векторлар жүйесі берілсін.
векторлар жүйесі үшін бәрі бірдей нөлге тең емес және
теңдігін қанағаттандыратын 
сандары табылса, онда векторларын сызықтық тәуелді векторлар деп атайды. Ал егер 
теңдік тек сандарының барлығы бірдей нөлге тең болғанда ғана орындалса, онда векторлар жүйесі сызықтық тәуелсіз деп аталады.
Егер 
теңдігі орындалатын сандары табылса, онда 
векторы векторларының сызықтық комбинациясы деп аталады.
31. Векторды координат өстердің орттары арқылы жіктеу. Кеңістіктегі тік бұрышты декарттық 
координаталар жүйесін қарастырайық. Ох, Оу, Oz координат өстерінің бойында жатқан бірлік (орт) векторларды сәйкесінше 
деп белгілейік. Сонда реттелген үштік кеңістікте базистік векторлар жүйесін құрайды. Мұндай, базистік векторлар жүйесін ортогональ базистік жүйе (базис) деп атайды 
. 
, себебі үш вектордың қосындысы.
Бұл формула 
вектордың координат өстерінің орттары арқылы жіктелген түрі деп аталады немесе қысқаша 
деп жазады.
32. Вектордың модулі. Екінші жағынан 
= 
, Осыдан 
болғандықтан 
- вектордың модулі (ұзындығы).
Басы А, соңы В нүктесі болатын бағытталған кесінді вектор деп аталады. Оқулықтарда векторларды 
немесе 
, кейде тек қалың әріптермен АВ белгілеу түрлері кездеседі. Сол сияқты векторларды бір әріппен де белгілей береді (
= , 
, а). векторының ұзындығы деп АВ кесіндісінің ұзындығын айтады және 
деп белгілейді. Басы мен соңы беттесетін вектор нолдік вектор деп аталады, 
= 
және ұзындығы нолге тең.Бір түзудің не өзара параллель түзулер бойында орналасқан векторлар коллениар векторлар деп аталады. және 
векторларының қосындысы «үшбұрыш» не «параллелограмм» ережесімен анықталады:
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
және векторларының - айырымы деп -ға қосқанда
|
|
|
|
|
векторы алынатын 
= - векторын айтады.
Басы А, соңы В нүктесі болатын бағытталған кесінді вектор деп аталады. Оқулықтарда векторларды немесе , кейде тек қалың әріптермен АВ белгілеу түрлері кездеседі. Сол сияқты векторларды бір әріппен де белгілей береді ( = , , а). векторының ұзындығы деп АВ кесіндісінің ұзындығын айтады және деп белгілейді. Басы мен соңы беттесетін вектор нолдік вектор деп аталады, = және ұзындығы нолге тең.Бір түзудің не өзара параллель түзулер бойында орналасқан векторлар коллениар векторлар деп аталады. және векторларының қосындысы «үшбұрыш» не «параллелограмм» ережесімен анықталады:
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
және векторларының - айырымы деп -ға қосқанда
|
|
|
|
|
|
векторы алынатын = - векторын айтады.
векторының 
санға көбейтіндісі деп ұзындығы 
болатын, бағыты >0 болғанда векторымен бағыттас, <0 болғанда векторымен қарама-қарсы бағытта болатын векторын айтады. Суретте, = 2, =2 ; = -1, =- .
|
|
|
33. Вектордың бағыттаушы косинустары. Бағыттаушы косинустар - 
түзуінің бағыттаушыкосинустар деп осы түзудің бағыттауышы векторы 
-дің 
Ох,Оу,Оз координат өстерінің оң бағытымен жасайтын α, β, γ бұрыштарының косинусын атайды. Бағыттаушы косинустар өзара 
теңдігімен байланысады. Бағыттаушы косинустар осы бағыттағыбірлік векторлардың координаттары болады. 
векторы мен бірлік 
векторларының арасындағы бұрыштарды қарастырамыз. Ол бұрыштарды былай белгілейік:
; 
; 
векторының кез келген бірлік векторға, мысалы i-ге, көбейтіндісін қарастырамыз: 
Бұдан (*) формуласы бойынша 
бұрышының косинусын табамыз:
Осы тәсілменқалғанбұрыштардыңкосинусынтабамыз:
; 
(8)
Бұлкосинустар векторыныңбағыттаушыкосинустарыдепаталады. Бағыттаушыкосинустардыңквадраттарыныңқосындысыбіргетең:
Бұлформуланыдәлелдеуүшін (8) формуланы квадрат дәрежегешығарамыз да қосамыз.
3-мысал.
және 
векторлары -ныңқандаймәнінде перпендикуляр болады. (7) перпендикулярлықшартыбойыншаолардыңскалярлықкөбейтіндісінтабамыз:
; 1*2-3*2-2*2=0; =10.
4-мысал.
және 
векторларыберілсінделік.
скалярлықкөбейтіндісінесептеукерек.
-3 
2 
Еківектордыңізделінді скаляр көбейтіндісінтабайық.
Вектордыңөзініңөзінескалярлықкөбейтіндісіоныңұзындығыныңквадратынатеңболады: 
Вектордыңбағыты.
, 
векторларыберілсін. Осы векторлардыңарасындағыбұрыштыанықтаукерек.
Скалярлықкөбейтінді 
формуласынан 
(*) аламыз.
О-дікемес және 
векторлардыңарасындағыбұрыштың косинусы осы векторлардыңскалярлықкөбейтіндісін, олардыңұзындықтарыныңкөбейтіндісінебөлгенгетең.
Ал вектордыңкоординаттарыберілсе, онда
(**)
1-мысал.
; 
векторларыныңарасындағы 
бұрышын табу керек. (**) - формуласынпайдаланамыз.
Начало формы
; =1350.
1-мысал. Егер 
, онда 
Егер 
векторы Ох, Оу, Oz өстерімен сәйкесінше 
бұрыштарын құрса, онда
, осыдан 
болады.
Мұндағы 
сандары векторының бағыттаушы косинустары деп аталады. Алдыңғы өрнекті вектордың модулінің формуласына қойып,
теңдігін аламыз. 
бірлік векторының коодинаттары екенін оңай байқауға болады. Сонымен, 
.
2-мысал. 
векторы үшін 
