Декартовы координаты. Координаты вектора, действия над векторами, заданными своими координатами.

Аффинная (декартова) система координат на плоскости задается точкой О (начало координат) и парой приложенных к ней неколлинеарных (т.е. линейно неза-висимых) векторов . Векторы называются базисными векторами (также говорят, что образуют базис). Векторы определяют две

Рис. 4. координатные оси Ох₁ и Ох₂ и являются единичными векторами этих осей (рис. 4).

Система координат обозначается через или через Ох₁х₂.

Пусть М – какая-нибудь точка плоскости; обозначим через и проекции точки М соответственно на оси координат Ох₁ и Ох₂ (рис.5). Длины векторов называются соответственно первой и второй координатой точки М.

Рис.5. Рис.6.

Любая пара чисел х₁, х₂ однозначно определяет точку М; точка М с координатами х₁, х₂ обозначается так: М(х₁, х₂).

Координаты произвольного вектора относительно базиса (относительно базисных векторов ) называются координатами вектора относительно системы координат ; они являются проекциями вектора на оси координат и не зависят от выбора начала координат (рис. 6). Вектор с координатами х₁, х₂ обозначается так: ; тогда

. (1)

Координаты любой точки М в данной системе координат – это координаты вектора в этой системе координат ( называют радиус-вектором точки М).

Два вектора и равны тогда и только тогда, когда равны их соответствующие координаты.

Если , то для координат х₁, х₂ вектора имеем

Афинная система координат в пространстве строится аналогично с очевидными изменениями.

Задание прямоугольной системы координат на плоскости или в пространстве прежде всего предполагает выбор одной определенной единицы длины (масштаба). После того, как масштаб выбран, прямоугольная система координат определяется (как частный случай аффинной системы) требованием, чтобы единичные координатные векторы ( на плоскости; в пространстве) были взаимно перпендикулярными ортами (векторы называются основными или базисными ортами прямоугольной системы координат).