Сас түрлендіру. Ұқсас фигуралар

Ұқсас түрлендіру анықтамасы қозғалыстың анықтамасына ұқсас: егер F фигураның Ғ₁ фигурасына түрлендіру кезінде нүктелер арасындағы қашықтық бір санға бірнеше есе өссе, немесе кемісе, онда ол ұқсас түрлендіру деп аталады. Демек, F фигурасының кез келген A және В нүктелері түрлендіру кезінде F₁ фигурасының сәйкесінше А₁ және В₁ нүктелеріне ауысса, онда А₁В₁ = кАВ,

к саны ұқсастық коэффициенті деп аталады.

Ұқсас түрлендірудің анықтамасын енгізген соң, гомотетия ұқсас түрлендіру болатындығы дәлелденеді. Теорема координаттар әдісін қолдану арқылы дәлелденеді. Центрі О нүктесі, коэффициенті к болатын гомотетия аламыз.

Координат жүйесін оның бас нүктесі гомотетия центрімен дәл келетіндей етіп таңдап аламыз. А.В. Погореловтың оқулығында бірдей ұқсас фигуралардың анықтамасы беріледі, содан соң үшбұрыштардың ұқсастығы қарастырылады.

А.С.Атанасянның және т.б. оқулығында әуелі ұқсас көпбұрыштаp оқытылады, содан соң ұқсас фигуралардың жалпы анықтамасы беріледі. Жалпы алғанда, түрлі оқулықтардағы ұқсас фигуралар анықтамаларының бір-бірінен айтарлықтай алшақтығы жоқ: «Егер Ғ және Ғ₁ екі фигуралары бір-біріне ұқсас түрлендірулер арқылы көшетін болса, онда олар ұқсас деп аталады».

Ұқсас түрлендірулер қасиеттерінен, ұқсас көпбұрыштардың сәйкес бұрыштары тең, ал сәйкес қабырғалары пропорционал екендігі шығады. Жеке алғанда, ABC және A₁B₁C₁ ұқсас үшбұрыштарында A= A₁, В= В₁, С= С₁,

;

Үшбұрыштардың ұқсастық белгілерін тұжырымдайық:

1) Егер бір үшбұрыштың екі бұрышы, екінші үшбұрыштың сәйкес екі бұрышына тең болса;

2) Егер біреуінің екі қабырғасы, екіншісінің сәйкес екі қабырғасына пропорционал, ал олардың арасындағы бұрыштар тең болса;

3) Егер бір үшбұрыштың қабырғалары, екінші үшбұрыштың қабырғаларына пропорционал болса, онда ол үшбұрыштар ұқсас болады.

Бұл белгілер гомотетияны қолдану арқылы жиі дәлелденеді.

Бірінші дәлелдеудің сатыларын көрсетейік:

1) Центрін қалауымызша алып, к коэффициентімен ∆А₁В₁С₁ үшбұрышына үшін гомотетия орындаймыз. Гомотетия нәтижесінде алынған үшбұрышты А₂В₂С₂ деп белгілейміз.

2) ∆А₂В₂С₂ = ∆АВС және _∆А₂В₂С₂ = ∆А₁В₁С₁ екендігі дәлелденеді.

3) ∆А₁В₁С₁ үшбұрышы ABC үшбұрышынан ұқсас түрлендіру және қозғалыс нәтижесінде алынғандықтан, олар ұқсас болады.

к - гомотетияның берілген коэффициенті.

Кез келген (х;у) нүктесі (кх;ку) нүктесіне көшетіндей түрлендіру қарастырамыз, осы түрлендірудің гомотетия екендігін дәлелдейміз.

Қандай да болмасын f фигурасының кез келген А(х₁,у₁) нүктесін алайық, ол А₁(кх₁;ку₁) нүктесіне ауысады.

ОА түзуі координат басынан өтеді, демек оның теңдеуі ах+ву= 0 түрінде болады. Ол А нүктесінің координаталарын қанағаттандырады, яғни ах₁ + ву₁ =0. А₁ нүктесінің де координаталары да осы теңдеуді қанағаттандыратындығын көрсетейік:

а (кх₁) + в(к у₁) = к (ах₁ + ву₁) = к ∙0 =0,

Демек, А₁ нүктесі де ОА түзуінде жатады.

ОА= , ОА₁= .

Онда, ОА=к∙ОА₁ ол гомотетия анықтамасы бойынша біздің түрлендіру центрі О нүктесі, коэффициент к болатын гомотетия.

Осы түрлендірудің ұқсас түрлендіру болатындығын дәлелдейік. Ол үшін A₁ B₁ = к∙АВ екендігін көрсетеміз. Мұндағы А және В - берілген нүктелер, ал А₁ және В₁ нүктелері осы гомотетияда А және В нүктелері көшетін нүктелер.

Қозғалыстағы сияқты ұқсас түрлендіру кезінде бір нүктеде жататын A, В, С нүктелері, бір түзуде жататын А₁ В₁ С₁ нүктелеріне көшеді. Егер В нүктесі А және С нүктелерінің арасында жатса, онда В₁ нүктесі А₁ және С₁ нүктелерінің арасында жатады. Бұдан ұқсас түрлендіру кезіңде түзудің түзуге, жарты түзудің жарты түзуге, кесіндінің кесіндіге көшіретіндігі шығады.

Гомотетияны қолдану арқылы ұқсас түрлендіру кезінде сәулелер арасындағы бұрыштардың өзгермейтіндігі дәлелденеді.

Ұқсастық түрлендіру жәрдемімен ұқсас фигуралар ұғымына анықтама беріледі.

Геометрия курстарында ұқсас фигуралар ұғымы қарастырылады. Кейде ұқсас фигуралардың жалпы анықтамасы мүлдем берілмейді, тек үшбұрыштар мен көпбұрыштардың ұқсастығы қарастырылады.

Кеңістіктегі гомотетия және ұқсас түрлендіру жазықтықтағы секілді анықталады. Кеңістіктегі гомотетия ұқсас түрлендіру болатындығы дәл осылай дәлелденеді [30].