Матричный способ решения системы. Формулы Крамера

Пусть дана система n линейных уравнений с n переменными:

или в матричной форме .

Определение. Определитель матрицы A обозначим и назовем определителем системы:

Определение. Если определитель системы отличен от нуля, то система называется невырожденной.

Найдем решение данной системы уравнений в случае .

Умножив обе части уравнения слева на матрицу А ^-1, получим . Поскольку и , то

Определение. Отыскание решения системы по формуле называют матричным способом решения системы.

Таким образом, чтобы решить систему уравнений матричным способом, нужно:

1. Найти обратную матрицу А ^-1.

2. Найти произведение обратной матрицы А ^-1 на матрицу-столбец свободных членов B, т.е. .

3. Пользуясь определением равных матриц, записать ответ.

Если в определителе системы заменить поочередно столбцы коэффициентов при на столбец свободных членов, то получим n определителей (для n неизвестных):

, ,…, .

Тогда получим формулы для решения системы n линейных уравнений с n неизвестными:

Определение. Формулы называются формулами Крамера.

Решение систем линейных уравнений методом Гаусса

Одним из наиболее универсальных и эффективных методов решений линейных алгебраических систем является метод Гаусса, состоящий в последовательном исключении неизвестных.

Пусть дана система уравнений

Процесс решения по методу Гаусса состоит из двух этапов.

I этап (прямой ход).

С помощью элементарных преобразований система уравнений приводится к равносильной системе ступенчатого (треугольного) вида:

где , , i = 1,…, k. Коэффициенты называются главными элементами системы.

II этап (обратный ход).

Из ступенчатой системы последовательно, начиная с последних (по номеру) переменных, находятся все остальные переменные.

Ступенчатая система уравнений, вообще говоря, имеет бесчисленное множество решений. В последнем уравнении этой системы выражаем первое неизвестное через остальные неизвестные (,…, ). Затем подставляем значение в предпоследнее уравнение системы и выражаем через (,…, ); затем находим ,…, . Придавая свободным неизвестным (,…, ) произвольные значения, получим бесчисленное множество решений системы.

Замечание. Если ступенчатая система оказывается треугольной, т.е. , то исходная система имеет единственное решение. Из последнего уравнения находим , из предпоследнего уравнения , далее поднимаясь по системе вверх, найдем все остальные неизвестные (,…, ).