Будемо вважати, що функція f(x) – неперервна і невід’ємна на [a,b].
Побудуємо графік функції
s – з геометричної точки зору уявляє собою площу ступінчатої фігури, що цілком міститься в криволінійній трапеції.
S – з геометричної точки зору уявляє собою площу ступінчатої фігури, що містить криволінійну трапецію.
Властивості сум Дарбу
Властивість 1. Нехай s1, S1 – нижня і верхня суми Дарбу, що відповідають розбиттю Т1[a,b], а s2, S2 – суми Дарбу, що відповідають розбиттю Т2[a,b]. Причому всі точки ділення Т1 міститься серед точок ділення Т2, тоді виконується нерівність: 
, 
. Тобто при додаванні точок ділення нижня сума Дарбу не зменшується, а верхня не збільшується.
Достатньо довести цю властивість для випадку, коли додається одна точка.
Нехай ця точка 
Тоді введемо позначення 
Доведемо, що , для цього знайдемо різницю S2-S1
Отже, 
.
Властивість 2. Нехай s1, S1 – суми Дарбу, що відповідають розбиттю Т1, а s2, S2 – суми Дарбу, що відповідають розбиттю Т2.
Тоді нижня сума Дарбу одного розбиття не перевищує верхню суму іншого.
, 
Введемо розбиття Т3, що складається з точок ділення розбиття Т1 і Т2.
s3, S3 – суми Дарбу розбиття Т3
Тоді з властивості 1 для розбиття Т1 і Т3 випливає , 
(1)
З властивості 1 для Т2 і Т3 випливає 
, 
(2)
розбиття (і для Т3) одержимо, що 
(3)
З (1), (2), (3) випливає, що 
, тобто .
Аналогічно для .
ІНТЕГРАЛИ ДАРБУ
Зауваження! Множина нижніх сум Дарбу, що відповідають різним розбиттям сегменту 
обмежена зверху будь-якою верхньою сумою. Аналогічним чином верхніх сум Дарбу, що відповідають різним розбиттям сегменту [a,b] обмежена знизу будь-якою нижньою сумою.
Означення 1. Нижнім інтегралом Дарбу 
називається точна верхня межа нижніх сум Дарбу. 
.
Означення 2. Верхнім інтегралом Дарбу 
називається точна нижня межа верхніх сум Дарбу. 
Твердження 4. Нижній інтеграл не перевищує верхнього інтегралу 
.
Доведення: припустимо протилежне, 
=> 
З означення1 (верхньої точної межі): 
: 1) 
2) 
. 
. Візьмемо 
, тоді 
(1). Аналогічно з означення 2 (нижньої точної межі): 
=> 
, тоді 
=> 
(2) З (1) та (2) => 
=> 
, прийшли до протиріччя.
Наслідок. З означень інтегралів Дарбу => виконується 
для будь-якого розбиття 
Теорема (про існування визначеного інтегралу)
Для того, щоб існував визначений інтеграл функції 
на необхідно і достатньо, щоб виконувались рівність 
, де 
і 
- верхня та нижня суми Дарбу, 
- діаметр розбиття проміжку .
Доведення.
Необхідність: 
=> 
: 
розбиття 
, 
. 
: 
, за означенням визначеного інтегралу. З останньої нерівності випливає, що 
(1). Для данного розбиття має місце рівність: 
; 
; Оскільки 
=> з (1) отримаємо 
. З нерівностей (1) та (2) випливає, що 
, це означає,що що різницю 
можна зробити як завгодно малою => , необхідність доведена.
Достатність: 
. Для розбиття проміжних точок, згідно з наслідком до твердження 4: 
=> 
(при 
). 
=> 
(3). Нехай 
- з інтегрованих сум, що відповідає тому ж розбиттю сегменту, що і суми Дарбу 
. Тоді згідно із твердженням (3): 
(4). З нерівностей (3) та (4) => 
(при ) => 
Наслідок. Оскільки виконуються рівності: 
= 
, 
, 
, то необхідну і достатню умову інтегрованості можна подати у вигляді: 
(**). Величину 
називають коливанням функції 
на проміжку 
.
КЛАС ІНТЕГРОВАНИХ ФУНКЦІЙ
1) Класс неперервних функцій
Теорема 1. Якщо функція неперервна на заданому проміжку , то вона інтегрована на цьому проміжку.
Доведення. Нехай функція непереревна на заданому проміжку , за теоремою Кантора, тоді вони рівномірна- непереревна на цьому проміжку. З наслідку до теореми Кантора випливає : для будь-якого розбиття , : 
. Тоді розглянемо суму 
= 
=> => функція інтегрована на проміжку , згідно з необхідною і достатньою умовою інтегрованості.
2) Класс обмежених розривних функцій
Означення. Будемо говорити, що точка х покрита інтервалом 
, якщо вона належить цьому інтервалу.
Теорема 2. Нехай виконується умови: 1) функція 
обмежена на проміжку , 2) 
скінченне число інтервалів, що покривають всі точки розривів і мають сумарну довжину менше ніж 
, тоді функція інтегрована на проміжку .
Доведення. Нехай задано 
тоді згідно з другою умовою теореми 
скінченне число інтервалів 
(k=1,2,..,m), щ о покривають всі точки розриву функції на проміжку 
і мають сумарну довжину 
. 
(1). Всі точки проміжку , що не належать 
утворюють скінченне число сегментів, на яких функція неперервна і згідно з теоремою Кантора рівномірно-неперервна. Розібємо ці сегменти на часткові сегменти таким чином, щоб коливання функції 
на кожному з них було менше ніж і 
(2). Таким чином, інтервал 
, а також точки ділення сегментів на яких функція неперервна, утворюють розбиття сегмента 
Для цього розбиття утворюються наступна рівність: 
(3), де сума 
побудована для точок , що відповідають інтервалам 
, а 
- з усіх інших точок. Введемо позначення: , , 
, 
. Зробимо оцінку сум 
та 
: 
= 
= 
(4). 
= 
(5). З нерівностей (3), (4) та (5) => 
= 
. Цю суму можна зробити як завгодно малою .
Наслідок. Нехай виконуються умови: 1) функція обмежена на проміжку , 2) функція має розрив в скінченному числі точок сегмента , тоді функція інтегрована на проміжку 
Зауваження! Нехай виконані умови: 1) функція неперервна на проміжку , 2) функція 
обмежена на проміжку та співпадає з 
проміжку за виключенням скінченного числа точок, тоді функція також інтегрована на проміжку 
при чому виконується рівність: 
.
3) Класс обмежених монотонних функцій
Теорема 3. Нехай функція обмежена та монотонна на проміжку , тоді вона інтегрована на цьому проміжку.
Доведення. Нехай не спадає і обмеженна на проміжку 
Нехай задано 
. Обчислимо 
. Розібємо сегмент 
точками 
таким чином, щоб діаметр покриття 
. Тоді розглянемо суму 
= 
= 
= 
= 
= , тобто 
ВЛАСТИВОСТІ ВИЗНАЧЕНОГО ІНТЕГРАЛА
Коли вводилось поняття визначеного інтеграла, ми вважали, що а < b
За означенням будемо вважати:
1. Якщо a > b, то 
2. Якщо a = b, то 
Властивість 1
Якщо функція f(x) інтегрована на [a, b], то вона інтегрована і на [b, a], при чому 
Властивість 2
Якщо функція f(x), g(x) інтегровані на [a, b], то функції [f(x) ± g(x)] також інтегровані на цьому проміжку. Причому 
(*)
Доведення
Нечай умови теореми виконані, тобто функції f(x) та g(x) – інтегровані на [a, b]. Для будь-якого розбиття сегменту точками х; і для будь-якого вибору проміжків точок ξ і є [xi-1, xi] виконується рівність рівняння інтегральних сум:
Оскільки функції f(x) і g(x) – інтегровані то існують скінчені границі ∃ 
, ∃ 
(де d – діаметр розбиття). Це означає, що існує і границі лівої суми 
, це означає що функція 
інтегрована на [a, b]
Рівність (*) можна отримати з (1), якщо перейти до границі коли d прямує до 0.
Властивість 3
Якщо функція f(x) інтегрована на [a, b], то функція с·f(x) також інтегрована на [a, b]. Причому виконується рівність: 
Доведення аналогічно другій властивості.
Наслідок
Якщо функції fi(x) (і = 1, 2, …, n) – інтегровані на проміжку [a, b], то їх лінійна комбінація 
(
також інтегрована на [a, b]. Причому виконується рівність 
Властивість 4
Нехай f(x) інтегрована на найбільшому з проміжків [a, b], [a, c], [c, b], тоді вона інтегрована на двох інших проміжках. При чому ∀ розташуванні точок a, b, c, виконується рівність: 
(1)
Доведення
I) Якщо a < c < b. Розіб’ємо проміжок [a, b] точками xi на n проміжків [xi-1, xi] Причому с – є однією з точко ділення
S – s = 
(2)
Wi - коливання функції на f(x) на [xi-1, xi], Wi’, Wi’’ відповідні коливання функції на частинних проміжках [a, c], [c, b].
Оскільки функція f(x) інтегрована на [a, b], то границі 
= 0
- складаються з невід’ємних доданків то з (2) одержимо, що 
= 0, 
= 0, а це означає, що функція f(x) інтегрована на проміжках [a, c] і [c, b] відповідно.
Запишемо очевидні рівності для інтегральних сум:
(3)
Якщо в цій рівності перейти до границі, де d → 0, то перейдемо до рівності (1)
II) При будь-якому іншому розташуванні точок a, b, c, рівність (1) не змінюється. Наприклад b < a < c. Застосувавши доведення в I випадку твердження 
В результаті одержимо:
Тобто одержали рівність (1), рівність доведена.
Зауваження:
Якщо функція f(x) інтегрована на будь-яких двох проміжках з трьох проміжків [a, b], [a, c], [c, b], то вона інтегрована і на третьому також.
Властивість 5
Нехай виконуються умови:
1) функція f(x) інтегрована на проміжках [a, b];
2) ∀x є [a, b]: f(x) ≥ 0
3) a < b
Тоді 
Доведення
Нехай задане ∀ розбиття сегмента [a, b] точками xi, і вибрані ∀ 
є [xi-1, xi], тоді з II умови впевнимося, що інтегральна сума
Оскільки функція f(x) інтегрована на [a, b], то існує скінчена границя:
∃ 
Властивість 6
Нехай виконується умови:
1) функції f(x) і g(x) – інтегровані на проміжку [a, b];
2) ∀x є [a, b]: f(x) ≤ g(x);
3) a < b;
Тоді
Доведення
Введемо функцію h(x) = g(x) – f(x), ця функція очевидно, що більше 0: h(x)≥0. Ця функція задовольняє властивості 5, а це означає що виконується нерівність:
Властивість 7
Нехай виконується умови:
1) функція f(x) – інтегрована на [a, b];
2) ∀x є [a, b]: m ≤ f(x) ≤ M;
3) a < b;
Тоді виконується наступна подвійна нерівність:
m(b – a) ≤ 
M(b – a)
Доведення цієї властивості випливає з властивості 6, якщо взяти функції y=m, y = f(x) і y = f(x), y = M.
Властивість 8
Нехай виконується умова:
1) функція f(x) – інтегрована на [a, b];
2) a < b
Тоді функція |f(x)| також інтегрована на [a, b] причому виконується нерівність: | 
(1)
Доведення
Нехай умови теореми виконані розіб’ємо проміжок [a, b] точками xi на n частинних проміжків [xi-1, xi]. Застосуємо нерівність трикутника для подальшого доведення.
||α| - |β|| ≤ | α – β|(∀α, βє R) (2)
∀ 
, 
: ||f()| - |f(
)|| ≤ |f()| – f()| => 
||f()| - |f()|| ≤ 
|f()| – f()|
Тобто 
≤ 
(3), де , – коливання f(x), |f(x)| на 
. А тоді з нерівності (3) випливає наступна нерівність для сум:
(4)
Оскільки функція f(x) інтегрована на [a, b], то 
Тоді з нерівності (4) => 
це означає, що функція |f(x)| - інтегрована на [a, b]. Нерівність (1) випливає з нерівності інтегральних сум. Оскільки |f(x)| ≤ f(x) ≤ |f(x)| згідно нерівність (6), (7) | 
ФОРМУЛИ СЕРЕДНЬОГО ЗНАЧЕННЯ
Властивість 9.
Нехай виконані умови:
1. Функція – інтегрована на проміжку 
;
2. 
.
Тоді має місце формула середнього значення:
Доведення:
1) Розглянемо випадок 
, тоді за властивістю 7:
Оскільки 
існує, то 
.
2) Розглянемо 
тоді для проміжку 
виконується властивість 7. Тоді можемо записати:
Наслідок
Якщо умови властивості 9 виконані і крім того функція 
– неперервна на , то має місце формула середнього значення для неперервної функції:
Де 
.
Доведення:
Нехай умови виконані, тоді за 2 теоремою Вейерштрасса функція досягає своїх точних верхньої і нижньої меж на . А тоді згідно з 2 теоремою Больцано-Коші для одержаного у властивості 9 числа 
знайдеться число 
, а це означає, що виконується рівність (2).
