По заданным уравнениям движения точки М в координатной форме определить: траекторию ее движения в заданный момент времени t= 1c, найти скорость и ускорение.
(см), 
(см).
Решение:
1. Определим траекторию движущейся точки М.
Для получения уравнения траектории движущейся точки исключим из заданных уравнений параметр времени t:
,
.
Полученные уравнения возведем в квадрат и суммируем.
,
.
Данное выражение представляет собой траекторию движущейся точки М – уравнение эллипса с центром в точке с координатами (9; -4). Построим траекторию в координатных осях ху (рис.9).
Укажем положение точки М на траектории в заданный момент времени, для этого подставим время t= 1с в уравнения
см,
см.
Тогда точка М с координаты (12; -1,4).
Для указания положительного отсчета по траектории определим положение точки М в начальный момент времени при t= 0 с
см,
см.
|
Тогда точка Мо имеет координаты (15; - 4).
Точки М и М0 принадлежат траектории эллипса, следовательно, решение верно.
Направление положительного отсчета по траектории идет от точки М0 в момент времени t = 0 c к точке М, когда t =1с (против движения часовой стрелки) (см. рис.9).
2. Определим скорость точки М в заданный момент времени t.
Известно, что скорость можно разложить по проекциям на координатные оси
.
Определим проекцию скорости точки М на ось Ох
.
В заданный момент времени t =1с проекция скорости составит
см/с.
Так как 
< 0, то вектор скорости 
направлен из точки М параллельно оси 0х в сторону отрицательных значений х, данный вектор требуется отложить в соответствующем масштабе скоростей, указанно на схеме (рис.10).
Определим проекцию скорости точки М на ось Оу.
.
В заданный момент времени t =1с проекция скорости составит
см/с
|
Так как 
>0, то вектор скорости 
направлен из точки М параллельно оси 0у в сторону положительных значений у, данный вектор требуется отложить в том же масштабе, что и вектор (рис.10).
Геометрическая сумма векторов и (по правилу параллелограмма) представляет собой вектор скорости 
точки М в заданный момент времени, этот вектор должен быть направлен по касательной τ к траектории движения (рис.10). Численное значение скорости можно измерить, согласно указанному масштабу для векторов скоростей (см. рис.10), либо определить по теореме Пифагора (так как вектора и взаимно перпендикулярны):
см/с.
3. Определим ускорение точки М в заданный момент времени t.
Известно, что ускорение можно разложить по проекциям на координатные оси
.
Определим проекцию ускорения точки М на ось Ох
.
В заданный момент времени t =1с проекция ускорения составит
см/с2.
Так как 
<0, то вектор ускорения 
направлен из точки М параллельно оси 0х в сторону отрицательных значений х, данный вектор требуется отложить в соответствующем масштабе ускорений, указанно на схеме (рис.11).
Определим ускорение скорости точки М на ось Оу
.
В заданный момент времени t = 1с проекция ускорения составит
см/с2.
|
Так как 
<0, то вектор ускорения 
направлен из точки М параллельно оси 0у в сторону отрицательных значений у, данный вектор требуется отложить в том же масштабе, что и вектор (рис.11).
Геометрическая сумма векторов и (по правилу параллелограмма) представляет собой вектор ускорения 
точки М в заданный момент времени (рис.11). Численное значение ускорения можно измерить, согласно указанному масштабу для векторов ускорений на схеме чертежа, либо определить по теореме Пифагора (так как вектора и взаимно перпендикулярны):
см/с2.
Определим касательное ускорение точки М в заданный момент времени t, зная проекции скорости и ускорения на оси координат
см/с2.
Так как 
> 0, то вектор ускорения 
направлен из точки М по касательной к траектории движения в сторону направления вектора скорости (движение точки будет ускоренным), данный вектор требуется отложить в масштабе ускорений (рис.12).
Определим нормальное ускорение точки М в заданный момент времени t, зная полное и касательное ускорения
см/с2.
Вектор ускорения 
направлен из точки М по нормали п к траектории движения к центру кривизны траектории, данный вектор требуется отложить в масштабе ускорений (рис.12). 
Так как векторная сумма ускорений 
справедлива (рис.12), то решение верно.
|
Определим радиус кривизны траектории 
в заданный момент времени c учетом нормального (центростремительного) ускорения в заданный момент времени
см.
