Решение с помощью функции lsolve().

1. Задаем матрицу системы А и матрицу свободных членов В. Для этого пишем А, вводим двоеточие (которое автоматически заменится на знак присваивания «:=»), затем на панели инструментов для работы с матрицами и векторами нажимаем кнопку создания матрицы или вектора и вводим матрицу системы. Аналогично вводим столбец свободных членов.

 

2. Вводим lsolve(A,B)=

Пример:

 

Решение с помощь функции Given…Find

1. Вводим начальные приближения: x1:=1, x2:=1, x3:=1.

2. Вводим слово Given

3. Ниже вводим систему уравнений, используя при этом вместо обычного знака равно знак булева равенства (вводится нажатием Ctrl+=).

4. Ниже пишем: Find(x1,x2,x3)=

 

Пример:

Решение СЛАУ методом обратной матрицы

1. Вводим матрицу системы и матрицу свободных членов, как и при решении с помощью lsolve().

2. Вводим x:=A^-1B. Для ввода обозначения обратной матрицы нужно воспользоваться соответствующей кнопкой панели инструментов «Матрицы».

3. Вводим x=

Пример:

 

 

Решение нелинейных уравнений с помощью MathCad.

Локализация корней.

Предположим нам нужно уточнить корни уравнения f(x):=x cos(x).

Для локализации корней удобно построить график функции. Для этого нужно:

1. Определить функцию, т.е. ввести f(x):=x cos(x)

2. Выбрать Вставить-Графики-Зависимость XY.

3. Под осью абсцисс ввести х, слева от оси ординат ввести f(x).

4. При необходимости откорректировать пределы изменения аргумента и функции.

Основные свойства графика можно настроить выбрав пункт Формат в контекстном меню, вызываемом щелчком правой кнопкой мыши на графике.

В результате анализа графика определяются начальные приближения корней уравнения.

Уточнение корней.

Уточнение корней производится с помощью функции root():

1. Устанавливаем точность вычислений, изменяя значения пункта Порог сложности на закладке Толерантность окна, вызываемого командой Формат-Результат. На закладке Формат номера того же окна выбираем способ отображения результата и количество отображаемых десятичных знаков.

2. Вводим root(f(x),x)=

Пример:

 

 

 

 

Интерполирование функций средствами MathСad

В MathCad имеются средства для сплайновой интерполяции.

Интерполирование производится с помощью функции interp (vs,vx,vy,x), которая возвращает вектор значений функции y в интересующих точках х.

Здесь и далее vx – вектор исходных значений аргумента, vy – вектор исходных значений функции, vs – вектор вторых производных, возвращаемых одной из функций cspline (vx,vy), pspline (vx,vy), lspline (vx,vy), которые возвращают вектор vs при использовании кубических, параболических и линейных сплайнов соответственно.

Для интерполирования линиями можно воспользоваться функцией linterp(vx, vy, x).

Конечно, используя вычислительные возможности MathCad, всегда можно воспользоваться другим методом интерполяции (например, с помощью полиномов Ньютона и Лагранжа).

Пример.

Имеются экспериментально полученные точки:

 

Значение аргумента x	Значение функции y
-1.06 -0.837 -0.684 -0.315 -0.117 -0.0 0.115 0.5	1.22 0.854 0.513 0.271 0.217 0.198 0.218 0.277

Построить график функции y(x) используя точки, отличные от экспериментально полученных.

Решение.

 

 

 

Аппроксимация зависимостей с помощью MathCad

В MathCad можно найти значения функции у в промежуточных точках с помощью полинома некоторой степени. Для этого используются следующие функции:

regress(vx,vy, k) – возвращает вектор, который использует функция interp для нахождения полинома степени k, который наилучшим образом приближает значения x и y данных, хранящихся в векторах vx, vy.

interp (vs,vx,vy, x) – возвращает приближенное значение y, соответствующее значению x. Где vs – вектор, получаемый с помощью regress.

Пример.

Имеются экспериментально полученные точки:

 

Значение аргумента x	Значение функции y
	1,5 3,7

Определить вид аппроксимирующего полинома 4-й степени и с его помощью построить график функции y(x).

Решение.

Решим задачу методом наименьших квадратов, а затем с помощью встроенных функций MathCad.

 

Введем исходные данные

 

Вычислим коэффициенты системы уравнений

 

 

Определим матрицу коэффициентов и матрицу свободных членов системы

Найдем коэффициенты полинома, решив систему

 

Определим вид полинома

 

 

 

 

Построим график Р(х)

Во всех точках х для сравнения вычислим значения функции с помощью встроенных средств аппроксимации

 

 

Строим графики

 

Как видно, графики совпадают.

 

Вычисление определенного интеграла
и производной средствами MathCad

Предположим нужно вычислить интеграл функции на отрезке [0; 2] и производную этой функции в точке х=1. Решение такой задачи в MathCad имеет вид:

 

 

 

Интеграл может быть кратным, подынтегральная функция может быть комплексной или функцией нескольких переменных.

Для вычисления производных более высоких порядков используется специальная конструкция:

Решение ОДУ средствами MathCad

Для решения линейных обыкновенных дифференциальных уравнений в MathCad функция odesolve(x,b,[step]), которая возвращает значение функции, зависящей от х и являющейся решением линейного ОДУ. Здесь х – аргумент, b – правый конец отрезка, [step] – необязательный параметр, количество шагов для нахождения решения. Количество начальных условий должно равняться порядку уравнения.

Пример. Решим уравнение на отрезке [0, 4π]. Известно, что y(0)=0, а y’(0)=1.

Решение:

Примечание: В блоке Given используются знаки булева равенства, вставляемые нажатием Ctrl+= и знак производной (штрих), вставляемый нажатием Ctrl+F7.

Решение ОДУ первого порядка вида может быть получено с помощью функций rkfixed(y₀,a,b,n,D), которая возвращает матрицу, состоящую из двух столбцов. В первом столбце хранятся значения аргумента, во втором – функции (результаты решения). Здесь y₀ – начальное значение функции y, а – начало отрезка, b – конец отрезка, n – количество отрезков разбиения, D – первая производная от у.

Пример. Решим уравнение на отрезке [0, π]. Известно, что y(0)=1.

Решение:

 

 

Для решения ОДУ первого порядка так же можно использовать функцию rkadapt(), аналогичную рассмотренной выше rkfixed(), за исключением того, что решение находится не с фиксированным шагом, а с автоматическим его подбором.