Розрахунок простих кіл електричного струму.

Задачею розрахунку електричних кіл (аналізу[1] електричних кіл) є визначення струмів і потужностей в різних елементах кола (джерелах, приймачах, проводах), а також напруги на окремих елементах кола.

Вихідними даними для розрахунку звичайно є електрична схема кола, задані ЕРС кола і характеристики (параметри) елементів кола, тобто або їх опори, або номінальні напруги і потужності.

Якщо діюча в колі ЕРС і параметри елементів незмінні в часі, то така задача має однозначне рішення.

Якщо електричне коло уявляє собою поєднання послідовно і паралельно включених елементів (змішана схема з’єднань) і при цьому має одне джерело живлення (одну ЕРС), то вона розраховується в такому порядку (метод трансфігурації):

1. Шляхом послідовного спрощення знаходять загальний опір кола.

2. За законом Ома знаходять загальний струм.

3. Знаходять розподіл струмів і напруг в схемі.

Для перевірки розрахунку слід використати те, що в електричному колі завжди встановлюється струм І такої величини, при якій загальна потужність, що віддається джерелом дорівнює сумі потужностей, що споживаються кожним елементом кола (баланс потужностей).

При заміні послідовно з’єднаних n елементів одним еквівалентним слід враховувати, що:

- по всім ділянкам послідовного кола проходить один і той же струм І;

- падіння напруги на послідовно з’єднаних елементах пропорційні величинам опорів цих елементів: U _i = IR _i;

- при послідовному з’єднані елементів сума напруг на окремих елементах дорівнює напрузі, прикладеної до такого з’єднання: U ₁ + U ₂+...+ U _n = U;

- еквівалентний опір дорівнює сумі опорів окремих елементів, що входять до з’єднання: R _екв = R ₁ + R ₂+…+ R _n;

- потужність, що споживається при послідовному з’єднанні елементів, Р дорівнює сумі потужностей, що споживаються його окремими елементами:

P = P ₁ + P ₂ + … P _n = I ² R ₁ + I ² R ₂ + … + I ² R _n = I ₂(R ₁ + R ₂ + …+ R _n) або

P = P ₁ + P ₂ + … P _n = U ₁² / R ₁ + U ₂² / R ₂ +... + U _n² / R _n.

При заміні паралельно з’єднаних n елементів одним еквівалентним слід враховувати, що:

- всі елементи знаходяться під однаковою напругою U;

- струми в цих елементах і також потужності розподіляються завжди пропорційно провідностям або струми і потужності в паралельних вітках зворотно пропорційні опорам віток;

- струм І в нерозгалуженій частині кола дорівнює сумі струмів, що протікають по його окремим елементам І = І ₁ + І ₂+... + І _n;

- еквівалентна провідність розгалуженого кола дорівнює сумі провідностей окремих його віток g _екв= g ₁ + g ₂ + … + g _nабо 1 / R _екв= 1 / R ₁ + 1 / R ₂ + …+ 1 / R _n.3 останнього виразу можна визначити еквівалентний опір паралельного з’єднання n елементів[2];

- потужність, що споживається розгалуженим колом Р,дорівнює сумі потужностей, споживаних окремими елементами або одним еквівалентним елементом: P = P ₁ + P ₂ + … P _n = U ² / R ₁ + U ² / R ₂ +... + U ² / R _n = U ²(1 / R ₁ + 1 / R ₂ +... + 1 / R _n) = U ² / R _екв або P = P ₁ + P ₂ + … P _n = I ₁² R ₁ + I ₂² R ₂ + … + I _n² R _n.

При розрахунку електричних кіл, які не вдається звести до одного результуючого опору шляхом заміни послідовно і паралельно з’єднаних опорів їх еквівалентними величинами доводиться вдаватись до більш складних перетворень.

Зокрема, якщо в колі зустрічається замкнутий контур з трьох опорів R _AB, R _BC, R _CA, що утворюють сторони трикутника, то ці опори заміняють трьома опорами R _А, R _B, R _C, що з’єднані в одній вузловій точці О і утворюють трипроменеву зірку (Δ → Y):

При зворотному переході від зірки опорів до еквівалентного трикутника опорів (Y → Δ) опори R _AB, R _BC, R _CA визначаються через опори R _А, R _B, R _C:

Наведені формули, що визначають опори в еквівалентних з’єднаннях, отримані за умови, що при таких перетвореннях опори між вузлами А і В, В і С та С і А повинні бути однаковими в обох видах з’єднання.

Приклад 1 [3]. Розрахунок простого розгалуженого кола постійного струму. Розглянемо наведену схему.

Вихідні дані:

U = 240 В; R ₁ = 10 Ом; R ₂ = 20 Ом; R ₃= 60 Ом; R ₄= 9 Ом; R ₅ = 30 Ом; R ₆ = 4 Ом; R ₇ = 2 Ом.

Знайти розподіл струмів в схемі.

Розрахунок:

Визначаємо еквівалентний опір між точками АВ:

Складаємо послідовно з’єднані опори R _ABта R ₄і отримаємо R':

R' = R _AB + R ₄ = 6 + 9 = 15 Ом.

Опір R' в свою чергу виявляється з’єднаним паралельно з опором R ₅. Їх загальний опір:

Загальний опір кола:

R = R ₆ + R _CD + R ₇ = 4 + 10 + 2 = 16 Ом.

Загальний струм:

I = U / R = 240 / 16 = 15 А.

Напруга між точками С і D:

U _CD = I · R _CD = 15·10 = 150 В.

Струми в опорах R' і R ₅:

I ₄ = U _CD / R' = 150 / 15 = 10 A;

I ₅ = U _CD / R ₅ = 150 / 30 = 10 A.

Напруга між точками А і В:

U _AB = I ₄· R _AB = 10·6 = 60 В.

Струми в опорах R ₁, R ₂, R ₃:

I ₁ = U _AB / R ₁ = 60 / 10 = 6 A;

I ₂ = U _AB / R ₂ = 60 / 20 = 3 A;

I ₃ = U _AB / R ₃ = 60 / 60 = 1 A.

Перевірку результатів розрахунку здійснимо через баланс потужностей:

UI = Σ _i=1..7 I _i² R.

UI = 240·15 = 3600 Ватт;

Σ _i=1..7 I _i² R = I ₁² R ₁ + I ₂² R ₂ + I ₃² R ₃ + I ₄² R ₄ + I ₅² R ₅ + I ² R ₆ + I ² R ₇ = 6²·10 + 3²·20 + 1²·60 + 10²·9 + 5²·30 + 15²·4 + 15²·2 = 3600 Ватт.

Отже, яка потужність постачається в коло, така ж потужність споживається елементами кола.

Приклад 2. Визначити струм в перемичці ВС наведеної схеми. Схема відома під назвою міст Уітстона.

Вихідні дані:

Е = 32 В; R ₀= 1 Ом; R ₁ = 10 Ом; R ₂ = 15 Oм; R ₃ = 25 Oм; R ₄ = 12,5 Ом; R ₅ = 25 Oм.

Розрахунок: Замінимо трикутник опорів R ₁, R ₂, R ₃еквівалентною зіркою з променями:

Загальний опір кола:

Струм в нерозгалуженій частині кола:

Струми в паралельних вітках (R _B + R ₅) – I _R5 і (R _C + R ₄) – I _R4:

Ця формула походить з пропорції (струми в паралельних вітках розподіляються зворотно пропорційно опорам віток)[4].

Отже , а I _R4 = I – I _R5 = 2 – 0,8 = 1,2 A.

Із рівняння, складеного за другим законом Кірхгофа для контуру BDCB – I _BC R ₃ + I _R5 R ₅ – I _R4 R ₄ = 0, маємо: