Сабақ. Берілген элементтері бойынша үшбұрыш салу

 

[4] І тарау §2, [5], [6] I тарау, 1.,2.,3., [7] 1-тарау

2-есеп. Қабырғаларының орталары берілген болса, онда үшбұрышты салу керек.

Берілгені: D, N, K нүктелері - үшбұрыш қабырғаларының орталары.

Салу керегі: ∆АВС.

Шешуі.Талдау.

Айталық, ізделінді ∆АВС салынған болсын (3-сурет). Есептің шарты бойынша оның қабырғаларының орталары – D, N, К нүктелері. D, N, К нүктелерін кесінділермен қосып көрелік. DN, NК, DК кесінділері ∆АВС-да орта сызықтар. Үшбұрыштағы орта сызықтар үшбұрыштың қабырғаларына параллель. ∆АВС-ның қабырғалары ∆DNК-ның қабырғаларына параллель және оның төбелері арқылы өтеді.

А К С

В

D

N

2 5

3 3

4 4

3-сурет

Салу. 1) Бізге берілген қабырғалардың орталарын D, N, К әріптерімен белгілейміз.

2) Оларды кесінділермен қосамыз. ∆DNК аламыз.

3) D нүктесі арқылы КN-ге параллель түзу; N нүктесі арқылы DК-ға параллель түзу; К нүктесі арқылы DN-ге параллель түзу жүргіземіз.

4) Жүргізілген түзулер А, В, С нүктелерінде қиылысады. ∆АВС – ізделінді.

Дәлелдеу. АС║DN-дегі сәйкес бұрыштар болғандықтан 1 = 2 (салу бойынша). АС║DN-дегі айқыш бұрыштар болғандықтан 3 = 4. ВС║DК-дегі айқыш бұрыштар болғандықтан 4 = 5 (салу бойынша). Осыдан 3 = 5. АВ║КN-дегі айқыш бұрыштар болғандықтан 6 = 7 (салу бойынша). Сонда ∆АDК = ∆DNК (DК – ортақ қабырға, 3 = 4, 6 = 7) АК = DN. Енді ∆АDК = ∆ВDN (АК = DN, 1 = 2, 3 = 5) АD = DВ. Демек, D нүктесі – анықтама бойынша АВ кесіндісінің ортасы. N және К нүктелері ВС және АС кесінділерінің орталары екендігі осыған ұқсас дәлелденеді.

3-есеп. Екі қабырғасы және үшінші қабырғаға жүргізілген медиана бойынша үшбұрыш салу.

Берілгені: в, с, m_a.

Салу керек: ∆АВС

Шешуі. Талдау. Айталық, ізделінді ∆АВС салынған болсын (4-сурет). АК медианасын жүргіземіз (ВК=КС). Демек егер АК медианасын екі есе ұзартса, онда үш қабырғасы бойынша ∆АЕС-ын салуға болады. Екі қабырғасы және олардың арасындағы бұрыш бойынша ∆КЕС=∆АВК. Тең үшбұрыштарда СЕ=АВ, ал басқа қабырғасы берілген. Одан кейін АЕ-де АК саламыз және К нүктесі арқылы СК сәулесін жүргіземіз де, онда КВ=СК саламыз. Жоспары түсінікті және салуға көшеміз.

А

В

С

К

Е

4-сурет

Салу. 1) Үш қабырғасы бойынша ∆АЕС-ын (АЕ = 2 m_a, AС = в, СЕ= с) саламыз.

2) АК = m_a болатын К нүктесінен СК = КВ саламыз.

3) А және В нүктелерін қоссақ ізделінді ∆АВС аламыз.

Дәлелдеуі. Салуымыз бойынша AС = в, СЕ= с, АЕ = 2 m_a. АК = m_a= АЕ, СК=КВ. АКВ және ЕКС вертикаль бұрыштар. Демек ∆КЕС=∆АВК. Олай болса, СЕ=АВ=с. АВС үшбұрышы берілген шарттарды қанағаттандырады.

Зерттеу. Егер көмекші ∆АЕС-ын салу мүмкін болса, ∆АВС салуға болады. ∆АЕС-ын в+с >2 m_a орындалғанда шешімі болады.

4-есеп. Үш медианасы бойынша үшбұрыш салу.

5-сурет

О

В

А В1 С

А1

С1

Е

Шешуі. Талдау. Айталық, ізделінді ∆ АВС үшбұрышы салынған болсын (5-сурет). АА₁, ВВ₁, СС₁ медианалары. Үшбұрыштың медианалары бір нүктеде қиылысады және онда төбесінен бастап санағанда 2:1 қатынаста бөлінеді. Әрбір медиананы 3 тең бөлікке бөліп және олардан ∆ОВ₁Е құрасыру керек. Әрі қарай қимыл жоспары түсінікті.

Салу. 1. Берілген әрбір медиананы 3 тең бөлікке бөлеміз.

2. Әрбір медиананың үштен бір бөліктерінен 3 қабырғасы бойынша ∆ОВ₁Е саламыз.

3. Одан кейін О және Е нүктелері арқылы түзу жүргіземіз және онда ОЕ кесіндісіне тең болатын ЕС және ОС₁ кесінділерін саламыз.

4. С және В₁ нүктелері арқылы түзу жүргіземіз де онда В₁ нүктесінен В₁С кесіндісіне тең АВ₁ кесіндісін саламыз.

5. Әрі қарай А және С₁ нүктелері арқылы түзу жүргіземіз және онда С₁ нүктесінен АС₁ кесіндісіне тең С₁В кесіндісін саламыз.

6. В және С нүктелерін кесіндімен қосамыз.

7. Алынған ∆АВС ізделінді болады.

Дәлелдеуі. Салу бойынша ∆АВС-да АВ₁=В₁С және АС₁= С₁В, сондықтан ВВ₁ және СС₁ медианалар болып табылады, ал үшінші медиана олардың қиылысу нүктесі арқылы өтеді. Әрбір медиана салуы бойынша ∆ОВ₁Е–ның сәйкес қабырғасынан 3 есе үлкен болады. Сондықтан ∆АВС ізделінді болады.

Зерттеу. Егер берілген медианалар үшбұрыш теңсіздігін қанағаттандырса, онда есептің жалғыз ғана шешімі бар.