Основные теоретические сведения

Постановка задачи. Значение определённого интеграла вычисляется по формуле Ньютона-Лейбница, если удаётся выразить первообразную формулу через элементарные функции:

где F(x) – первообразная.

Функция F(x) на отрезке [ a; b ] называется первообразной функции f(x), если на всём интервале справедливо равенство F'(x) = f(x).

Однако, для большого числа функций первообразная не выражаются через элементарные функции, либо её сложно определить. Также подынтегральная функция f(x) может быть задана графически или в табличной форме. В таких случаях для вычисления определённого интеграла используют приближённые численные методы.

Суть численных методов вычисления определенного интеграла состоит в замене подынтегральной функции f(x) вспомогательной функцией, интеграл от которой легко вычисляется в элементарных функциях. Наиболее часто подынтегральную функцию f(x) заменяют некоторым интерполяционным многочленом. Это приводит к использованию квадратурных формул:

где: х_i – узлы интерполяции, R – остаточный член (погрешность метода).

В случае отбрасывания R, возникает погрешность усечения в процессе вычисления, появляется погрешность округления.

С геометрической точки зрения, значение определённого интеграла представляет собой площадь, ограниченную графиком функции y = f(x), осью абсцисс и прямыми x = a, x = b.

Отрезок интегрирования разбивают на n интервалов х_i, х_i+1, где i = 0,1,..,n. Приближённо определяются значения площадей соответствующих каждому отрезку. Сумма этих площадей даст приблизительное значение интеграла. В зависимости от способа разбиения отрезка узлами интерполяции х_i различают 2 подхода к построению квадратурных формул:

1. Место положения и длина интервалов разбиения выбираются заранее в начале расчёта. В случае равноотстоящих точек узлов интерполирования: . В таком случае квадратурные формулы называются формулами Ньютона-Котеса. Квадратурные формулы Ньютона-Котеса различаются степенями используемых итерационных многочленов. Широкое применение находят формулы трапеции и Симпсона.

2. Место положение и длина интервалов подбираются таким образом, чтобы достичь наибольшей точности (формула Гаусса).

Формула трапеций. Отрезок интегрирования [ a;b ] разбивают на n равных интервалов длиной . В пределах каждого отрезка [ х_i; х_i+1 ] функция f(x) заменяется интерполяционным многочленом Лагранжа первой степени. Такая замена соответствует замене кривой на секущую. Значение

Суммирование значений интеграла по всем n участкам разбиения даёт общую площадь: .

Если функция f(x) на отрезке [ a;b ] непрерывна и имеет вторую производную, то оценка погрешности усечения находится по формуле: ,

где: h – шаг интегрирования, М – коэффициент, который получается из набора вторых производных для отрезка [ a;b ].

Очевидно, что формула трапеции даст точное значение интеграла для линейной подынтегральной функции f(x).

Формула Симпсона. При замене подынтегральной функции интерполяционным многочленом второй степени и при чётном числе n интервалов разбиения квадратурная формула преобразуется к виду:

- формула Симпсона либо формула параболы.

Значение функции f(x) в нечётных точках разбиения х₁, х₃ и т.д. входят в формулу с коэффициентом 4. В чётных точках х₂, х₄ и т.д. – с коэффициентом 2. В граничных точках х₀ и х_n с коэффициентом 1.

Геометрический смысл формулы Симпсона.

Через три последовательные ординаты разбиения проводят параболу и определяют площадь полученной фигуры. Сумму всех фигур, построенных таким образом, даёт примерное значение интеграла.

При наличии на отрезке [ a;b ] непрерывной четвёртой производной, подынтегральной функции оценка усечения формулы Симпсона следующая: .

Формула парабол является точной для полиномов третьей степени включительно, т.к. для них четвёртая производная равна 0. Из-за сложности, а часто и невозможности вычисления четвёртой производной используют формулу Рунге: , где: S_n – значение интеграла при разбиении отрезка интегрирования на n участков (n – чётное); S_2n – значение интеграла при разбиении отрезка интегрирования на 2n участков.

Сравнение формул интегрирования. Для функции высокой гладкости, т.е. имеющей непрерывные производные достаточно высокого порядка при одинаковом числе узлов формула Симпсона более точна, чем формула трапеций. При этом для получения одной и той же точности по формуле Симпсона необходимо выполнить меньше операций, чем по формуле трапеций, если подынтегральная функция задана таблично, то формула Симпсона в достаточной степени точна для умеренного числа узлов интегрирования. Она удобна для программирования на ЭВМ и поэтому получила широкое применение в практических расчётах.

ЗАДАНИЯ

1. Разработать схемы алгоритмов интегрирования функций по методам трапеций и Симпсона.

2. В среде Delphi создать приложение для решения задачи численного интегрирования функций, приведенных в табл.4 (в соответствии со своим вариантом) методами трапеций и Симпсона. Предусмотреть в программе вычисление точного значения определенного интеграла через первообразную функцию (табл. 4).

3. Провести интегрирование тех же функций средствами пакета MathCad.

4. Вычислить абсолютные погрешности методов интегрирования функций по формуле:

где I* - точное значение интеграла, вычисленное через первообразную; I – значение интеграла, полученное в результате применения конкретного численного метода.

4. На основании результатов п.п. 2, 3 провести сравнительный анализ методов численного интегрирования.

Таблица 4

Вари-ант	Подынтегральная функция f(x)	Интервал интегрирования [a,b]	Кол-во частей разбиения n	Шаг h	Первообразная функция

		[0; 1]		0.02
		[0; 2]		0.01
		[0; 1]		0.025
		[1; 2]		0.025
		[1; 2]		0.0125
		[0; 2]		0.04
		[2; 3]		0.025
		[1; 2.5]		0.03
		[0; ]		0.026
		[1; 3]		0.06
		[0; 1]		0.025
		[0; ]		0.026