Інтегрування раціональних функцій

Цей метод доцільно використовувати лише тоді, коли знаменник дробу має прості дійсні корені, коли має місце:

(4)

A_i є R

Знайдемо коефіцієнти A_i. Помножимо обидві частини рівності на (x-a_i)

Ця рівність має місце для будь-яких х, в тому числи x=a_i, покладемо x=a_i і в результаті отримаємо

Таким чином, щоб знайти коефіцієнти в знаменнику дробу треба викреслити дужку з виразом (x-a_i) і у виразі, що залишився покласти x=a_i

Приклад 2.

Виходить:

Метод Остроградського

Зауваження: як випливає з попередніх розділів (I-III) інтеграл від раціональної функції завжди можна обчислити і він зводиться до суми 3-х функцій: логарифмічної, арктангенса, раціональної.

Метод Остроградського дозволяє алгебраїчним шляхом виділити раціональну частину інтегралу від раціональної функції.

Метод Остроградського доцільно використовувати коли знаменник раціонального дробу має кратні корені, тоді інтеграл цієї функції можна подати у вигляді

Q₁(x) – найбільший спільний дільник многочленів Q(x) та Q’(x); Q₂(x)=

P₁(x), P₂(x) – многочлени з невизначеними коефіцієнтами, степені яких на одиницю менше, ніж їх знаменники.

Якщо знаменник Q(x) має наступний вигляд:

то

Продиференціюємо рівність (1)

Далі використати метод невизначених коефіцієнтів.

Приклад.

ð

x⁵: 0=M

x^4: 0=3A-4A+N

x³: 0=2B-4B+2M

x²: 0=C+3A-4C+2N

x¹: 0=2B-4D+M

x⁰: 1=C+N

ІНТЕГРУВАННЯ ІРРАЦІОНАЛЬНИХ ВИРАЗІВ

У загальному випадку інтегрування ірраціональних функцій не можна звести до елементарних функцій, тобто їх не можна про інтегрувати у скінченному вигляді. Але у деяких випадках за допомогою метода підстановки вдається звести інтеграл від ірраціональної функції до інтеграла від деякої раціональної функції. Це означає, що даний інтеграл можна обчислити у скінченному вигляді.

Раціональні функції будемо позначати, як де - змінні, відносно яких дана функція є раціональною.

Приклад.

I. Інтегрування дробово-лінійної функції.

Нехай задано такі умови:

Зробимо заміну змінної:

де N = НСК(), тоді з цього випливає, що:

З (1) випливає:

Таким чином, інтеграл від ірраціональної функції відносно x, ми звели до інтеграла від раціональної функції відносно змінної t. Як відомо інтеграл (2) завжди можна про інтегрувати в скінченному вигляді. Повернувшись до змінної x за допомогою підстановки одержимо необхідний результат, тобто інтеграл від змінної x.

Приклад.

Поділивши многочлен на многочлен з остачею, отримаємо:

Отже,

=

II. Інтегрування диференціальних біномів (біноміальних диференціалів).

Означення. Диференціальним біномом (біноміальним диференціалом) називається вираз вигляду:

де m, n, p Î Q, a, b Î R.

У загальному випадку, диференціальні біноми не можна про інтегрувати у скінченному вигляді. Але, за допомогою деяких підстановок, які називаються підстановками Чебишева, про інтегрувати диференціальний біном вдається.

1) Нехай

де m, n, p Î Q, a, b Î R. Крім того, нехай p Î Z. Тоді має місце така підстановка:

де r – НСК знаменників чисел m і n (тобто, якщо то r – НСК ).

З цього випливає, що Тоді:

Отже, у такому випадку можна знайти у I у скінченному вигляді, а після цього повернутися до заміни, тобто: .

2) Нехай

де m, n, p Î Q, a, b Î R, крім того, Î Z. Тоді, нехай , де s – знаменник числа p (spÎ Z).

Тоді:

Так як Î Z, sp + s - 1Î Z, то:

а отже I можна знайти у скінченному вигляді.

3) Нехай

де m, n, p Î Q, a, b Î R, крім того, Î Z. Тоді має місце така підстановка:

де s – знаменник числа p (spÎ Z).

Тоді:

так як Î Z, Î Z.

Зауваження. Доведено, що якщо жодне з 3-х чисел то інтеграл від диференціального бінома не можна виразити у скінченному вигляді.

Приклад.

отже застосуємо другу підстановку:

III. Інтегрування квадратичних ірраціональностей.

Нехай:

ОДЗ: .

1) Перша підстановка Ейлера.

Нехай D < 0.

Отже отримали, що і , тобто чисельник цього виразу не впливає на знак початкового виразу, тобто знак співпадає зі знаком . Тоді, за умовою

Підстановка: називається першою підстановкою Ейлера. Для визначеності, нехай: . Звідси знайдемо х і dx:

Отже, отримали раціональну функцію, яку можна про інтегрувати у скінченному вигляді.

2) Друга підстановка Ейлера.

Нехай D = > 0. Нехай корені тричлена . Тоді:

Здійснимо таку підстановку:

Інтеграл вигляду (*) завжди можна про інтегрувати в скінченному вигляді, тобто подати у вигляді скінченної суми елементарних функцій.

Зауваження. Першу підстановку також можна зробити і для D > 0, при цьому розглядають 2 випадки:

1) a > 0. У такому випадку перша підстановка використовується в чистому вигляді.

2) a < 0, але c > 0. У цьому випадку, застосувавши підстановку , можна одержати інтеграл, що містить квадратичну ірраціональність, а, отже його можна про інтегрувати, за допомогою першої підстановки Ейлера.

ІНТЕГРУВАННЯ ТРИГОНОМЕТРИЧНИХ ФУНКЦІЙ

1. Універсальна тригонометрична підстановка

Приклад:

Зауваження. Універсальна підстановка часто приводить до складної раціональної функції.

2. Частинні підстановки

Розглянемо деякі властивості :

Властивість 1: Якщо , то (1)

Властивість 2: Якщо , то

З рівності (1) випливає, що , тоді з властивості 1випливає, що має місце подання:

Властивість 3: Якщо , то

З властивості 1 випливає, що

Таким чином .

1) Якщо , то

Підстановка

2) Якщо , то

Підстановка

3) Якщо , то

Підстановка

Приклад: