Сабақ. Түзулеу әдісі

[4] І тарау § 2, [5], [6] I тарау, 1.,2.,3., [7] 1-тарау

Есеп шартында кесінділердің қосындысы немесе айырмасы болып келетін есептер түзулеу әдісімен шығарылады. Түзулеу әдісі бойынша алдымен кесінділердің берілген қосындысы не айырмасы тікелей кіретін көмекші фигураны салып алып, сонан соң іздеп отырған фигура салынады.

5-есеп. Периметрі және екі бұрышы бойынша үшбұрыш салыңдар.

Берілгені: р, А, С.

Салу керек: ∆АВС.

Шешуі. Талдау. Айталық ізделінді ∆АВС салынған болсын (6-сурет).

Есептің шарты бойынша оның периметрі берілген. Оны АС түзуінде А нүктесінен АD=АВ және С нүктесінен СЕ=ВС саламыз. Үшбұрыш қабырғалары бір түзудің бойында жатыр, яғни олар «түзуленді». DЕ= р. D және В, В және Е нүктелерін кесінділермен қосамыз. Тең бүйірлі ∆АDB және ∆ВСЕ үшбұрыштарындағы табанындағы бұрыштар тең: 1 = 2, 3 = 4. Үшбұрыштың сыртқы бұрышы туралы теоремадан А= 1 + 2 = 1 + 1 = 2 · 1. Сонда 1 = . Дәл сондай 3 = . Шығару жоспары түсінікті.

К

М

2 4

В

A

С 6-сурет

Е

D

 

 

Салу. 1.Берілген А және С бұрыштарды циркуль және сызғыштың көмегімен қақ бөлеміз.

2. Кез келген түзуде берілген DE кесіндісін саламыз.

3.D және Е төбелерінде берілген бұрыштардың жартысына тең болатын бұрыштар саламыз.

4. ∆DBЕ.

5. Алынған үшбұрыштың DВ және ВЕ қабырғаларын қақ бөлеміз және олардың орталары арқылы DE кесіндісімен А және С нүктелерімен қиылысқанға дейін перпендикуляр түзулер жүргіземіз.

6. А және С нүктелерін В нүктесімен қосамыз. ∆АBС - ізделінді үшбұрыш.

Дәлелдеуі. Салу бойынша КА кесіндісі медиана (DК=КВ) және биіктік (КА DB) болғандықтан, ∆АDB − тең бүйірлі және DА = АВ болады. Сол сияқты СЕ = ВС. Р_∆АВС = АВ+ВС+АС = DА+АС+СЕ = DЕ. Сыртқы бұрыш ∆АDB А = 1 + 2 = 1 + 1 =2 · 1. Осыған ұқсас, С=2· 3. Демек, ∆АBС –берілген шарттарды қанағаттандырады.

6-е сеп. Гипотенуза мен катеттің ұзындықтарының айырмасы және басқа катеті бойынша тік бұрышты үшбұрышты салу.

Берілгені: к=с-а, в.

Салу керегі: ∆АВС ( С= 90^о)

Талдау. Айталық, ізделінді АВС тікбұрышты үшбұрышы салынған делік (7-сурет). АС катеті бізге белгілі болсын; В төбесінен солға қарай АВ гипотенузасына тең болатын ВК кесіндісін саламыз. Сонда КС кесіндісі гипетенуза мен екінші катеттің айырымы болады. ∆АВК – тең бүйірлі (КВ=АВ). Тең бүйірлі үшбұрыштың АК табанына ВО медианасын жүргізсек, онда ол әрі биіктік және әрі биссектриса болады. ∆АВК-ның АК табанының орта перпендикуляры ізделінді АСВ тікбұрышты үшбұрышының В төбесін анықтайды. Демек АВС тікбұрышты үшбұрышын салу үшін АСК тікбұрышты үшбұрышын салу керек.

Салу. 1) АСК тікбұрышты үшбұрышын екі катеті бойынша салайық: гипотенуза мен екінші катеттің айырмасына тең КС кесіндісі, берілген катетке тең СА кесіндісі.

2) КА кесіндісінің орта перпендикулярын тұрғызамыз.

3) Орта перпендикулярдың КС сәулесімен қиылысуы В нүктесін аламыз.

4) А және В нүктелерін кесіндімен қоссақ, ізделінді АВС үшбұрышы шығады.

А

К С В

О

7-сурет

Дәлелдеуі. ∆АВС-да С бұрышы тік, АС катеті салу бойынша берілген. ∆КАВ – тең бүйірлі (КВ=АВ), себебі салу бойынша ОВ орта перпендикуляр. Сонда КС=КВ-СВ – гипотенуза мен басқа катеттің айырмасына тең болатын берілген кесінді.