные примеры того, что изменения характеристик системы под влиянием неучтенных факторов хотя и является случайным, непредсказуе­мым в каждом конкретном случае, но подчиняется вполне определенным закономерностям при многократных воспроизведениях анализируемого явле­ния. Такие неопределенные, непредсказуемые характеристики системы, подчиняющиеся устойчивым закономерностям при многократных воспроиз­ведениях, называются случайными величинами. Эти закономерности изуча­ет математическая статистика.

Одним из самых ранних доказательств применимости математической ста­тистики к случайным явлениям был анализ распределения числа смертель­ных случаев в прусской армии, которые произошли из-за брыкания лоша­дей [JW54]. В прусской армии в течение нескольких лет с 1875 г. велся учет смертельных случаев, произошедших по этой причине. Всего произошло 122 случая. Из 200 наблюдаемых месяцев в одном из них произошло 4 смертельных случая, в трех месяцах случилось по 3 таких события, в 22 меся­цах было зафиксировано по 2 случая, и в 65 месяцах произошло по 1 слу­чаю. Остальные 109 месяцев прошли без смертей.

Трудно представить себе модель, описывающую поведение прусских кавале­ристов, поведение их лошадей и взаимоотношения тех и других. Однако оказывается, что только в предположении, что смерти в прусской армии из-за брыкания лошадей — события редкие и независимые, можно считать, что моменты наступления анализируемых событий являются случайными вели­чинами, которые распределены во времени по закону Пуассона. Поэтому можно теоретически вычислить количество месяцев, в которых произошло определенное число подобных случаев. Таблица 10.1 дает сравнение наблю­даемых и вычисленных значений.

Удивительны совпадения, полученные на основе статистики в этом и во многих других примерах. В настоящее время статистический анализ широко используется во всех случаях, когда некоторые факторы исследуемых систем являются случайными величинами с устойчивыми значениями их характе­ристик при многократных воспроизведениях. Имитационное моделирова­ние, в котором многократное воспроизведение событий реализуется очень просто, оказывается естественным методом исследования подобных систем. Имитационное моделирование наиболее широко используется в анализе систем обслуживания, в которых важно не рассмотрение отдельных единич­ных фактов, детальное описание которых невозможно, а именно анализ многократно повторяющихся операций для потоков обслуживаемых заявок, характеристики обслуживания которых являются случайными величинами. В нескольких рассмотренных ранее моделях уже использовались случайные величины. Это, например, интервалы между поступлениями вызовов на те­лефонную станцию, длительность разговоров, время обслуживания клиента в банке и др. Рассмотрим несколько более строго, что такое случайная ве­личина и как ее можно задать.