ғғ ә ү .
, ғ ң ө ң . , ғ үұң қғ ққң ү қ ө ң - ө ңң , ғ , ғ ' ү қ. ң ' , - ү ғ ң, ұ ғ , ү , ғ ғ.
ғ ғ, ғ қ ң ң ғ , қғң ә ұ, ұң ң қ ғ ғ.
ұ қ.
1) ққң - ү ғ , ү ұ ң ң ү. ң ә ң ң . ө ғ ө ң ө ққ ң ұ ғ қғ . , ө ұ ә ғ ңң R ң ү үұ ү ұқ ө ұ ң ү '' ' үұ , ң үұ ғ ңң ә k = R '' ' үұ ғ үұқ ү.
2) Ұқ ң ә ққ ң қң (ң) қ. ң ұқ (ә) ққ ң қ ә ң k ң, , ұқ үұң ң ә қғң . Ұқ ң ң ә ң ң қ [30].
|
|
Әү ғ ққ.
53 - 0 ү ә k=2 ғ ғ үұң құғ, 0 ү ә k= - 2 ғ ө.
ұ қ ұ ұқ үұ . ғ ұққ 2 ә ә
111үұң ә қғ ө.
- 53. 0 ү ә - 54. 0 ү ә
k=2 ғ k=-2 ғ .
27. үұ ң қ үә
ғ үұң ө қ қ қғң ө.
ә. 55- ққ.Үұ ң қ , қ ү ө ғ 2:1 қ ө.
, ү ә , ө 1 ө, ө 1 ө, ө 1 ө ө. ә .
56.28 ғ. |
. ә 111үұ .
28. Үұң ү қ.
ә. 111үұ ққ.ң ө қ қ-қ қғ ү ү. үұқ үұ . үұң ө үұң қғң ә ң ө (өң өң). үұң 11, 12 13 өүұ қғң ө.
Қ қ үұң ә қғң , 11, 12 ә 13 ү үұң ә қғ . қ қ ұ ү үұ қғң ү . қ ү қғ ә ә қ . 11, 12 ә 13 қ қ үң ү қ қғ 111 үұң қғ ғ. ә .
|
|
ң ү ңғ ( , ә қғ үұ, ң ә .. ү). ұ ң: ә ү ү , үң қ ү . 57- 11 ү ө.
57. ү .
әү ә 1, ә 1 ү қ, 1 . әү ә 1, ә 1 ү қ, 2 . әү , ң ң ғ ң ө . ққ.
4. ң ү .
.
1) ң ү 1 . ңң қ 1 ңң ү.
2) ғ құ (12 ү).
3) ә 12 ң қ .
58. ң ү . |
ұ. ң ң ғ ө, қ, ө, ң .
ә. қ қ. , ң қ ө. , ү ғ ұ қ. , ң ғ , ң ң . , . қ ң ө ө. қ, ұ 4 ғ ғ, ү ң ә ң ғ, қ ғ қ ү ү ң қ. ғ ө ү ө-ө . ө ң ң ә ө-ө , қ қ . ұ ә [17].
ң қ қ.
29. ң қ .
.
1 қ. ұң ү құ. ( 4- қң).
59. қ . |
- ң ә ө ү қ құ (ң ғ ұ Β2 S ү).
|
|
- S ү, Oү өң .
- ә ғ ңң қ ү . (ұ L ү).
- Β ә ΒL ү ұ .
60. 30 - ғ . |
.
қ. - ғ ң , 1 ғ ң - ң . ұ MN ү ңң ү ө ғ . Қ ү қ ү ө, ү ү . , , ә ү ү . ү ұқ 1 ү ғ ң ү ң . ұ MN ү ңң ү ө ғ . ғ, , F ә C ү ү .
ү ү ңң ү қ [4].
31 - . ұ үұ .
. ұ: α,, β ә . үұ - ғ ң , ұң α,, β ө үұ ғ .
∆ ғ . ұғ ∠BA =α, ∠ACB =β, ә ++= (61-).
- 1 ү -ғ C11 қ. ∆~∆³ѳ . қ 1+C11+1=1 ,
.
-61
AC үң AD=P ө 11// ү ∆ABD~∆1D1 (**) . (*) (**) AD1=P1 .
. ) ұ ∠B1AC1 ұ ∠B1C1=β - ∆ B1C1 .
) ү AC1 ә C1+11+1=1 . AD1 .
) C1 ә ү ө . AD .
) D1 1 -e D- DB ү ү ү .
) - 1C1// ү - . ABC үұ .
ә. ∠BAC = α . ∠B1C1 = β ә 1C1//. қ ∠ ACB=β.
∆-ң 0 , ∆B1C1~ ∆- (***), ∆D11~∆D- = (*** *) (***) (*** *)-
0= ғ.
∆-ң ғ ң . қ үұ .
|
|
. ∆B1C1 ү α+β<180 . ө ә қ ң , a + β ≥ 180 ғ ң .
32-. ңғ ұ ә ң қ ңқғ үұ .
. қ үұ ү қ :
1) ңқғ ;
2) ңң ұ ұ ң ;
3) ң ә ң қ 1 ң .
қғ , ғқ қ үұ ң. ұ үұ ө . ң ө үұ ´´(62-), ұ ´´= .
үұ, қ 1)-3), үұ , ´´ үұ , ұқң қ, ү қ. . ү, ||´ ( ´). ´ ´´ үұң , қ ү ә ´. ү, ұ үұң .
´ ү ү , ´ ә ´ ү ә ү . ´´ үұ үұ ң . 1 , += l. қ, ´´ үұ ғ ң, l´ , ә ´´+´.
ұ ң : , .. .
, үұ ´´ үұ ұққ қ, ұққ ң: .
үұ құғ .
62-
Құ.
1) - ´´ үұ (62-), ғ 1) ә 2) ( ´=´ ә ´´= ).
2) үұң ´ ә ´ ң P´F´=B´C´ қ, AF´=AP´+B´C´. ұ l´қ .
3) AP´ә F ү құ, AF= l қ..
4) құ ´´ {A, }. ұ ү құ FB||F´B´, BC||B´C´. .
ә. ´ B´C´ . Ө ә ´´ұқ,
.
қ , қ ´+´´=l´ құ . , += l.
3) қғ. , 1) ә 2) ғ ө.
. Құғ құғң ққ ғ қ. қ ұ ә ғ . - 111 үұ, , ғ үұ ұқ . қ, 111, қ қ :
.
Ө ´+´´=+, 11=, ұ ү 111= . қ құ ә ә ғ.
33-. Үұң ө ұ ә ғ ү ң қ .
қғ ң ү үұ .
|
|
. ү : 1 - ө ұ , 2- ү қғ ң . 3 - ң қ m - ң .
ғқ қғ ө үұ . ң ∆111 , (63- ) ∆111 =α ә 1=1.
ү қғ үұ ү ∆ 11-ғ үұ .
∆ үұ . ||11, BD . 1 ү ү ә, D1 ү D1, C1 ү ү ә.
∆11 үұ ∆- үұқ ә - қ. BD+AC=m
∆11 - ө ғқ BD1+A1C1=m1 .
= .
∆ A1BC1 қ ∆- ғ (63-).
. ) ү = ұ .
) ң қғ BA1=BC1 1,1 ү A11 .
) 11-ғ BD1 ә ү. ң D1E1=A1C1 . BE1=BD1+A1C1=BD1+Dl1 m .
) BE1 ә 2=m ө .
) 2 - E1A1- ү, ң қ ү - .
) ү 11- - ү. ABC үұ .
-63
ә. ұ ұ ң BD1 A1C1, || A1C1 - ғқ BD AC. қ BD .
, ∆~ ∆111, ғқ
BD+A m.
ө ∆ ү қғ. қ .
. қ ә . қ ң .
34-. ғ ұ ә үұ .
. , ∆ ғ (64- ). BAC =α, BCA =β ә + + = . - ү, -, ү ұ қ ү ө, A1C1 A1A+AC+CC1 AB ++= ә 1, 1 үұ ң ү ғқ AA1B= 1= .
ұ ∆ABC үұ ғ ү .
. ) = ө .
) 1 ү 11 ұ, 1 ү f ұ ү ү ң қ ү - .
) ,-ң ққ 0 , -ң ққ 0- .
) - 1-ғ, 0- 1|-ғ ү ң ү қ ү - . ∆ үұ .
ә. 1-ң ққ ғ 0 ү 1= . ә қ =1 . ңқ 1++1=++= . Үұңқ ұң қ BCA = = + .
ABC үұ .
-64 -65
. <180 ғ ғ ң ә -қ . Ө - 1, C1D ү 11 ң ғ ө ғ . қ ә ғ үұ ң .
35-. ABC үұ , ү ұ ө үұ - , қғ ө ү қғ ( 65-).
. ң ө - қ ң қ қғ -ғ . қ ү.
) - Ғ1 ү , ү - ғ ү ә ү ұ Ғ11 ү ү. ү F1K1=F1E1 . 1- F1E1- ү N- . F1K1F1E1 ү ұ , ө - .
) 1 = ү , Ғ||1Ғ1 KN||K1N1, Ғ||1Ғ1 ү. Ғ||1Ғ1 KN||K1N1 ғқ EFKN .
ә. Ғ||1Ғ1 KN||K1N1 ғқ ∆Ғ~ ∆Ғ11, ∆AKN, ∆AK1Ni.
қ . ұ E1F1F1K1K1N1,
ғқ EF=FK=KN=EN ә ә қғ ғқ EFK= E1F1K1= . қ EFKN . ң әқ ә ғ-қ . Ө ә қ.
ө ғ, ұқ ү ә ұ ң қ қ ү ә ғғ қғ ұ. ұқ ү () ә ғғ ұ, ү [30].
ғ
1. S ә ә ' қ ү
(66-). ү ү .
. қ:
1 ) ү,
2) SM ү,
3) 1||MA, A'l;
4) I S үң қ ' ү , ғ ' = l∩SM. ' ғ ү.
-66
36-. ң m:n қ һ ң.
: ABCD . AC: BD = m: n ә EF =һ. ң қ 1) AO: OD = m: n 2) <AOD =90 ә OF = қ. 1) ә 2) AOD үұ A'O'D' үұ . ү , (һ:һ') қ , AOD үұ, ң .
. ңғ ғ үұғ ұқ ''D' үұ ә ғ AOD үұң ә ң F = . ө , k = = һ:Һ қ.
''D' үұ ғ AOD үұ ү. ү 'Ғ' әң 'Ғ' , Ғ ү қ A'D'- қ ү ү, AOD үұ ғ, AOD үұ ғ қ , ү = , = D , -, - ә D - ү қ. ABCD- ғ .
: ң қғ - қ 111D1 ғ ғ ұқ ә қ ғқ, ң ғ . h1 =һ, A1D1 = AD , , 1 1 C1D1 ABCD ң. ә .
-67
37-. ұ ә ү ө қ ө үұ ғ ңң ң 1 - қ үұ .
: . ң ү . ұ ғ үұғ ұқ ө үұ ғ . ң ''' үұ . , ғ ABC үұ k = S қ A'B'' үұ үұ . (ұғ 1 Һ' ''' үұ ғ ңң r' ң қ).
: ұ ө ''' үұ . '' = Һ' '' =r', 1 = ꞌ' +'' қ, ' ө қ ә k = 1/1ꞌ .
''' үұ ғ үұқ ү, ү '' әң ' ꞊ 1 , ү қ. ү қ ' ' || ү, ү қ 'ꞌ|| ү
- 68 ү. A - ғ үұ.
ә: = ∙ꞌ' ∆ D∞∆ A11 D1 ғқ,
қ
қ 'E'+F' = 1 . C'ꞌ+OF =1 ә
C'+OF =1. ABC үұ ң қ қғ.
: +<1800 , қ ә . ң қғ - A1B1C1 үұ ғ үұқ ұқ , қ . C'ꞌ+O F = C+OF =1 ғқ, . қ ∆'''=∆ABC. , қ ә ғ ғ. ң ә .
38-. ә ө ң , D ә ө ң ғ , өң ABCD .
: . ABCD ғ . ң қғ қ ә ө ң , F қғ ө A'B'C'D' қ. F ә k= A'B'C'D' ғ ABCD ү.
. ң ң F ү, ң FA' = Ғ'
-69
қ. ң қғ қ ә қғ '' - қ ң . F ү ң ө ғ A 'B'C'D' ғ.
ә: қ ABCD - ғ . қ қғ.
: ң ғ ңң ө ү , ң ғ , ү , ң [32].
39-. өң ABCD өұ , қғ өұң , .
: PQMN ғ . A ү ә - қ ≠ 0 (, 0<<1) қ. MQPN , P'Q'M'N' , ұ ң қғ өұң , ' N' ө ұ өұң қғ , ғ ң ң . ( ү ә ꞌ꞊ 1: = AN:AN') ғ ғ P'Q'M'N' ғ .
: 1) Q' - ң ғ - ү.
2) Qꞌ ' // BD;
3) M'N' // . ' Nꞌ ꞊ ' Q', P'Q'M'N' .
4) AN , N=AN ∩ DC
5) MN // NM',M Q // ̒ Q', Q //, N //QM. PQMN - ғ.
ә: ө -ң . MQP1N ө ұ қ, ұғ 1= ∩ Q ә 1 .
ұ ғ ә. Q 1 //, Q // BD, M'N' //AC ә
Q'M'// BD ғқ,
ұ P1Q' = MN ә / / MN, ғ P1QMN - . MNQ ә M'N'Q' қ қ , , MN=MQ.
P1QMN - , 1= ә PQMN - ғ .
: ң әқ ғ . ғ, ө ұ қғ қ. ғ қ, PQ ү () QM (ү), PQ QM ң , ұ ү [32].
-70
40-. < ұ ә һ d: қ үұ .
: . d: қң ұғ қ ң, ғ m: қ. үұқ ұқ үұ .
ү ұң қғ ә ' ә ' .
: ң ABC үұ ұқ ' үұ . ө ққ. '= , Ғꞌ ꞊ ұ қғ , A'B'Cꞌ үұ ғ . A'B'C' үұ ү ABC үұ ғ .
ә: ∆'∞∆ ұқ .
A . ꞌ'| |. D'- үұ , AD = һ үұ . = һ :=:ꞌ ꞊ m:n ғ ABC үұ
қ қғ
-71
41-. ҳұ үұң ү ә . ң ( 72- ).
72-
. AC ә қ . , ACF ұ үұ ғқ, 2 = BE2 - EC2 ә
CF2 = AF2 - AC2, ғ ә . ұ ң ү
, - :
73 - 0,25y2 = 4 52 - 4y2, y2 = 36;
y = 6, = 8; .
42-. ABC үұ =26, =30, =28. ө BD ү. BHD үұң .
. ABC үұң ә ө: S^,c = 0,5 ■ = 0,5 28 Һ = 14Һ; ғ .
, 14h = 336, h = 24 . CD = x , ABC үұң ұ ң қ қ: BC:AB=CD:DA,
30:26=x:(28-x), x=CD=15cm; AD=28-15=13cm. : 2 = 2 -2 = 324, CH=18 , DH=CH-CD=18-15=3cm, S=0,5 DH* = 362.
43-. үұң (73-).
. AABC: mb = BE = 9, ma = AD = 12. mc = CF = 15.
ң ғ ққ.
( ң қ ү).
73-
, үұ AOCB ққ. AC2 + OB2 = 2(AO2 + OC2);
. қ OD , үұ ғ ққ:
қ, =10 . , .
қ ә . ∆ AOC ∆ ABC - ң ң
ғқ, , ғқ, . қ
AOCB :
44 - . ң ү ABC үұң AC, ө ұ ү, ұң CD . D ү қ CD ү ү. ұ ү үұң AC ң ү қ. AD =0,5 ә (74-).
қ ә . CD EFC үұң ә , ә . D ү қғ
( ә CD ұң ) ққ қ, EFC ң ү үұ ғ. ң . ED = DF. D ү - ғ ү ү, AC ү қ. ұ DK EDC үұң . : = ED:DF = 1, ұ DK = 0,5, қ AD = DK= 0,5 EC.
74-
45- . ң ү ғ өң ғ.
ң өң қ - ң. ң ү
ғ ү ұ (75-).
ABCD ң ү , .
ә. ң ұ ә қ ә қ. ә ү өңң ғ . өңң , ң қғ ұқ a, b қ .
ғ ң ғ өұң қ AD+BC=AB+DC ң . ұ 2AD=a+b,
AD=0,5(a+b). ҳұ AED үұ ; ұ
ң r-ң ә қ ққ, sin A = 0,5 ғ. ,
75-
ұ ғ ғ ә қ , ң құ, қ ғ ң ғ .
ә. 75- AD=BC ң , ү ң ү ң қ,
r-ң 1-ә ә ққ, sinA = 0,5, ұ .
ң құ қ ққ.
46-. ҳұ үұң -ғ ң, үұң ү ұ ң ұғ m- ң ү. үұ ң ұқ (76-).
76-
ң құ ә (қ ә) ү =, BC=y . ҳұ үұ : 2 + 2 = AB2, 2 + CD2 = AD2 2 + y2 = c2, 2 + (0,5y)2 = m2.
ұ үң .
қ ң ө қ ә қ. ұ ң қ қ ғ . қ ғ.
47-. ң қғ m ә n ө ө. ң ұқ (77-).
1- ә. ң құғ қ . ү =,
BD=y . = AE + EB = m + n. ұ қ ғ ә қ ө. ED = h , h2 = y2 - n2 ә h2 = (m + n)2 -m2. h2-ң ә ң,
77-
2 -n2 = (m + n)2 -m2, y2 = 2mn + 2n2 . үұ - :
:
2- ә. ә 0,5d1d2 қ қ ғ ң, ғ , үғ . үұ
(0,5d)2 + (0,5d2)2 = (m + n)2 d2 + d2 = 4(m + n)2. ңң ғ 4- ө ң ққ,
ң d - қ ә ңғ ң ққ, ү .
ң d2 -ң ғ ә ққ, ғ.
ң (ұқң ң) қ қ , ғ ұ қ , ө ә . ү ә ү ққ ң , ғ қ ө ң қ құ [30].