Теорема 2. Егер бір үшбұрыштың екі бұрышы екінші үшбұрыштың eкі бұрышына тең болса, ондай үшбұрыштар ұқсас болады.
Д ә л е л д е у. Айталық, ABC және А1В1С1 үшбұрыштарында 
болсын. Сонда, ∆ABC ∞ ∆ А1В1С1 болатынын дәлелдейміз.
Айталық, 
болсын. А1В1С1үшбұрышына ұқсастық
коэффициенті k болып келген қандай да бip ұқсас түрлендіруді, мысалы гомотетияны қолданайық (9-сурет). Сонда АВС үшбұрышына тең қандай да бip A2В2C2 үшбұрышы шығады. Шынында да, ұқсас түрлендіру бұрыштарды сақтап қалдыратындықтан, 
болады. Олай болса, АВС және A2В2C2 үшбұрыштарында 
Әрі қарай, 
Олай болса, ABC және A2В2C2 үшбұрыштары екінші белгі бойынша (қабыр- ғасы мен оған іргелес жатқан бұрыштары бойынша) тең болады.
9-сурет
|
А1В1С1 және A2В2C2 үшбұрыштары гомотетиялы, ендеше, ұқсас болатындықтан, ал A2В2C2 және ABC үшбұрыштары тең және сондықтан ұқсас болатындықтан А1В1С1 және ABC үшбұрыштары ұқсас болады. Теорема дәлелденді [27].
Есеп (2). АВС үшбұрышының АВ қабырғасына параллель жүргізілген түзу оның АС қабырғасын A1 нүктесінде, ал ВС қабырғасын В1 нүктесінде қиып өтеді. Сонда ∆АВС ∞ ∆А1В1С1болатынын дәлелдеңдер.
10-сурет
Ш е ш у i (10-сурет). АВС және А1В1С1 үшбұрыштарының С төбесіндегі бұрышы ортақ, алСА1В1 және CAB бұрыштары тең, өйткені оларАВменА1В1 параллель түзулерін AC түзyi қиып өткенде шығатын сәйкес бұрыштар. Олай болса, eкi бұрышы бойынша∆АВС ∞ ∆А1В1С1болады.
Шбұрыштардың екі қабырғасы және олардың арасындағы бұрышы бойынша ұқсастық белгісі
Теорема3. Егер бір үшбұрыштың eкi қабырғасы екінші үшбұрыштың қабырғасына пропорционал болып және осы қабырғалар жасайтын бұрыштар тең болса, ондай үшбұрыштар ұқсас болады [4].
11-сурет
|
Д ә л е л д е у. (3 теореманың дәлелдеуіне ұқсас дәлелденеді). Айталық, АВС және А1В1С1 үшбұрыштарында 
және AC = kA1C1, BC = kB1C1 болсын. Сонда ∆АВС ∞ ∆А1В1С1болатындығын дәлелдейміз.
А1В1С1үшбұрышына коэффициенті kұқсас түрлендіруді, мысалы (гомотетияны, қолданамыз (11-сурет). Сонда ABC үшбұрышына тең болатын қандай да бip A2В2C2 үшбұрышы шығады. Шынында да, ұқсас түрлендіру бұрыштарды сақтап қалдыратындықтан, 
болады. Демек, ABC мен A2В2C2 үшбұрыштарының 
болады. Әpi қарай A2C2 = kA1C1= AC, В2С2 ꞊ kВ1С1=BC. Олай болса, ABC және A2В2C2 үшбұрыштары бipiншi белгі (eкi қабырғасы және олардың арасындағы бұрышы) бойынша тең болады.
12-сурет
А1В1С1 және A2В2C2 үшбұрыштары гомотетиялы, ендеше ұқсас болатындықтан, ал A2В2C2 және ABС үшбұрыштары тең, сондықтан бұлар да ұқсас болғандықтан, А1В1С1 және АВС үшбұрыштары ұқсас болады. Теорема дәлелденді [4].
Есеп (3). С бұрышы сүйір болып келген ABC үшбұрышының АЕ мен BDбиіктіктері жүргізілген. (12 - сурет). Сонда ∆ABC ∞ ∆EDC болатынын дәлелдеңдер.
Ill е ш у i. ABC мен EDC үшбұрыштарының С төбесіндегі бұрыш екеуіне ортақ. Осы бұрышпен іргелес жатқан қабырғалардың пропорционал болатынын дәлелдейік. Сонда, ЕС꞊AСcosγ, DC꞊ВС cosγ. Яғни үшбұрыштардың Сбұрышына іргелес жатқан қабырғалары пропорционал болады. Демек, eкi қабырғасы мен олардың арасындағы бұрышы бойынша ∆ABC ∞ ∆EDC болады.
