Основные теоретические сведения. Постановка задачи. Обыкновенные дифференциальные уравнения (ОДУ) или их системы часто используют для построения математических моделей динамических

Постановка задачи. Обыкновенные дифференциальные уравнения (ОДУ) или их системы часто используют для построения математических моделей динамических процессов.

Динамические процессы – процессы перехода физических систем из одного состояния в бесконечно близкое другое. Примерами таких процессов могут служить явления, возникающие в электрических сетях, распространение радиоволн, движение материальных точек, изменение химического состояния вещества и т.д.

Точные методы решения ДУ позволяют выразить решение через элементарные или специальные функции. Однако классы таких уравнений достаточно немногочисленны и охватывают малую часть возникающих на практике задач. В силу этого, важное значение приобретают приближённые численные методы решения ДУ.

Пусть требуется решить задачу Коши: y'(x) = f(x,y), y0=y(x₀) – начальное условие, [ x₀,x_n ] – отрезок, .

Для решения ДУ n -ого порядка используют метод понижения производной, т.е. уравнение n -ого порядка сводят к системе n уравнений n -ого порядка способом замены переменных.

 

Методы решения одного уравнения 1-ого порядка распространяются на систему уравнений 1-ого порядка.

Сущность численных методов решения ДУ. На отрезке [ x₀,x_n ] выбирается некоторое множество точек. Это множество точек называется сеткой (x₀<x₁<x₂<…<x_n). В полученных точках вычисляются приближённые значения y₁,y₂,…,y_n. Эти решения и будут являться решением задачи Коши. Величина – называется шагом сетки. В большинстве случаев h=const, x_n=x₀+kh.

Проблема численного решения ДУ заключается в построении алгоритма вычисления. Различают одношаговые и многошаговые методы решения ДУ. Метод Эйлера и метод Рунге-Кутта относятся к одношаговым. Многошаговые методы – это методы прогноза и коррекции. Для метода Адамса необходимо знать 2 предыдущие точки, для метода Милна – 3 точки. Их преимущество в том, что для них существует формула оценки погрешности.

Метод Эйлера. Различные методы группы методов Рунге-Кутта различаются друг от друга объёмом производимых вычислений и получаемой при этом точностью. Метод Эйлера является методом Рунге-Кутта первого порядка точности. Формула для вычисления методом Эйлера:

.

Следовательно:

Метод Эйлера является наиболее простым, но и наименее точным. Он применяется для получения оценочных решений на небольшом интервале [ x₀;x_n ].

Метод Рунге-Кутта 4-ого порядка точности. Смещение из точки [ x_k;y_k ] в точку происходит не сразу, а через промежуточные точки. На практике наибольшее распространение получил метод 4-го порядка точности. Значение функции в i+1- й точке вычисляется следующим образом:

Метод Рунге-Кутта обладает достаточно высокой точностью, легко программируется, т.к. для вычисления нужно знать лишь одно значение y_i. С помощью этого метода можно начинать решение ДУ. Величину шага изменения аргумента х можно легко менять на любом этапе вычисления.

Недостатки:

1) Необходимость 4 раза вычислять значение функции на каждом шаге.

2) Отсутствие легко определяемой оценки ошибки метода.

Для оценки правильности шага рассчитывают: , которое должно быть меньше либо равно 0,05. В противном случае шаг следует уменьшить в 2 раза, провести вычисления и снова оценить δ.

Метод Рунге-Кутта имеет порядок точности, сопоставимый со значением шага взятым в 4-ой степени. Для оценки погрешности метода пользуются формулой Рунге:

 

ЗАДАНИЯ

1. Разработать схемы алгоритмов решения обыкновенного дифференциального уравнения методами Эйлера и Рунге-Кутта IV порядка точности.

2. В среде Delphiсоздать приложение для решения дифференциальных уравнений, приведенных в табл.5 (в соответствии со своим вариантом) методами Эйлера и Рунге-Кутта IV порядка.

3. Решить дифференциальное уравнение (в соответствии со своим вариантом) с помощью MathCad.

4. Вычислить погрешности методов решения дифференциальных уравнений.

5. На основании результатов п.п. 2, 3, 4 провести сравнительный анализ методов численного решения дифференциальных уравнений.

Таблица 5

Вариант	Уравнение	Начальные данные	Отрезок интегрирования

 

КОНТРОЛЬНЫЕ ВОПРОСЫ

1. Что является решением дифференциального уравнения?

2. Почему для решения дифференциального уравнения необходимо иметь начальные условия?

3. Зачем дифференциальное уравнение преобразуют к виду y'=f(x,y)?

4. Почему метод Рунге-Кутта IV порядка точнее метода Эйлера?

5. За счет чего возникает погрешность в методе Эйлера? Как ее уменьшить?

6. Как выбирается шаг интегрирования в методе Рунге-Кутта IV порядка точности?

Литература

Основная литература.

1. Алексеев В.Е. Вычислительная техника и программирование. Практикум по программированию / В.Е. Алексеев, А.С. Ваулин, Г.Б. Петрова: Под редакцией А.В. Петрова – М.: Высш. шк., 1991.

2. Воробьева Г.Н., Данилова А.Н. Практикум по вычислительной математике, Уч. пос. для техн., М: Высш. шк., 1990.

3. Волков Е.А. Численные методы: Уч. пос. для ВУЗов. М: Наука, 1987.

4. Вычислительная техника и программирование: Учебн. Для техн. ВУЗов/А.В. Петров, В.Е. Алексеев, А.С. Ваулин и др.; Под ред. А.В. Петрова. – М.: Высш. Шк.,1990.

5. Гусак А.А. Математический анализ и дифференциальные уравнения: справочное пособие / Изд. 2-е, - Мн.: «Тетрасистем», 2001

6. Дьяконов В. MathCad 2001: Специальный справочник. – СПб.: Питер, 2002.

7. Кренкель Т.Э. и др. Персональные ЭВМ в инженерной практике: Справочник / Т.Э. Кренкель, А.Г. Кочан, А.М. Тараторин. –М.:Радио и связь, 1989.

8. Методические указания к выполнению курсовой работы «Вычислительная техника, программирование и математическое моделирование» для студентов -заочников машиностроительных специальностей. БГПА, Мн. – 1994.

9. Справочное пособие по приближенным методам решения задач высшей математики. \ Л. И. Бородич, А.И. Герасимович, М: Высш. шк., 1986.

 

Дополнительная литература.

1. Задачи и упражнения по математическому анализу. Под ред. Б. П. Демидовича. – М.: Наука, 1978. – 480 с.

2. Корн Г., Корн Т. Справочник по математике для научных работников и инженеров. – М.: Наука, 1984.

3. Фурунжиев Р. И., Бабушкин Ф. М., Варавко В. В. Применение математических методов и ЭВМ: Практикум: Учеб. пособие для вузов. – Мн.: Выш. шк., 1988.

4. Туркина Е.П. Математическая обработка данных с помощью пакета MathCad: Сб. лаб. работ. Для ст. эк. спец. – Мн.: БГЭУ, 2002.

Приложения

Решение СЛАУ средствами MathCad

MathCad – это программная среда для выполнения на компьютере разнообразных математических и технических расчетов, предоставляющая пользователю инструменты для работы с формулами, числами, графиками и текстами, снабженная простым в освоении графическим интерфейсом.

Окно программы имеет стандартный для Windows – приложений вид. Строка меню содержит следующие пункты: Файл, Редактирование, Вид, Вставка, Формат, Инструменты, Символы, Окно, Справка.

Включение необходимых панелей инструментов производится в Вид-Панели инструментов.