Приведем примеры решения типичных задач.
Задача. Проверить, что векторы, совпадающие с медианами любого треугольника, в свою очередь могут служить сторонами другого треугольника.
Решение. Рассмотрим произвольный 
. Пусть 
; АМ, BN и СР – медианы 
. Выразим векторы 
и 
через векторы 
.
. 
, так как векторы образуют замкнутую систему.
Вычислим сумму 
.
Таким образом, три вектора 
образуют замкнутую систему, то есть на медианах произвольного треугольника можно построить другой треугольник.
Задача. В тетраэдре 
даны ребра, выходящие из вершины А: 
Выразить через эти векторы остальные ребра тетраэдра, медиану 
грани 
и вектор 
, где Q – центр тяжести грани BCD.
Решение. Ребра тетраэдра:
Медиана :
Для нахождения вектора нужно учесть, что медианы точкой пересечения (центр тяжести треугольника) делятся в отношении 2:1. Таким образом,
.
Задача. В параллелограмме ОАВС точки M и N – середины сторон 
и 
соответственно. Найти отношение 
, где Р — точка пересечения 
и 
.
Решение. Пусть 
Тогда 
. Так как 
.
Из 
из 
Так как 
То есть, 
Таким образом, 
Задача. Разложить вектор 
по трем некомпланарным векторам:
Решение. Если мы имеем три некомпланарных вектора, например 
, то любой четвертый вектор 
может быть однозначно разложен по векторам 
следующим образом:
. (3)
То есть имеем: 
.
Найдем числа 
, одновременно не равные нулю. Для этого представим правую часть последнего равенства в виде:
.
Получаем систему уравнений:
Подставляя эти значения в равенство (3), получим разложение вектора 
:
.
Задания для самостоятельного решения.
1. Каким условием должны быть связаны векторы 
, чтобы вектор 
делил угол между ними пополам? Предполагается, что все три вектора отнесены к общему началу. (Ответ: p=q)
2. Зная векторы, служащие сторонами треугольника 
, найти векторы, соответственно коллинеарные биссектрисам углов этого треугольника.
(Ответ: 
- внутренних углов;
- внешних углов)
3. На боковых сторонах АВ и ВС равнобедренного треугольника АВС расположены соответственно точки M и N так, что 
и 
. Прямая MN пересекает высоту 
в точке О. Найти отношение 
. (Ответ: 
)
4. В 
проведена биссектриса BD угла B. Найти разложение вектора 
по векторам 
и 
. (Ответ: 
)
5. В правильном шестиугольнике 
даны: 
и 
. Разложить по этим двум векторам 
.
(Ответ: 
)
6. В равнобочной трапеции известно нижнее основание 
, боковая сторона 
и угол между ними 
. Разложить по 
и 
все векторы, составляющие остальные стороны и диагонали трапеции. (Ответ: 
)
7. В 
АВС сторона ВС разделена точкой D в отношении m:n, то есть 
. Разложить вектор 
по векторам 
и 
. (Ответ: 
)
8. Точки K и L являются серединами сторон АВ и ВС параллелограмма ОАВС. Доказать, что точка пересечения диагоналей параллелограмма совпадает с точкой пересечения медиан 
.
9. На сторонах АВ и АС треугольника АВС взяты соответственно точки M и N так, что 
. Точку пересечения отрезков BN и CM обозначим через О. Найти отношения 
и 
. Доказать, что при 
медианы пересекаются в одной точке.
(Ответ: 
)
10. Зная разложения векторов 
по трем некомпланарным векторам 
, проверить, будут ли 
компланарны, и в случае утвердительного ответа дать линейную зависимость, их связывающую: 
(Ответ: 
- некомпланарны)
11. Найти линейную зависимость между данными четырьмя неком-планарными векторами: 
(Ответ: 
)
12. В разложении вектора 
по двум неколлинеарным векторам 
могут ли оба коэффициента разложения 
или один из них равняться нулю? (Ответ: а) 
, если 
; б) 
; в) 
)
