Похідні тригонометричних функцій

Похідна

Під час вивчення економічних понять, таких, наприклад, як попит, витрати виробництва, національний прибуток, часто доводиться визначати швидкість зміни значень відповідних величин. Розв’язуючи такі задачі, застосовують методи диференціального числення.

5.1.1. Поняття похідної

Нехай у = f (x) є неперервна функція аргументу х, визначена на інтервалі (a, b). Візьмемо деяке значення незалежної змінної х і надамо її деякого приросту D х. Тоді функція y = f (x) набуде приросту

D у = f (x + D x) – f (x) (рис. 5.1).

Означення. Відношення приросту D у функції у = f (x) до приросту незалежної змінної х називається диференціальним відношенням:

(1)

Рис. 5.1

Відношення є тангенсом кута нахилу січної до осі Ох. При січна прямує до дотичної в точці Р. Тангенсом кута a нахилу дотичної до осі Ох при цьому буде границя відношення

.

Означення.

Функція у = f (x) називається диференційовною в точці х = х 0, якщо існує границя .

(2)

Значення границі при цьому називається похідною функції
у = f (x) у точці х ₀ і позначається

Позначення. =

 

Означення. Функція називається диференційовною на інтервалі І, якщо вона диференційовна в кожній точці х цього інтервалу.

Кожному значенню х із області диференційовності функції f (x) ставиться у відповідність її похідна в точці х. Отже, дістаємо похідну функцію, яку позначаємо f ¢ (x). Дія відшукання похідної функції f (x) називається диференціюванням.

Розглянемо функцію і знайдемо диференціальне відношення та похідну цієї функції.

Рис. 5.2

· Диференціальне відношення визначаємо за формулою (1):

.

Похідну знаходимо за (2): . ·

5.1.2. Похідні основних
елементарних функцій

Похідна степеневої функції

.

¨ Диференціальне відношення (1) має такий вигляд:

.

Згідно з наслідком 5 із підрозд. 4.2.6 маємо:

.

Отже, = ¨

Похідна показникової функції

¨ Диференціальне відношення (1) дорівнює

.

Згідно з наслідком 4 із підрозд. 4.2.6 маємо:

.

Отже,

.

У частинному випадку при а = е дістаємо:

. ¨

Похідна логарифмічної функції

¨ Записуємо диференціальне відношення (1):

Користуючись другою визначною границею, дістаємо

.

Отже, при шукана похідна подається так:

Зокрема, коли а = е, маємо:

. ¨

Похідні тригонометричних функцій

¨ 1. Для функції у = sin x диференціальне відношення (1) подається так:

.

Згідно з першою визначною границею маємо:

.

Отже,

.

2. Аналогічно для функції у = cos x дістаємо:

3. Для функції у = tg х диференціальне відношення (1) набуває вигляду:

Згідно з наслідком 1 і п. 4.2.5 .

Отже,

.

4. Аналогічно для функції у = ctg x записуємо:

¨

5.1.3. Правила диференціювання

Правило 1. Похідна сталої дорівнює нулеві (сonst)¢ = 0.

¨ (рис. 5.3). ¨

Рис. 5.3

(7)¢ = 0; (– 100)¢ = 0.

Правило 2. Якщо u — будь-яка диференційовна функція від х і с — довільна стала, то (cu) ¢ = cu ¢.

¨

· ·

Правило 3. Якщо u та v — диференційовні функції від х, то їх сума u + v є диференційовною функцією: . Аналогічно, похідна суми будь-якого скінченного числа диференційовних функцій дорівнює похідним цієї функції: .

¨ Нехай у = u + v. Якщо D u і D v — прирости функцій u та v відносно приросту D х аргументу х, то приріст функції у такий:

.

Остаточно маємо:

¨

Знайти похідну функції .

· .·

Правило 4.Добуток двох диференційовних функ­цій u та v є диференційовною функцією .

¨ Нехай у = uv, де u і v — диференційовні функції від х; ∆ х — приріст аргументу х; D u і D v — прирости u і v. Тоді приріст функції у буде такий:

(рис. 5.4).

Рис. 5.4

Отже,

.

Коли D х прямує до нуля, маємо:

.

Тоді

¨

Похідна добутку n функцій:

(3)

Знайти у ¢, якщо у = (х ² +1) ln x.

· .

Правило 5. У точках, в яких , відношення двох дифе­ренційовних функцій є функція диференційовна, причому .

¨ Розглянемо точки, в яких виконуються умови: ; u i v — диференційовні.

Нехай х набуває приросту D х; D у, D u, D v — відповідні прирости функцій у, u і v.

Якщо в точці х, , коли D х близьке до нуля. Тоді виконується рівність

.

Віднімаючи від неї вираз , дістаємо:

,

або

.

Якщо D х прямує до 0, маємо:

. ¨

Знайти у ¢, якщо .

·

. ·

5.1.4. Похідна оберненої функції

Теорема 1. Якщо функція у = f (x) монотонна й має в точці х відмінну від нуля похідну, то функція, обернена до даної, подається у вигляді х = g (y) і має похідну х = g (y), обернену до похідної даної функції:

. (4)

Доведення. Нехай D у — приріст змінної у, а D х — відповідний приріст змінної х. Тоді

.

Звідси

.

Оскільки обернена функція також неперервна, дістаємо

.

Отже,

. ¨

Похідні обернених тригонометричних функцій:

¨ Якщо , то для функцій оберненими є відповідно такі:

За теоремою 1 маємо:

;

;

;

. ¨

5.1.5. Похідна складної функції

Правило 6.

Теорема 2. Похідна складної функції : — правило ланцюга.

Доведення. Позначимо u = j(х). Тоді у = f (u). Знайдемо прирости функцій у = f (u), u = j(x):

Далі запишемо диференціальне відношення (1):

Коли то й . Тому

. ¨

Задана функція у = f (x). Знайти у ¢.

1) ; 2) ; 3) .

· 1) За формулою (5) маємо:

2) Візьмемо: . Тоді за правилом 4

.

Функції і — складні. Згідно з (5) маємо:

.

3) Нехай і . Тоді за правилом 5 дістаємо:

.

Похідні функцій arctg x ³ і обчислюємо за формулою (5):

;

¨

5.1.6. Логарифмічна похідна

Нехай у = f (x) диференційовна функція. Тоді можемо записати

(6)

¨ При f (x) > 0, безпосередньо маємо (6); при f (x) < 0 дістаємо .

Отже,

.¨

Означення. Похідна функції , обчислена за формулою (6), називається логарифмічною похідною f у точці х.

Якщо і , дістаємо такі формули для обчислення логарифмічних похідних функцій F (x) i G (x):

(7)

Знайти логарифмічну похідну функції

.

· Маємо:

.

Далі обчислюємо за формулами:

5.1.7. Похідна неявної функції

Розглянемо диференціювання неявної функції, заданої рівнянням .

Для знаходження похідної функції у, заданої неявно, достат­ньо продиференціювати обидві частини рівняння, розглядаючи у як функцію від х, а потім зі здобутого рівняння знайти похідну у¢.

Знайти похідну функції у, задану рівнянням

.

· Диференціюючи обидві частини рівності і враховуючи, що у є функцією від х, дістаємо:

. ·

5.1.8. Похідна функції, заданої параметрично

Диференціювання параметрично заданої функції грунтується на такій теоремі.

Теорема 3. Нехай виконуються такі умови:

1) функції визначені та неперервні на деякому проміжку І;

2) диференційовні в точці t ₀ Î І;

3) функція х = j(t) є строго монотонною на проміжку І, j¢(t ₀) ¹ 0;

4) t = a(х) — функція, обернена до функції х = j(t). Тоді функція , диференційовна в точці х ₀ = j¢(t ₀) і

або . (8)

Доведення. Оскільки функція є складеною і t = a(х) — функція, обернена до функції х = j(t), то за теоремами 1 і 2 про диференціювання складеної та оберненої функцій дістаємо:

Замінюємо х ₀ на х:

.

де .

Очевидно, похідна параметрично заданої функції є також параметрично заданою функцією, причому її рівняння набирає вигляду

Аналогічно знаходимо похідні вищих порядків:

і т. д.

Наприклад:

.

Знайти похідну функції, заданої параметрично:

1) 2)

· За формулою (8) дістаємо:

1) ; ;

2) ,

. ·

5.1.9. Логарифмічне диференціювання

Правило 7. Якщо функція у = f (x) являє собою добуток кількох множників, то перш ніж диференціювати її, можна прологарифмувати цю функцію.

Знайти у ¢, якщо .

· Прологарифмуємо обидві частини даного рівняння:

.

Продиференціюємо обидві частини останньої рівності:

¨

5.1.10. Похідна показниково-степеневої функції

Означення. Функція називається показниково-степеневою функцією.

Прологарифмуємо рівняння

.

Продиференціюємо обидві частини останнього рівняння:

(9)

 

Правило диференціювання
показниково-степеневої функції:

Щоб знайти похідну показниково-степеневої функції, потрібно спочатку продиференціювати її як показникову, а потім як степеневу функцію. Результати додати

 

Окремі випадки:

1. Нехай функція y = f (x) є показниковою:

, тобто .

Тоді

.

2. Нехай функція у = f (x) є степеневою,

, тобто v (x) = a.

Тоді

Знайти у ¢, якщо у = (х ² + 1)^{sin x} .

¨ 1) .

2) .

3)

. ¨

5.1.11. Похідні вищих порядків

Нехай у = f (x) — деяка диференційовна функція на інтервалі І, причому похідна цієї функції у¢ = f¢(x) також є диференційовною функцією на зазначеному інтервалі. Похідна функції f ¢(x) називається похідною другого порядку функції f і позначається f ¢¢ або f ⁽²⁾. Якщо f ⁽²⁾ диференційовна на інтервалі І, то похідна функції f ⁽²⁾ називається похідною третього порядку функції f (х) і позначається f ⁽²⁾.

Аналогічно, похідною n -го порядку f ⁽ⁿ⁾ функції f (х) за індукцією називається похідна функції f ^{(n- 1)}, якщо вона існує і диферен­ційовна.

Іноді замість позначення f ⁽ⁿ⁾(х) застосовують символ або Dⁿy, Dⁿf (x).

Для функції f (x) = х ⁴ + 2 х ³ + х + 5 знайти похідну n -го порядку.

· f ¢(x) = 4 х ³ + 6 х ² + 1, f ²(x) = 12 х ² + 12 х, f ⁽³⁾(x) = 24 х + 12, f ⁽⁴⁾(x) = 24, f ⁽ⁿ⁾(x) = 0 для n ³ 5. ·

5.1.12. Правила знаходження
похідних n -го порядку

На похідні n -го порядку легко поширюються правила, розглянуті в підрозд. 5.1.3.

Очевидно, виконуються рівності:

Виведемо так звану формулу Лейбніца, яка дає змогу обчислювати похідну n -го порядку від добутку двох функцій u (x) та v (x). Для того щоб вивести цю формулу, знайдемо спочатку кілька похідних, а далі встановимо загальне правило:

Закон утворення похідних зберігається для похідних будь-якого порядку й полягає ось у чому:

Вираз (u + v)ⁿ потрібно розкласти за формулою бінома Ньютона й у здобутому розкладі замінити показники степенів для u та v показниками порядку похідних, причому нульові степені
(u⁰ = v⁰), що входять у крайні члени розкладу, слід замінити самими функціями (тобто похідними нульового порядку):

.

Це є формула Лейбніца.

Зауваження. Повне доведення цієї формули можна подати методом повної математичної індукції [9].

Задано функцію . Знайти її похідну у ⁽ⁿ⁾.

·

,

або

.

5.1.13. Неперервність та диференційовність функції.
Похідні зліва та справа

Твердження. Функція у = f (x), неперервна в точці х ₀, може не бути диференційовною в цій точці.

Пояснення. Розглянемо похідну зліва та справа в точці х ₀:

За означенням:

Функція буде диференційовною в точці x ₀, якщо обидві похідні зліва та справа у зазначеній точці існують і дорівнюють одна одній. Геометрично, умова означає, що графік функції в точці х ₀ має дотичну. Якщо , то в точці х ₀ існують дві різні дотичні, тобто графік у точці х ₀ має вигляд кута. Наприклад, таким є графік функції : у початку координат він являє собою кут, утворений прямими у = х і у = – х. Функція є неперервною в точці х ₀ = 0, але, оскільки , , вона в цій точці х ₀ = 0 не диференційовна.

Рис. 5.10

1. Функція в точці х ₀ = 0 неперервна та диференційовна.

2.

у точці х ₀ = 0 неперервна, але не диференційовна.

3. Функція

для кожного а в точці х = 0 не диференційовна й не неперервна.

5.1.14. Механічний та геометричний
зміст похідної

Джерелом диференціального числення стали, як відомо, два питання:

1) про відшукання швидкості в разі довільного закону руху;

2) про відшукання дотичної до довільної лінії.

Обидва вони привели до однієї й тієї самої обчислювальної задачі, яку було покладено в основу диференціального числення. Ця задача полягає в тому, щоб за даною функцією f(x) відшукати іншу функцію f ¢ (x), яка дістала назву похідної і являє собою швидкість зміни функції f(x) щодо зміни аргументу.

У механіці відповідна задача формулюється так: знайти швидкість тіла, що рухається за законом , у деякий момент часу t. Вважаємо, що відстань S і час t — фізичні величини, які можна вимірювати.

Нехай за час від t до t + D t тіло пройшло шлях s + D s = f (t + D t).

Тоді D s = f (t + D t) – f (t).

Означення.

Середня швидкість Середня швидкість тіла, що рухається вздовж деякої лінії, визначається за формулою .

Щоб знайти миттєву швидкість v такого тіла, потрібно перейти до границі відношення при :

.

Означення.

Миттєва швидкість Миттєвою швидкістю тіла, що рухається вздовж лінії s = f (t), називається похідна функції s = f (t) за часом t: .

Нехай — рівняння вільного руху тіла, g — прискорення його вільного падіння. Знайти миттєву швидкість тіла в будь-який момент часу; у момент часу t = 2 c.

· За означенням маємо

.

Зокрема, якщо t = 2, дістаємо:

. ·

Сформулюємо тепер розглянуту задачу мовою геометрії.

Нехай дано функцію у = f (x), графік якої наведено на
рис. 5.1. Диференціальне відношення дорівнює тангенсу кута b, утвореного січною, що проходить через точки А та В, які мають відповідно абсциси х та х + D х, із додатним напрямом вісі Ох.

Якщо приріст D х ® 0, то точка В прямує до точки А, а кут b —до кута a, утвореного дотичною до розглядуваної кривої в даній точці з додатним напрямом осі Ох. Отже, маємо:

. (10)