Основные теоретические сведения. Кафедра «информационные технологии

Кафедра «Информационные технологии

и безопасность жизнедеятельности»

Наранович О.И., Скобля С.Г.

Информатика

Методические указания и задания к лабораторным работам

Для студентов 2-го курса дневной формы обучения

Специальностей 40 01 02, 36 01 03, 36 01 01

Часть 3

Барановичи, 2005

УДК 681.3

Методические указания разработаны старшими преподавателями О.И. Наранович и С.Г. Скоблей.

Рецензенты: кандидат физико-математических наук Д.А. Ционенко, кандидат физико-математических наук Якубович Т.Р.

Рассмотрены и рекомендованы кафедрой «Информационные технологии и безопасность жизнедеятельности», протокол № 10 от 15.06.2005 г.

Зав. кафедрой О.И. Наранович

Рассмотрены и рекомендованы к утверждению методической комиссией инженерного факультета, протокол № 1 от 09.09.2005 г.

Н28, C44 Наранович О.И., Скобля С.Г.

Информатика: Метод. указания и задания к лабораторным работам. - Барановичи: БарГУ, 2005

Пособие посвящено изучению раздела «Численные методы решения инженерных задач» дисциплины «Информатика» и содержит пять лабораторных работ с теоретическим материалом, и примерами реализации методов в математическом пакете MathCad.

Методические указания и задания предназначены для студентов 2-го курса инженерного факультета дневной и заочной форм обучения, а так же рекомендуются для слушателей факультета повышения квалификации и переподготовки.

ЛАБОРАТОРНЫЙ ПРАКТИКУМ ПО ИНФОРМАТИКЕ

СОДЕРЖАНИЕ

Лабораторная работа №1. Решение систем линейных уравнений. 5

Лабораторная работа №2. Решение нелинейных уравнений. 10

Лабораторная работа №3 Аппроксимация и интерполирование функций. 17

Лабораторная работа №4. Численное интегрирование. 23

Лабораторная работа №5. Численное решение дифференциальных уравнений. 27

Литература. 30

Приложения. 31

Решение СЛАУ средствами MathCad. 31

Решение нелинейных уравнений с помощью MathCad. 32

Интерполирование функций средствами MathСad. 33

Аппроксимация зависимостей с помощью MathCad. 35

Вычисление определенного интеграла и производной средствами MathCad. 37

Решение ОДУ средствами MathCad. 38

Лабораторная работа №1 Решение систем линейных уравнений

Цель: Изучить особенности различных методов решения систем линейных алгебраических уравнений (далее СЛАУ), приобрести навыки решения СЛАУ с помощью средств MS Excel и MathCad.

ОСНОВНЫЕ ТЕОРЕТИЧЕСКИЕ СВЕДЕНИЯ

Постановка задачи. Система линейных алгебраических уравнений имеет вид:

Мы будем рассматривать только совместные определенные системы, т.е. системы, имеющие единственное решение. Это ограничение приводит к тому, что число уравнений системы должно равняться числу неизвестных.

Используемые в наше время методы решения СЛАУ разбивают на 2 группы:

1. Точные методы – это методы, в которых вычисления ведутся без округлений и приводят к точным значениям неизвестных. Но так как на практике используемые данные имеют некоторую ограниченную точность, то используемые точные методы решения неизбежно будут давать приближенные решения. К точным методам относится метод Гаусса решения СЛАУ.

2. Приближённые методы – это методы, которые даже при вычислении без округлений позволяют получить решение системы лишь с какой-то заданной точностью. Точное решение системы в этом случае может быть получено теоретически, как результат бесконечного процесса. К приближённым методам решения СЛАУ относят методы простой итерации, метод Зейделя и другие.

Наиболее эффективно программируемыми на ЭВМ являются метод Гаусса с выбором главного элемента в матрице и метод Зейделя. Если при экспериментальных исследованиях получаются приближенные значения коэффициентов СЛАУ, то сначала решают СЛАУ методом Гаусса с выбором главного элемента, а затем уточняют решение методом Зейделя.

Метод Гаусса. Одним из наиболее распространенных методов решения СЛАУ является метод Гаусса.

Суть метода заключается в следующем. Пусть в первом уравнении коэффициент а ₁₁ ≠0 (если это не так, то на его место можно поставить уравнение, для которого это условие выполняется). Разделим первое уравнение на а ₁₁. Затем умножим первое уравнение на а ₂₁ и вычтем из второго. Далее умножим первое уравнение на а ₃₁ и вычтем из третьего и т.д. В результате получим систему вида:

(Для простоты будем считать, что коэффициенты и свободные члены новой системы мы переобозначили вновь как а и b).

При этом полученная система полностью эквивалентна исходной. Продолжим преобразования. Первое уравнение вообще не будем трогать, а разделим второе уравнение на а ₂₂ и будем последовательно вычитать второе уравнение из оставшихся n-2 – х уравнений, предварительно умножая его на а ₃₂, а ₄₂ … а _n2. В результате получим следующую систему:

Продолжая подобные преобразования в итоге получим систему вида:

Т.е. система оказывается приведенной к треугольному виду. Такие преобразования называют прямым ходом метода Гаусса.

Далее из последнего уравнения полученной системы выражаем х _n подставляем в предпоследнее уравнение, затем из него выражаем х _n-1и подставляем х _n и х _n-1в предыдущее уравнение и выражаем х _n-2и т.д. (обратный ход метода Гаусса). В итоге получим набор х₁, х ₂ … х _n, являющийся решением исходной системы.

Метод Гаусса с выбором главного элемента. При использовании этого метода на первом шаге среди элементов a _i1 определяют максимальный по модулю элемент. Первое уравнение системы и уравнение, в котором находят максимальный по модулю элемент, меняют местами. Далее стандартным образом (как в методе Гаусса) производят исключения неизвестных х ₁. Аналогичные действия повторяют и с оставшимися уравнениями. Т.е. из оставшихся n-1 уравнений на вторую строку переставляют уравнение с максимальным коэффициентом при х ₂. Делят второе уравнение на а ₂₂ и последовательно вычитают его из оставшихся n-2-х, предварительно умножая на а ₃₂, а ₄₂ и т.д.

Смысл выбора главного элемента состоит в том, чтобы сделать меньшими коэффициенты при неизвестных в процессе исключения неизвестных и, тем самым, уменьшить погрешность вычислений.

Метод простой итерации решения СЛАУ. Для использования этого метода систему, имеющую вид:

нужно привести к следующему виду (называемому нормальным):

(1)

Затем в полученную систему подставляют начальное приближение решения, т.е. некоторый набор значений и вычисляют следующее приближение решения – набор значений . Полученный набор значений снова подставляют в систему (1) для вычисления следующего приближения и т.д. Процесс повторяется до тех пор, пока не будет достигнута необходимая точность решения.

Данный метод сходится при выполнении одного из следующих условий:

(2)

Т.е. метод простой итерации решения СЛАУ сходится, если максимальная из сумм модулей коэффициентов при неизвестных системы (1) взятых по строкам меньше единицы либо если максимальная из сумм модулей коэффициентов при неизвестных системы (1) взятых по столбцам меньше единицы, либо если сумма квадратов всех коэффициентов при неизвестных в правой части системы (1) меньше единицы. Каждое из этих условий является достаточным для сходимости метода, но не необходимым. Это означает, что метод сходится при выполнении хотя бы одного из этих условий, но он так же может сходиться и тогда, когда ни одно из них не выполняется.

Момент прекращения вычислений можно определить руководствуясь эмпирическим правилом: если в ходе итераций некоторая десятичная цифра повторилась 3 и более раз – её можно считать верной.

Во всех остальных случаях (когда выполняется одно из условий (2)) степень приближения к точному решению оценивается по формуле:

, (3)

При выполнении одного из условий (2) в качестве начального значения решения можно взять любой набор значений.

Где α – величина, вычисляемая по одной и формул (2) по которой обнаружена сходимость метода.

Метод Зейделя решения СЛАУ. Метод Зейделя является модифицированным методом простой итерации.

В данном методе при вычислении k -го приближения неизвестного х _i при i >1 используются уже вычисленные ранее k -е приближения неизвестных х ₁, х ₂,… х _i-1.

Вычислительные формулы при этом примут вид:

Условия сходимости и условия прекращения итераций для метода простой итерации остаются верными и для метода Зейделя.

Обычно метод Зейделя даёт более быструю сходимость. Он более удобен при программировании, т.к. при вычислении х _i^k нет необходимости хранить промежуточные значения х ₁^k-1, х ₂^k-1,… х _n^k-1.

ЗАДАНИЯ

1. Используя методы Гаусса и Зейделя, разработать схемы соответствующих алгоритмов решения СЛАУ в среде MS Excel.

2. Разработать схемы программ решения СЛАУ с использованием средств математического пакета MathCad: lsolve(), Given …Find(), метода обратной матрицы.

3. Получить решение СЛАУ, приведенной в табл. 1 (в соответствии со своим вариантом), с использованием алгоритмов, полученных при выполнении п.п. 1 и 2.

4. Вычислить точностные оценки методов по координатам: