Знайти тангенси кутів нахилу дотичної до кривої у = х 2 у точках М 1(½; ¼), М 2(–1; 1) (рис. 5.6).
Рис. 5.6
· Згідно з (10) дістаємо:
За формулою похідної степеневої функції маємо: 
.
Отже,
·
5.1.15. Рівняння дотичної та нормалі до кривої
Розглянемо рівняння кривої у = f (x) (рис. 5.7). Візьмемо на кривій точку М (х 1, у 1) і запишемо рівняння дотичної до цієї кривої в точці М, припускаючи, що дотична не паралельна жодній координатній осі.
Рівняння кривої, що має кутовий коефіцієнт k і проходить через точку М, набирає вигляду
.
Для дотичної 
, тому рівняння дотичної буде таке:
Поряд із дотичною до кривої розглядають і її нормаль.
Означення. Нормаллю до кривої в даній точці називається пряма, яка проходить через цю точку і перпендикулярна до дотичної в ній.
Рис. 5.7
Із означення нормалі випливає, що її кутовий коефіцієнт k норм пов’язаний із кутовим коефіцієнтом k дотичної рівністю
, тобто
Отже, дістаємо рівняння нормалі до кривої у = f (x) у точці
М (х 1, у 1):
Написати рівняння дотичної та нормалі до кривої
у = х 3 у точці М (1; 1).
· Оскільки у ¢ = 3 х 2, то кутовий коефіцієнт дотичної
.
Отже, згідно з (1) рівняння дотичної буде таке:
, або 
.
Рівняння нормалі:
, або 
(рис. 5.8).
Рис. 5.8
5.1.16. Економічний зміст похідної.
Еластичність
Означення. Еластичністю функції у = f (x) називається границя відношення відносного приросту функції до відносного приросту аргументу х при D х ® 0.
Позначення: 
Інтерпретація еластичності.
Еластичність функції показує наближено, на скільки відсотків зміниться функція у = f (x) у разі зміни незалежної змінної х на 1%:
.
1) Якщо 
, то функція називається нееластичною (відносний її приріст спадає).
2) Якщо 
, то функція називається еластичною (відносний приріст її зростає).
Геометрична ілюстрація
Рис. 5.9 Рис. 5.10
Функція нееластична 
(рис. 5.9).
Функція еластична 
(рис. 5.10).
Властивості.
1. 
.
2. 
.
3. 
.
Еластичність елементарних функцій.
1. Еластичність степеневої функції 
стала і дорівнює показнику степеня a: 
. Справді:
.
2. Еластичність показникової функції 
пропорційна до х: 
. Справді,
.
3. Еластичність лінійної функції 
:
.
Справді,
.
Якщо графік лінійної функції має від’ємний нахил (а < 0), то еластичність функції змінюється від нуля в точці ym перетину графіком осі y до мінус нескінченності (– ¥) у точці перетину осі х, проходячи через значення (– 1) у середній точці. Отже, хоча пряма має сталий нахил, її еластичність залежить не лише від нахилу, а й від того, в якій точці х ми цю еластичність визначаємо (рис. 5.11).
Рис. 5.11
Функція з нескінченною еластичністю в усіх точках називається цілком еластичною, а з нульовою еластичністю в усіх точках — цілком нееластичною.
