I. Издания текста Архимеда
и старые латинские переводы
1. Θεώρημα κέχρηται ν τ Ψαμμ Αρχιμήδης. s. a (Оксфорд, конец XV века).
2. Campani viri clarissimi Tetragonismus, id est circuli quadratura, Romae edita cum additionibus Grauriсi; Archimedis Syracusani Tetragonismus; de quadratura circuli secundum Boetium. Venetiis, 1503.
3. Archimedis opera, quae quidem exstant omnia, nunc primum et graece et Latine edita; adjecta sunt Eutocii Ascalonitae in eosdem Archimedis libros commentaria, item graece et latine, nunquam antea excusa. Basileae, Jos. Hervagius, 1544 (перевод сделан Тhomas Gechauff Venatorius).
4. Paschasii Hamelii regii mathematici commentarius in Archimedis Syracusani praeclari mathematici librum de numero arenae. Lutetiae, 1557.
5. Archimedis opera nonnulla a Fed. Commandino nuper in latinum conversa et commentariis illustrata. Venetiis, 1553.
6. Archimedis de iis quae vehuntur in aqua libri duo, a Fed. Соmmandino restituti et illustrati, Eiusdem F. Commandini liber de centro gravitatis solidorum. Bononiae, 1565.
7. Guidi Ubaldi in duos Archimedis aequeponderantium libros paraphrasis, scholiis illustrata. Pisauri, 1588.
8. In Archimedis Circuli Dimentionem expositio et analysis. Apologia pro Archimede ad clarissimum Josephum Scaligerum, Oruntium Finaeum et Reymarum Ursum in decem dialogos distincta. Authore Adriano Romano. Wurceburgi, 1597.
9. Archimedis opera quae exstant, novis demonstrationibus commentarisque illustrata. per Dav. Rivaltum a Fleurantio Caenomanus. Paris, 1615. {258}
10. Archimedis opera mechanicorum libri, Apollonii Pergaei conicorum et Sereni de sectione cylindri. Lutetiae 1636 (ed. Mersenne).
11. Lemmata Archimedis apud Graecos et Latinos jampridem desiderata, e veluste codice M. S. arabico, a Johanno Gravio traducta, et nunc primum cum arabum scholis publicata, revisa et pluribus mendis expurgata a Samuele Forster. Londini, 1657.
12. Apollonii Pergaei conicorum libri V, VI, VII, paraphraste Abalphato Asphahanensi, nunc primum editi. Additus in calce Archimedis assumptorum liber ex codicibus arabicis M. SS. Abrahamus Ecchellensis Maronita latinos reddidit, Jo. Alfonsus Borellus notas adjecit. Florentiae, 1661.
13. Elementa geometriae planae et solidae quibus accedunt selecta ex Archimede theoremata, auctore Andrea Тасquet. Ed. tertia correctior. Antwerpiae, 1672.
14. Admirandi Archimedis Syracusani monumenta omnia mathematica quae exstant, extraditione D. Fr. Maurolici. Panormi, 1685.
15. Archimedis opera, Apollonii Pergaei conicorum libri IV, Theodosii spherica, methodo nova illustrata et succincte demonstrata. Londini, 1675 (издание Barrow).
16. Archimedis Syracusani Arenarius et Dimensio circuli, Eutocii Ascalonitae in hanc commentarius, cum versione et notis. Oxonii, 1676 (издание J. Wallis).
17. Archimedis quae supersunt omnia, cum Eutocii Ascalonitae commentariis, ex versione Josephi Тоre11i Veronensis, cum nova versione latina. Oxonii, 1792.
18. Lessing Gr. E. Beiträge zur Geschichte und Literatur. Braunschweig. 1773 (на стр. 421 и сл. — первое издание архимедовой задачи о быках).
19. Suter H. Ein Fragment aus Archimedes Stomachion. Abhandlungen zur Geschichte der Mathematik, IX, 1899. стр. 491 и сл.
20. См. № 63, 110, 112, 114.
21. Archimedis opera omnia cum commentariis Eutocii ed J. L. Heiberg, I—III. Leipzig. Teubner, 1880—81; 2 изд., т. 1. 1910, т. II. 1913 (основное издание текста).
II. ЛУЧШИЕ ПЕРЕВОДЫ АРХИМЕДА НА НОВЫЕ ЯЗЫКИ
22. Peyrard F. Oeuvres ďArchimède, traduites littéralement avec un commentaire. Paris, 1807 (неполное издание); 2 изд. 1894.
23. Archimedes von Syrakus vorhandene Werke, aus dem Griechischen übersetzt und mit erläuternden und kritischen Anmerkungen begleitet von Е. Nizzе. Stralsund, 1824.
24. Hеath Т. L. The works of Archimedes edited in modern notations, with introductory chapters. Cambridge, 1897. Авторизованный немецкий перевод с исправлениями и дополнениями автора на основе рукописи, найденной в 1906 г.: Archimedes {259} Werke. Mit modernen Bezeichnangen herausgegeben und mit einer Einleitung versehen von Sir Thomas Hеаth. Deutsch von Dr. Fritz К1iem. Berlin, 1914.
25. Ver Eecke Paul. Les oeuvres complètes ďArchimède traduites du grec en français avec une introduction et des notes. Paris-Bruxelles, 1921.
26. Сzwа1ina A. Archimedes Uebersetzungen mit Kommentar. 5 выпусков. Ostwald’s Klassiker der exakten Wissenschaften. Leipzig, 1922—1925.
III. ИЗБРАННАЯ ЛИТЕРАТУРА ОБ АРХИМЕДЕ
1. ОБЩИЕ РАБОТЫ ОБ АРХИМЕДЕ
См. прежде всего общие курсы истории математики (Кантора, Мари, Либри, Бреттшнейдера, Гюнтера, Ганкеля, Лориа, Нессельмана, Таннери, Цейтена и др.), выше № 21 (предисловие Гейберга к т. III), № 24 и 25, а также:
28. Mazzucheli J. М. Notizie intorno alla vita di Archimède. Brescia. 1737.
29. Gutenacker J. Das Grabmal des Archimedes, ein Beitrag zur Charakteristik dieses grossen Mathematikers. Würzburg, 1833.
30. Heiberg J. L. Quaestiones Archimedeae. Inest de Arenae numero libellus. Hauniae, 1879 (важнейшая работа об Архимеде).
31. Heiberg J. L. Ueber den Dialekt des Archimedes. Jahrbuch für Philologie, Suppl. B. XIII, стр. 543 и сл. Interpolationen in den Schriften des Archimedes, там же, стр. 566 и сл.
32. Heiberg. J. L. Neue Studieu zu Archimedes. Zeitschrift für Mathematik und Physik, Hist.-litt. Abteilung, 1 XXXVI, 1889, Supplementhelt.
33. Susemiht F. Geschichte der griechlschen Literatur in der Alexandrinerzelt, т. I, стр. 723—733. Leipzig, 1891.
34. Becker H. Die geometrische Entwicklung des Infinitesimalbergiffs im Exhaustionbeweise bei Archimedes (26 стр.). Insterburg. 1894.
35. Hu1tsсh F. Статья «Archimedes» y Pauly-Wissowa. Real-Encyclopädie der klassischeh Altertumswissenschaften, т. II, 1895. стр. 507—539.
35a. Bahntje H. Quaestiones Archimedeae. Diss. 1903.
36. Favaro А. Archimede. Genova, 1912.
37. Midolo P. Archimede e il suo tempo. Siracuse, 1912. {260}
38. Helberg J. Gr. Le rôle ďArchimède dans le développement des sciences exactes. Scientia, т. XX, 1916.
39. Heath Th. L. Archimedes (Pioneers of Progress. Men of Science), 58 стр., 1 портрет. London, Society for promoting Christian Knowledge, 1920.
40. Wintеr Franz. Der Tod des Archimedes (82 Winckelmanns Programm der archäologischen Gesellschaft zu Berlin). 24 стр., 1 илл., Berlin, W. de Gruyter, 1924.
41. Сzwа1inа А. Archimedes (Mech.-phys. Bibliothek. 64), 47 стр. Leipzig, Teubner, 1925.
42. Spеisеr А. Klassische Stücke der Mathematik. Zürich, O. Füssli, 1925.
43. Loria Gino. Archimede. Lascienzache domino Roma. (I curiosi della natura). 72 стр., Milano, 1925.
44. К1iеm Fr. und Wоlff G. Archimedes. 143 стр., 64 рис., 3 табл., Beplin. 1927.
45. Shoen, Harriet H. Archimedes, the reconstruction of а personality. Scripta mathematica. 2, 1934. стр. 261—4, 342—7.
46. Wiе1еitner H. Das Fortleben der Archimedischen Infinitesimalmethoden bis zum Beginn des 17 Jahrhunderts; insbesondere über Schwerpunktbestimmungen. Quellen und Studien zur Geschichte der Mathematik. B. I, 1931. стр. 201— 220.
2. ИССЛЕДОВАНИЯ ОБ ОТДЕЛЬНЫХ РАБОТАХ АРХИМЕДА
« О равновесии плоских фигур», « Орычагах»
47. Dühring Е. Kritische Geschichte der allgemeinen Principien der Mechanik, Berlin, 1873, стр. 1—12, 61 и сл.
48. Vаilаti. Atti della Accademia di Torino, 32, 1897, стр. 742— 758; Atti del Congresso Internationale di Science Storiche, Roma. 1904. v. XII. Scritti. стр. 497—502.
49. Маch Е. Die Mechanik in ihrer Entwicklung. Leipzig, 1904. стр. 1—17, 33—34, 85—87, 107—110 и др.
50. Duhem P. Les origines de la statique. Paris, 1905, стр. 1—12, 61—98.
51. Juel С. Kgl. Danske Vid. Forh. Kjobenhavn, 1914. № 5—6, стр. 421—441.
52. Stein W. Der Begriff des Schwerpunktes bei Archimedes. Quellen and Studien zur Geschichte der Mathematik. B. I, 1930, стр. 221—224.
53. Lеnzеn V. F. Archimedes’ Theory of the Lever. Isis, т. XVII. 1932, стр. 288—289.
54. Reimann Dora. Historische Studien über Е. Mach’s Darstellung der Entwickelung des Hebelsatzes. Quellen und Studien zur Greschichte der Mathematik, B.3, 1936 стр. 554—592. {261}
« Онебесном глобусе»
55. Hultsch F. ZfMPh., B. XXII, 1877, стр. 106 и сл.
56. Curtze M. Jahresbericht für Mathematik, В. XI, 1877, стр. 186 и сл.
57. Tannery P. Revue de philologie. т. XVII. 1893, стр. 213 и сл.
« Ошаре и цилиндре»
58. Zeuthen H. Bibliotheca Mathematica, 1893, стр. 97 и сл.
59. Zeuthen Н. Die Lehre von Kugelschnitten im Altertum, стр. 235 и сл.
« Оконоидах и сфероидах», «Квадратура параболы»
60. Нeiberg J. L. ZfMPh., B. XXV, (1880), стр. 58 и сл.
61. Zenthen Н. Die Lehre von Kugelschnitten im Altertum. стр. 416, 447, 408 и др.
«Эфод»
62. Schmidt Wilh. Archimedes Ephodikon. Bibliotheca Mathematica, B. I, стр. 13 и сл.; В. III, стр. 143 и сл.
63. Heiberg J. L. Eine neue Schrift des Arctumedes. Hermes, B. XLII, 1907, стр. 235—297. Русский перевод этой статьи см. № 121.
64. Неibеrg J. L. und Zeuthen Н. Eine neue Schrift des Archimedes. Uebersetzung und Kommentar. Bibliotheca Mathematica, 3 Folge. B. VII, 1907, стр. 321—363.
65. Неibеrg J. L. Geometrical Solutions Derived from Mechanics. Chicago, 1909.
66. Reinach Th. Un traité de géometrie inédit ďArchimède. Revue générale de sciences pures et appliquées, 1907 (от 30 ноября и 15 декабря).
67. Неаth Т. L. The «Method» of Archimedes. Cambridge, 1912.
68. Аrеndt F. Bibliotheca Mathematica. 3 Folge. B. XIV, 1915, стр. 295 и сл.
69. Ruffini Е. Н. Il Metodo di Archimede e le origini dell ’analisi infinitesimale nell’antichita. Roma, 1926.
70. Lambossy, Archimède... Le Traité de la méthode. Bulletin de la Société Fribourgeoise des sciences naturelles, 29, 1929, стр. 20—39.
«О спиралях»
71. Jungе. Die Spirale des Archimedes. Zeitz, 1826.
72. Lehmann Fr. X. Die archimedische Spirale mit Rücksicht auf ihre Geschichte. Gymn. Programm, Freiburg, 1862.
73. Scherling Ch. Die archimedische Spirallinie. Gymn.-Programm, Lübeck, 1865. {262}
74. Tannery. Bulletin des sciences mathématiques, 2 sér. VIII, 1, 1884, стр. 107 и сл.
75. Tannery Р. Bulletin des sciences mathématiques, 3 sér. I, 1895, стр. 265—271.
«О плавающих телах». Письмо к Гиерону (корона Гиерона)
76. Thurot Ch. Recherches historiques sur le principe ďArchimède. Revue archéologique, 1869.
77. Gerland Е. Zur Geschichte der Erfindung des Aräometers. Annalen der Physik und Chemie, N. F., B. I, 1877, стр. 150 и сл.
78. Нeiberg J. L. Mélanges Graux. Paris, 1884, стр. 691. и сл.
79. Нultsch F. Litterarisches Centralblatt, 1884, стр. 851 и сл.
80. Bosmans Н. Guillaume de Moerbecke et le traité des corps flottants ďArchimède. Revue des questions scientifiques, avril 1922.
81. Lambassу Р. Archimède. Le traité des corps flottants. Bulletin de la Société Fribourgeoise des sciences naturelles, 29,1929, стр. 20—39.
«Измерение круга»
82. Tannery Р. Sur la mesure du cèrcle ďArchimède. Mémoires de la Société des sciences physiques et naturelles de Bordeaux, 2 sér. I, стр. 226—253; IV, 1882, стр. 313—337.
83. Нu11sсh F. Die Näherungswerte irrationaler Quadratwurzeln bei Archimedes. Nachrichten der Gesellschaft der Wissenschaften zu Göttingen, 1893, стр. 367—428.
84. Weissenborn Hermann. Die Berechnung des Kreisumfanges bei Archimedes und Pisano. Berliner Studien für classische Philologie, B. XIV, 3, 1894, стр. 32.
85. Нu11sсh F. Zur Kreismessung des Archimedes. ZfMPh., 1894. стр. 121—161.
86. Rudiо Fr. Archimedes, Huygens, Lambert, Legendre. Vier Abhandlungen über die Kreismessung. Berlin, Teubner, 1906 (см. №№122, 125).
87. Норре Edm. Die zweite Methode des Archimedes zur Berechnung von π. Archiv für Geschichte der Naturwissenschaften, 9, 1922, 104—107.
88. Czwalina Arthur. Berechnung von Quadratwurzeln bei den Griechen, Archiv für Geschichte der Mathematik, 10, 1927, стр. 334—335.
89. Vоgе1 К. Näherungswerte des Archimedes für Ö3. Jahresberichte der deutschen Mathematikervereinigung, 14, 5—8, 1932, стр. 152 и сл.
90. Müller C. Wie fand Archimedes die von ihm gegebenen Näherungsverte von Ö3. Quellen und Studien zur Geschichte der Mathematik, B. 2, 1932, стр. 281—285.
91. Töplitz О. Там же, стр. 286—290.
92. Hofmann J. Е. Ueber die Annäherung der Quadratwurzeln bei Archimedes und Heron. Jahresberichte der deutschen Mathematikervereinigung, 43, 1934, стр. 187—210. {263}
«Псаммит»
93. Rigaud Steph. P. On the Arenarius of Archimedes.Oxford. 1837.
94. Сhas1es Michel. Eclaircissements sur le traité «De numero arenae» ďArchimède. Comptes rendus de ľAcadémie des Sciences, Paris, 1842 (séance du 11 avril).
95. Hultsch F. ZfMPh.. B. XXVII. 1882. стр. 58 и сл.
96. Сzwа1inа А. Eine physikalische Präzisionsmessung des Archimedes. Archiv für Geschichte der Mathematik, 10, 1928, стр. 464—466.
«Задача о быках»
97. См. выше, № 18.
98. Hermann G. De Archimedis problemate bovino. Lipsiae. 1828.
99. Cantor M. ZfMPh.. B. XXIV. 1879, стр. 169 и сл.
100. Amthor. ZfMPh., В.XXV. 1880. стр. 156 и сл.
101. Krumbiegel В. ZfMPh.. В. XXV. 1880. стр. 121 и сл.
102. Tannery Р. Mémoires de la société des sciences physiques et naturelles de Bordeaux, 2 sér. III, 1881, стр. 369 и сл.
103. Tannery Р. Bulletin des sciences mathématiques, 2 sér., VIII, 1, 1884, стр. 107 и сл.
«Стомахион»
104. Oldham R. D. The loculus of Archimedes. Nature, 117, 1926. стр. 337. См. также № 19.
«Леммы»
105. Heiberg I. L. Philologus, B. XLIII, 1887, стр. 483и сл.
«Катоптрика»
106. Peyrard F. Le miroir ardent ďArchimède. Paris, 1807.
107. Rоmе A. Notes sur passages des catoptriques ďArchimède, conservés par Théon ďAlexandrie. Annales de la Société scientifique de Bruxelles, 52, 1932, стр. 30—41 (Резюме в Isis. В. XIX, 1933, стр. 523).
108. Loria, Gino. Les miroirs ardents ďArchimède. Isis, 20, 1934, стр. 441.
«Книга кругов». Сочинение о семиугольнике
109. Suter Н. Bibliotheca Mathematica, 3 Folge, В. VII, 1906/7, стр. 100. {264}
110. Suter H. Das Buch der Auffindung der Sehnen im Kreise von Al-Biruni. Bibliotheca Mathematica. 3 Folge, B. XI, 1910/11, стр. 12—26, 39.
111. Sсhоу С. Graeco-Arabische Studien nach mathematischen Handschriften dep Vizekönigl Bibliothek zu Kairo, als Festgruss zum 79. Geburtstag des Herrn Prof. J. L. Heiberg, Коpenhagen, dargestellt. Isis, B. VIII, 1926, стр. 21—40.
112. Schoy С. Die trigonometrischen Lehren des persischen Astronomen... Al-Biruni, dargestellt nach Al-Qanun Al Mas’udi. Hannover, 1927, стр. 74—84.
113. Tropfke J. Zur Geschichte der Mathematik. Siebeneckkonstruktion des Archimedes... Zeitschrift des mathematisch-naturwissensch. Unterrichts, 59, 1928, стр. 195 и сл.
114. Tropfke J. Archimedes und die Trigonometrie. Archiv zur Geschichte der Mathem., Naturwiss. und Technologie, B. X, 1926, стр. 423 и сл.
115. Miller G. A. Archimedes and trigonometry. 67, 1928, стр. 555. стр. 423 и сл.
116. Tropfke J. Die Siebeneckabhandlung des Archimedes. Osiris. B. I, 1936, стр. 636—651.
Машина κοχλιας
117. Jacono L. Notizie degli scavi. Roma, 1927, стр. 81—89, табл. IX (см. выше, стр. 67 с пр. 2).
IV. РАБОТЫ ОБ АРХИМЕДЕ НА РУССКОМ ЯЗЫКЕ
И РУССКИЕ ПЕРЕВОДЫ ТРУДОВ АРХИМЕДА
118. Петрушевский. Архимеда две книги о шаре и цилиндре, измерение круга и леммы. СПб., 1823.
119. Петрушевский. Архимеда «Псаммит», или исчисление песку в пространстве, равном шару неподвижных звезд, СПб., 1824.
120. Трактат Архимеда «Об измерении круга». Пер. проф. Ващенко-Захарченко. Приложение к его переводу «Начал» Евклида. Киев, 1880. стр. 299—315.
120а. Любимов Н. А. История физики, ч. I, СПб. 1892. Механика Архимеда, стр. 181—190, 241—252.
121. Гейберг И., проф. Новое сочинение Архимеда. Послание Архимеда к Эратосфену о некоторых теоремах механики. Пер. (см. № 63) с нем. под ред. «Вестника опытной физики и элементарной математики», с предисловием прив.-доц. И. Ю. Тимченко. «Матезис», Одесса, 1909.
122. Архимед, Гюйгенс, Ламберт, Лежандр. Четыре сочиненияоб измерении круга. С приложением истории вопроса (составил Ф. Рудио). Пер. с нем. под ред. и с прим. прив.-доц. С. Н. Бернштейна (пер. № 86). Одесса, «Матезис». 1911. {265}
123. «Псаммит» Архимеда (исчисление песчинок). Перевод с комм. и кратким очерком научной деятельности Архимеда Г. Н. Попова, Кн-во «Сеятель» Е. В. Высоцкого, Птгр., 1922.
124. Начала гидростатики (Архимед, Стэвин, Галилей, Паскаль). Пер., прим. и вступ. статья А. П. Долгова. М.—Л. Гос. техн. -теорет. изд-во, 1932; 2-е изд. 1933 (серия «Классики естествознания»).
125. Архимед, Гюйгенс, Ламберт, Лежандр (см. № 122). С приложением истории вопроса составил Ф. Рудио. Пер. с нем. под ред. и с прим. акад. С. Н. Бернштейна (серия «Классики естествознания»). М.—Л., 1934; 2-е изд. 1934; 3-е изд. 1936.
126. Архимед. Исчисление песчинок («Псаммит»). Перевод, краткий обзор работ Архимеда и примечания проф. Г. Н. Попова (серия «Классики естествознания»). М.—Л., Гос. техн.-теорет. изд-во, 1932.
127. Чвалина Артур. Архимед. Пер. с нем. В. И. Контовта. Гос. техн.-теорет. изд-во, М.—Л., 1934 (перев. № 41).
128. Лурье С. Я. Приближенные вычисления в древней Греции. Архив истории науки и техники, т. IV, 1934, стр. 26—37.
129. Лурье С. Я. Теория бесконечно малых у древних атомистов. М.—Л., 1935, стр. 71—74 и др.
130. Выгодский М. Я. Арифметика и алгебра в древнем мире. М.—Л., 1941, стр. 234—238. {266}
УКАЗАТЕЛЬ ИМЕН
А бульвафа 212
Авраам Эхельский 239
Адранодор см. Андранодор.
Александр Македонский 9, 181
Альмохтассо абиль Хасан 239
Альфонсо 25
Андранодор 215, 217
Антигониды 6
Антигон 7, 201
Антифонт софист 25, 26, 27, 103, 117, 193
Антифонт поэт 73
Анфемий 235, 236, 238, 239
Апеллес 49
Аполлоний Пергейский 36, 166, 182, 200, 201, 202, 203, 205, 206, 217, 218, 233, 237, 238
Аполлоний Родосский 47
Аппий Клавдий 218, 223
Аристарх Самосский 56, 57, 58, 59, 61, 64, 138, 142, 198
Аристей 36, 38, 78, 107
Аристон 49
Аристотель 8, 9, 22, 26, 45, 49, 53, 55, 56, 57, 58, 60, 62, 68, 72, 76, 139, 179, 187
Аристофан 47, 198, 235
Аркесилай 49
Арсиноя 47
Архилох 47
Архит 35, 40, 51, 68, 69, 184
Арьябхатта 239
Аттал I 44, 200, 201, 202, 217
Б арроу 172
Эль-Бируни 212
Буйо 232
Бюффон 237
В алерий Максим 228
Вереника 46
Вилькен 7, 201
Винтер 227
Витрувий 211
Вурм 206
Вьета 232
Г ален 235
Галилей 58
Галл, Гай Сульпиций 65, 66
Ганнибал 177, 178, 180. 182, 200, 215, 280 {267}
Ганнон 179
Гасдрубал 181
Гейберг И. П. 129, 144, 188, 220, 234
Гелон 173, 176, 198, 214
Гемин 237
Гераклид 99, 166,173, 202
Герилл 179
Герон 55, 70, 71, 77, 85, 86, 87, 89, 90, 91, 92, 93, 94, 95, 212, 237, 238
Геронд 48
Герофил 44
Гесиод 49
Гиерон 10, 11, 42, 47, 61, 98, 170, 173, 174, 175, 176, 177, 178, 183, 198, 201, 214, 215, 216, 224 Гиероним 176, 177, 178, 215, 216, 217, 219
Гимилькон 179, 219, 226
Гиппарх 65
Гиппократ иа Хиоса 21
Гиппократ (посол Ганнибала, впоследствии сиракузский стратег) 215, 216, 217, 218, 219, 226, 227
Гомер 10, 31, 44, 48
Гонгава 236
Гревс, переводчик 239
Гульч (Hultsch) 58, 71, 203
Гэзс 129, 149, 162, 233, 234
Д афид 44
Деметрий Киренский 46
Двметрий Полиоркет 7
Демокрит из Абдеры 20, 22, 25, 27, 45, 53, 54, 55, 56, 57, 58, 69, 73, 106, 107, 132, 137, 138, 139, 140, 141, 142, 143, 146, 149, 171, 184, 185, 187, 192
Джаконо 67
Дильс 55, 56
Диномен 217, 219
Диодор 67, 178, 179, 230
Диокл 128, 129, 234
Дионисодор 128, 129, 234
Досифей 99, 101, 104, 105, 173
Е вгемер 203
Евдем Родосский 139, 201, 202
ЕвдоксКнидский 30, 35, 51,52, 57, 66, 68, 76, 78,102, 105, 106, 107, 137, 138, 139, 140
Евклид 12, 13, 19, 24, 27, 28, 31, 36, 38, 40, 57, 69, 83, 91, 102, 107, 109, 117, 150, 166, 174, 200, 210, 238, 237, 238
Еврипид 47
Евтокий 128,129, 234, 238
З енон 19
Зенодор 132
Зоипп 215, 216
Зуземиль 46, 47
И сидор Милетский 238
Ишак ибн Хунак 239
К авальери, Бонавентура 61, 141, 157, 234, 236 Каллимах 46, 47, 48, 49
Карштедт, 220
Кирхер 237
Клеанф 58
Клавдий Нерон 181
Клитомах-Гасдрубал 179
Коммандино 234
Конон из Самоса 42, 46, 48, {268} 60, 99, 100, 101, 104, 106, 131, 188, 144, 165, 173, 200
Коперник 58, 61
аль-Кухи 240
Л евкипп 139
Лейбниц 172
Леншау 178
Лессинг 203
Либри 232
Ливий, Тит 64, 224
Лисаний из Кирены 49
Лукиан 285
М авролико 234
Магон 10, 179
Марцелл, Марк Клавдий 66, 177, 180, 181, 218, 219, 221, 222, 224, 225, 227, 228, 229
Марцелл, Марк Клавдий, правнук предыдущего, современник Цицерона 66
Мах 84
аль-Махани 240
Менехм 35, 36, 38, 40, 51, 68, 78, 107
Метеллы 229
Мильтиад (философ) 179
Н еанф Младший 201
Невий 229
Никотел из Кирены 200
Ньютон 68, 172
П лутарх 6, 40, 51, 68, 98, 171, 172, 173,174, 175, 220, 224, 227, 232
Папп 85, 162, 237, 238
Пирр 10, 11
Плавт 10, 180
Платон 22, 40, 52, 53, 66, 68, 73, 77, 107, 129, 134, 139, 174, 175, 210
Плеханов Г. В. 175
Полибий 181, 220
Полисперхонт 6
Попадопуло-Керамевс 143, 188
Посидоний из Александрии 70, 71, 77,85, 93, 94
Посидоний из Апамеи 70
Прокл 69,174, 238
Птолемеи 6,8, 45, 48, 61, 174, 201, 216
Птолемей I Сотер 7,43, 49, 51
Птолемей II Филадельф 7, 49
Птолемей III Евергет 46, 47, 48
Птолемей IV Филопатор 49
Птолемей Клавдий, астроном 237
Р удио 238
С афо 47
Селевк из Селевкии 59
Селевк III Сирийский 201
Селевкиды 6, 200
Силен 180
Скалигер 26
Сосил из Лакедемона 180
Страбон 53
Стратон из Лампсака 55, 56, 58, 72, 77, 184, 185
Т абит ибн Куррах из Багдада 207, 239, 240
Такэ 172, 232
Тимен из Флиунта 59
Тимченко И. Ю. 220 {269}
Тропфке 210, 212
Ф абий Максим 181
Фабий Пиктор 181
Фалес 16, 60,171
Фемист 217
Феокрит из Сиракуз 47, 48
Феон Александрийский 211
Фонтенель 232
Феэтет 210
Фидий 11, 42, 62, 65
Филин 181
Филипп V 177, 181, 200, 201, 210
Филонид из Эфеса 201
Филопоп 132
Финэ, Оронт 230
Форстер 239
Фрасой 215
Х унан ибн Ишак 239
Ч валина А. 62
Чева 96
Ц еца 230
Цицерон 65, 70, 231
Ш ой 207, 240
Штейн В. 82, 140
Э дисон 175
вер-Экке 229, 234, 238
Эпикид 215, 210, 218, 219
Эпикур 53, 54, 57
Эратосфен 8, 9, 11, 12, 32, 33, 34, 42, 44, 48, 49, 50, 51, 52, 53, 54, 59, 60, 64, 68, 78, 101, 102, 108, 128, 137, 139, 140, 141, 142, 143, 144, 145, 148, 173, 179, 187, 204, 217
Ю лиан император 182
Юстиниан император 238
аль Я лиль ас-Сийзи 172, 208, 238, 240
Ямвлих 179 {270
1 Это место впервые опубликовано мною в книге «Теория бесконечно малых у древних атомистов». Л., 1935, стр. 150.
1 При недостаточной точности античных вычислений это совпадение могло казаться наступившим сравнительно скоро.
1 Архит решал задачу удвоения куба (нахождения двух средних пропорциональных) путем нахождения точки пересечения конуса, цилиндра и тора (т. е. тела, образованного вращением круга вокруг касательной к его окружности).
1 Очевидно, что любое кубичное уравнение Аx 3+ Bx 2 +Cx+D = 0 может быть представлено как пересечение параболы у = Ax 2+ Bx + C с равносторонней гиперболой xy + D = 0 или другим подобным образом, и указанные задачи приводятся к кубичным уравнениям.
1 Другая обстановка была в конкурирующей с Музеем Пергамской научной школе, ориентировавшейся на Рим: царь Аттал I приказал казнить «грамматика» Дафида за недостаточно почтительное отношение к Дельфийскому оракулу и Гомеру!
1 Номера идиллий Феокрита не соответствуют их хронологическому порядку.
1 Может быть, поэтому он и получил прозвище «второй Платон» или «новый Платон».
1 Стратон был почти заново открыт в 1893 г. Дильсом, показавшим, что предисловие к «Пневматике» Герона (жившего около начала нашей эры) — только извлечение из сочинения Стратона «О пустоте».
1 Хронологическая последовательность сочинений Архимеда устанавливается только по содержащимся в одних из этих произведений ссылкам на другие; в других случаях, наоборот, из тех или иных утверждений в одном сочинении можно сделать вывод, что другое его сочинение в это время еще не могло выйти. Руководясь этими критериями, мы и распределяем сочинения Архимеда между различными периодами его жизни.
2 Изображение архимедовой «улитки», приводимой в движение рабом (на карикатуре — пигмеем), дошло до нас на одной помпеянской фреске (см. табл. 5). Ее устройство, на основании этого рисунка, интерпретировано Джаконо (см. Библиогр. указатель, № 117).
1 Ср. замечание Ньютона (в предисловии к «Philosophiae naturalis principia mathematica», изд. 1687 г.): «Древние... устанавливали между механикой и геометрией то различие, что все точное относили к последней, все менее точное — к первой».
1 Конечно, можно было бы думать, что мы имеем дело просто с неточностью арабского перевода Герона и что сам Посидоний говорил не о равенстве площадей, а о равенстве статических моментов. В самом деле, если в 1878 г. один ив крупнейших специалистов по истории математики Гульч (Hultsch) дважды позволяет себе в своем издании VIII книги Паппа переводить слово σορροποΰντα (уравновешивающие) словами «aequali pondere» («с равным весом», стр. 1030, 27; 1032, 20), то такая ошибка у средневекового арабского переводчика была бы более чем естественной. Но мы видим, что компилятор Герон списывает не только это определение, но и ряд положений, в которых оно применяется на деле: движение по наклонной плоскости, нахождение центра тяжести треугольника, опрокидывание камня при помощи рычага. Поэтому следует считать, что стоическая механика действительно делала такую ошибку и что те задачи в учебнике Герона, в которых в противоречии с другими частями той же книги этот принцип применен, восходят к той же книге Посидония.
1 Совершенно недопустимой нам кажется попытка видеть здесь примитивно сформулированный Аристотелем принцип возможных перемещений! Оно произвольно не только потому, что автору и в голову не приходит вводить условие идеальных связей и бесконечно малых перемещений. Принцип возможных перемещений требует, чтобы в случае равновесия сумма работ задаваемых сил для каждого возможного перемещения системы, подчиненной идеальным связям, равнялась нулю, т. е. в интересующем нас случае, чтобы работы, совершаемые силами, приложенными в каждом конце рычага (или, что то же, чтобы произведения каждой из этих двух сил на элементарное перемещение концов рычага), были равны друг другу. Между тем для автора «Механических проблем» необходимым условием равновесия является равенство самих сил. Далее, и о перемещении в интересующем нас месте «Проблем», в сущности, нет речи. Правда, здесь речь идет о том, что точка опишет бóльшую дугу, больше переместится, но при этом делается ссылка на сказанное в главе I, а в этой главе автор, употребляя то же выражение: «описывая больший круг», всегда прибавляет еще: «в равное время», т. е. имеет в виду не перемещение, а скорость.
1 «Идет ли здесь речь о рычаге, который сам по себе лишен массы и концы которого непосредственно совпадают с центрами тяжести подвешенных фигур, так что получается безразличное равновесие, или речь идет о стержне, к концам которого подвешены на нитях грузы, так что получается стабильное равновесие, остается в этой работе Архимеда до конца ее невыясненным» (В. Штейн).
2 «Равные» означает «равновеликие», поэтому «равные и подобные» означает «равные конгруэнтно».
3 Как уже сказано термином σα, «равные», обозначаются равновеликие фигуры; равные конгруэнтно были бы названы: «равные и подобные».
1 На принципиальную неубедительность рассуждения Архимеда указал впервые Мах (см. Библиогр. указатель, № 49), но он несправедливо обвиняет Архимеда в circulus vitiosus: если принять аксиому Архимеда, все остальное логически из нее вытекает. Чвалина (см. Библиогр. указатель, № 41), примыкая в общем к выводам Маха, делает такое совершенно непонятное замечание: «Для Архимеда закон рычага формулировался следующим образом: рычаг находится в равновесии, если грузы обратно пропорциональны квадратам (1) плеч». Скорее всего это ошибка переводчика (подлинник мне недоступен).
2 Книга VIII, глава 8.
3 Книга I, глава 24.
4 Стр. 1030, строка 12.
1 Глава 36, кн. II его «Механики».
1 Книга 11, глава 38.
1 См. ниже, стр. 120, примечание 1.
1 Архимед выражает эту формулу (и соответственно следующие) так: «Круг, радиус которого есть средняя пропорциональная между АВ и B b (символ p ему не известен). Не трудно видеть, что
B b =r sin BO b= r sinp/ n,
C g= r sin CO g= r sin2p/ n,
и т. д., а сумма
2 B b+2 C g+2 DO +...+=2 r (sinp/ n +sin2p/ n +sin3p/ n +...);
следовательно, Архимед сводит задачу к суммированию этого ряда при п, стремящемся к ¥.
1 В самом деле, квадрат ВМ (радиус основания сегмента) равен АМ-А 1 М [полухорда — среднее пропорциональное между отрезками диаметра или H (2 R—H)].
Наше выражение мы можем написать в виде
p H · H (2 R — H)(3 R — H)/(3(2 R — H)),
или
(p/3) BM 2(3 R — H)/(2 R — H).
1 Катет АВ — среднее пропорциональное между гипотенузой А 1 А и прилежащим отрезком АМ (ибо Δ А 1 ВА, как опирающийся на диаметр, прямоугольный).
1 «Проведение доказательства методом исчерпания на основании предварительного решения, полученного без помощи этого метода, было, с точки зрения Архимеда, не серьезной научной заслугой, а простым техническим приемом, которым он владел в совершенстве» (В. Штейн).
2 Выражение, принадлежащее Бонавентуре Кавальери.
1 Решения этой интересной задачи в дошедшем до нас дефектном экземпляре «Эфода» не сохранилось.
1 Или (в декартовых координатах)
x 2+ y 2 = n 2arc tg2 y / x.
1 Как и в других случаях у Архимеда, не для решения построением, а только для анализа задачи, как осуществимая возможность.
1 Соч., т. VII, стр. 166—167.
1 Из того, что наследник Гиерона Гиероним впоследствии требует, чтобы римляне вернули эти «подарки» обратно, ясно, что они либо были результатом прямого или косвенного вымогательства, либо носили характер займа.
1 См. стр. 26.
1 Подлинность этого сочинения, впрочем, оспаривается некоторыми учеными.
2 1/2+1/3. Так обозначали египтяне, а вслед за ними и греки число 5/6(1/2+1/3), применяя только дроби с числителем 1. Точно так же, вместо 9/20, говорили и писали 1/4+1/5; 1/3+1/4обозначало 7/12 и т. д. В эпоху Архимеда уже входило в употребление обозначение, принятое у нас (только числитель писался внизу, а знаменатель вверху), но в «старинной» надписи естественно был применен и старый способ обозначения.
3 Т. е. число черных коров было равно 9/20(1/4+1/5) всего пестрого стада (быков и коров вместе).
4 1/6+1/7=13/42.
1 Иными словами, сумма белых и черных быков представляет собою квадратное число; общее число быков — треугольное число; число бурых быков с пестрыми — тоже треугольное число [(т. е. 1+2+3+..., см. выше, стр. 18)].
1 Приняв x = a, получим для z:
z 3+2 az 2— a 2 z — a 3=0.
Это уравнение легко решается пересечением двух кривых 2-го порядка (например, параболы и равносторонней гиперболы); естественно было ожидать, что Архимед укажет на это; как мы видели, арабские математики считали необходимым применение конических сечений.
1 Так, например, в предисловии приват-доцента И. Ю. Тимченко к книге Н. Гейберга «Новое сочинение Архимеда» (Одесса, 1909) дается такой «политический фон» для деятельности Архимеда: «Военачальник Гиппократ, желая захватить власть в свои руки, вступил в сношения с Карфагеном и в угоду своим союзникам приказал умертвить большое число римлян около сицилийского города Леонтия (sic!). Тогда римляне решили завладеть Сиракузами». И всё.
Вопросом о том, было ли римское завоевание Сиракуз «прогрессивным» или «регрессивным» явлением, мы здесь не занимаемся и заниматься не собираемся. Мы пишем биографию Архимеда, и нас интересует только, как должны были люди его крута реагировать на происходящие события. Именно с точки зрения этих людей мы и излагаем события 216—212 гг.
В изложении же самых фактов мы следуем Карштедту, которого никак нельзя обвинить в пристрастии к карфагенянам: его презрение к карфагенянам, как к семитам, сквозит в каждой строчке его книги.
1 Античная картина (фреска из Геркуланума), изображающая смерть Архимеда, и толкование ее, данное Винтером (Библиогр. указатель, № 40), были мне во время написания этой книги еще недоступны.
2 См. мое предисловие к переводу «Избранных биографий Плутарха», Ленинград, Соцэкгиз, 1941.
1 Следы патриотической антиримской версии сохранились в пересказе Диодора у Цецы. См. выше, стр. 177.
1 Даже и в наше время находятся еще изобретатели, предлагающие уничтожить современную военную технику врага (танки, артиллерию, склады боеприпасов), концентрируя на них солнечные лучи с помощью вогнутых зеркал или комбинаций плоских зеркал. Принципиальная невозможность осуществления такого рода изобретений очень хорошо показана в книге Г. Г. Слюсарева «О возможном и невозможном в оптике» (Изд. Акад. Наук СССР, М.—Л., 1944), знакомство с которой может избавить авторов этих изобретений от напрасной траты времени и сил.
2 Antiqui scriptoris de speculo comburante concavitatis parabolae, ex arabica latine vertit Gongava, Lovanii, 1548. Это редкое сочинение мне недоступно; поэтому я не могу судить, на чем основано приписывание его Архимеду. Обычно считают, что оно не могло принадлежать Архимеду, потому что в нем упоминается Аполлоиий; как мы видели, этого довода недостаточно.
1 De speculo ustorio ignem ad propositam distantiam generante, Parisiis, 1551.
2 Lo Specchio Ustorio, ovvero Trattato delle settione coniche e alcuni loro mirabili effetti intorno al lume, caldo, freddo, suoni e molto ancora. Bologna, Ferroni, 1632.
3 Ath. Kircherus. Ars magna lucis et umbrae in decem libros digesta. Romae, 1646 (книга Х, задача IV).
4 См. Рудио (Библиогр. указатель, № 86): «Нет народа, который так мало был бы расположен к научным математическим рассуждениям, как римляне». Статья Kenneth Scott, Roman Opposition to Scientific Progress (Classical Journal, 29, 1933/34, стр. 615 и сл.) мне недоступна.
1 В опроса об индийской математике я здесь не касаюсь, ибо до сих пор остается спорным, развивалась ли она самостоятельно или под влиянием греческой. Здесь уже в 471 г. н. э. Арьябхатта нашел для p величину, много более точную, чем Архимед, определив периметр 384-угольника (3,1416). Однако ничего нового в метод Архимеда он не внес, и поэтому можно думать, что ему уже был известен метод Архимеда, тем более что индусам было известие и архимедово «неточное значение для p» (31/7).
2 В 1657 г. Гревсом и Форстером в Лондоне, в 1661 г. — Авраамом Эхельским во Флоренции.
1 Значительная часть арабских рукописей, до сих пор еще не изучена и не переведена европейскими учеными. Поэтому можно надеяться, что сочинение о семиугольнике — не последнее опубликованное сочинение Архимеда и что в будущем нам станет доступным и ряд других его сочинений.
1 Точным значением π считали 3 1/7 также Joannes Campanus, живший в VIII в., Альберт Саксонский (1390 и др.).
2 Скалигер уверял, что уже периметр вписанного в круг 12-угольника больше окружности этого круга.
1 См. стр. 350 и сл. моего перевода.
2 См. мое предисловие к переводу «Геометрии» Кавальери (Москва, 1940); мои статьи: «Эйлер и его «исчисление нулей» (в сборнике «Эйлер», изд. Акад. Наук, 1936); «Предшественники Ньютона в философии бесконечно малых» (в сборнике «Исаак Ньютон», изд. Акад. Наук, 1943).
1 В дальнейшем Zeitschrift für Mathematik und Physik, historisch-litterarische Abteilung я буду обозначать сокращенно — ZfMPh.
