Схема полного исследования функции и построение ее графика

Для полного исследования функции и построения ее графика можно рекомендовать следующую примерную схему:

1) указать область определения;

2) найти точки разрыва функции, точки пересечения ее графика с осями координат;

3) установить наличие или отсутствие четности, нечетности, периодичности функции;

4) найти асимптоты графика функции;

5) исследовать функцию на монотонность и экстремум;

6) определить интервалы выпуклости и вогнутости;

7) построить график функции.

Решение типового задания.

Пример 1. Найти производную от функции .

Решение. Введем вспомогательную функцию u = x ²+ 3 x +1, тогда можно записать где u = x ²+3 x +1.

По формуле имеем , или, заменив u на его значение:

К такой подробной записи прибегают только на начальной стадии освоения правил дифференцирования, а обычно вспомогательную функцию вводят только мысленно и выполняют указанные действия.

Пример 2. Найти производную от функции

Решение. Мысленно за u принимаем выражение x + 7 x– 3 и получаем

Пример 3. Найти производную от функции .

Решение. По правилу дифференцирования произведения записываем:

При вычислении принимаем u =1 x ², тогда

Таким образом,

Пример 4. Найти производную от функции .

Решение. Принимаем за вспомогательную функцию u и получим

При вычислении производной от за вспомогательную функцию примем :

Подставим найденное значение в выражение для , окончательно получим:

Пример 5. Дана функция . Найти .

Решение. Дифференцируем исходные равенства по t:

По формуле получим

Пример 6. Найти производную неявно заданной функции у:

Решение. Дифференцируя обе части уравнения и учитывая, что у – есть функция от х, получим:

или

Отсюда находим :

или

т.е.

Пример 7. Исследовать функцию и построить ее график.

Решение. Проведем исследование по общей схеме.

1. Функция определена при всех значениях аргумента x, кроме x =1.

2. Для установления четности или нечетности функции проверим выполнимость равенств (тогда четная функция) или (для нечетной функции) для любых и из области определения функции:

Следовательно и то есть данная функция не является ни четной ни нечетной. Также не является периодической.

3. Данная функция является элементарной, поэтому она непрерывна на своей области определения, т.е. на интервалах и . В точке x =1 функция терпит разрыв второго рода.

Так как x =1 точка разрыва функции, причем . Поэтому прямая x =1 является вертикальной асимптотой графика.

Для определения уравнения наклонной асимптоты воспользуемся формулами:

Тогда

Значит прямая есть горизонтальная асимптота графика исследуемой функции.

4. Точки пересечения с осями координат: если , то ; если , то .

5. Для исследования функции на экстремум найдем ее первую производную:

при и не существует при Тем самым имеем две критические точки: . Но точка не принадлежит области определения функции, экстремума в ней быть не может.

Для наглядности результаты представим в виде таблицы изменения знака :

+

убывает min возрастает убывает

В первом и третьем интервалах первая производная отрицательна, следовательно, здесь функция убывает, во втором интервале–положительна и данная функция возрастает. При переходе через точку x =0 первая производная меняет свой знак с минуса на плюс, поэтому в этой точке функция имеет минимум: . Значит точка минимума.

6. Для определения точек перегиба графика функции и интервалов выпуклости и вогнутости кривой найдем вторую производную:

при и не существует при . Для наглядности результаты представим в виде таблицы изменения знака

+ +

Перегиб

На первом интервале вторая производная отрицательна и дуга исследуемой кривой выпукла; на втором и третьем интервалах >0, тем самым график является вогнутым. При переходе через точку меняет свой знак, поэтому абсцисса точки перегиба. Следовательно, точка перегиба графика функции.

7. Учитывая полученные результаты, строим график функции:

y

x

0 1

B

A

Задачи №121-150:

Найти производные первого порядка данных функций, используя правила вычисления производных:

121. а) ; б) в)

г) д) .

122. а) б) в)

г) д) .

123. а) б) в)

г) д)

124. а) б) в)

г) д)

125. а) б) в)

г) д)

126. а) б) в)

г) д)

127. а) б) в)

г) д)

128. а) б) в)

г) д)

129. а) б) в)

г) д)

130. а) б) в)

г) д)

131. а) б) в)

г) д)

132. а) б) в)

г) д)

133. а) б) в)

г) д)

134. а) б) в)

г) д)

135. а) б) в)

г) д)

136. а) б) в)

г) д)

137. а) б) в)

г) д)

138. а) б) в)

г) д)

139. а) б) в)

г) д)

140. а) б) в)

) д)

141. а) б) в)

г) д)

142. а) б) в)

г) д)

143. а) б) в)

г) д)

144. а) б) в)

г) д)

145. а) б) в)

г) д)

146. а) б) в)

г) д)

147. а) б) в)

г) д)

148. а) б) в)

г) д)

149. а) б) в)

г) д)

150. а) б) в)

г) д)

Задачи №151-180:

Построить график функции , используя общую схему исследования.

151. y = x ³ + 6 x ² + 9 x + 4 166. y = x ³ - 6 x ² + 9 x - 4

152. y = (2 – x)(x + 1)² 167. y = - (x + 1)(x - 2)²

153. 168.

154. y = x ³ + 3 x ² - 9 x + 5 169. y = x ³ - 3 x ² - 9 x - 5

155. y = (x - 6)(x - 3)² 170. y = (x + 5)(x + 2)²

156. 171.

157. y = x ³ + 6 x ² - 15 x + 8 172. y = x ³ - 6 x ² - 15 x - 8

158. y = (1 – x)(x + 2)² 173. y = - (x + 2)(x - 1)²

159. 174.

160. y = x ³ - 3 x ² - 24 x - 28 175. y = x ³ + 3 x ² - 24 x + 28

161. y = (x + 4)(x - 2)² 176. y = (5 – x)(x – 2)²

162. 177.

163. y = x ³ + 12 x ² + 45 x + 50 178. y = x ³ - 12 x ² + 45 x - 50

164. y = (x + 2)(x - 1)² 179. y = (x - 4)(x + 2)²

165. 180.