С другой стороны, римляне, как известно, были мастерами в фабрикации занимательных исторических рассказов апологетического характера. Историческая критика показала, что вся древнейшая римская история, включая эпоху царей,— в основном выдумка, имеющая целью прославить знатное происхождение и знатное прошлое римского народа, не опирающаяся ни на какие исторические факты. С такими же апологетическими целями, выдумана и злостная характеристика Ганнибала и ряд мрачных черт из его биографии.
Трогательный рассказ о смерти Архимеда относится к категории рассказов о рассеянном ученом, не замечающем того, что происходит вокруг него; к тому же он дошел до нас в ряде противоречащих друг другу версий.1 Поэтому в свете всех сопоставленных выше фактов не вправе ли мы видеть в этом рассказе апологетическую выдумку, имевшую целью затушевать истинные обстоятельства патриотической смерти Архимеда и тем обелить римское прошлое?
Более того, можно думать, что не в силу простого случая Архимед был предан забвению, и всякая память о нем изгладилась среди сиракузских греков, которые при его жизни увлекались его произведениями и гордились им как величайшим из своих сограждан. Нельзя забывать, что Архимед с точки зрения римских властей его времени был тягчайшим государственным преступником; родственники Архимеда могли заботиться о его погребении и ставить ему памятник — по античным представлениям, это был их религиозный долг, в исполнении которого им не могли отказать даже римляне; но всякий другой, кто стал бы публично вспоминать об Архимеде, навлек бы на себя обвинение в политической неблагонадежности. Этим проще всего объяснить то, что память об Архимеде так скоро изгладилась в Сиракузах. {230}
Вот что сообщает об этом Цицерон в своих «Тускуланских беседах»:
«В бытность мою в Сицилии, я с любопытством осведомлялся о могиле Архимеда в Сиракузах. Но оказалось, что здешние люди так мало знали об этом, что утверждали даже, будто от его могилы не осталось никакого следа. Однако я продолжал поиски с таким усердием, что мне, наконец, удалось разыскать его могильный памятник среди терниев и чертополоха. Мне удалось сделать это открытие благодаря нескольким стихам, которые по моим сведениям должны были быть выгравированы на этом памятнике и благодаря изображению шара и цилиндра, которое должно было помещаться над этими стихами. Выйдя из ворот Сиракуз, я оказался на пустыре, покрытом многочисленными могилами; я внимательно смотрел во все стороны и вдруг обнаружил маленькую колонну, вершина которой подымалась из заросли; на ней был изображен шар и цилиндр, которые я искал. Я тотчас же сказал сопровождавшим меня представителям Сиракуз, что перед нами несомненно могильный памятник Архимеда. И, действительно, как только позвали людей, чтобы вырубить заросли и проложить для нас дорогу, и как только мы приблизились к этой колонне, мы увидели на ее базе надпись. Часть начертанных стихов можно еще было прочесть, все остальное было стерто временем. Итак, один из самых славных городов Греции, некогда породивший на свет столько ученых, не знал уже даже, где находится гробница самого гениального из его граждан, до тех пор пока не явился человек из маленького города Арпина, чтобы показать им эту могилу!» {231}
ГЛАВА ДЕСЯТАЯ
²
Архимед в истории математики
А рхимед — очень трудный автор. Таким он кажется нам, таким же он должен был казаться древним. Если Плутарх восхищается ясностью доказательств Архимеда, тем, что он ведет читателя к выводу «кратчайшим и наиболее прямым путем», то это, как мы говорили уже, свидетельствует лишь о том, что он, ничего не понимая в математике, никогда не читал Архимеда и рисует лишь образ идеального ученого. Даже Вьета (в XVI в.) счел нужным заметить, что он не сразу и с трудом разобрался в некоторых доказательствах Архимеда; автор «Анализа бесконечно малых» Буйо (Bouillaud), писавший в XVII в., признавался, что многих доказательств Архимеда он так и не понял; Такэ, писавший в том же веке, утверждал, что «Архимеда многие хвалят и восхищаются им, но лишь немногие читают и понимают»; Фонтенель в 1722 г. называл рассуждения Архимеда «длинными и трудными для понимания»; наконец, в XIX в. к этому приговору присоединился Либри, автор «Истории математических наук в Италии».
То, что в наши дни мы можем с помощью научного аппарата читать Архимеда без больших затруднений, ничего не доказывает. Сочинения Архимеда в том виде, как они {232} дошли до нас в рукописях, не могут не представлять больших трудностей для чтения. Одни из этих трудностей существуют только для нас, другие — и для античного читателя. Нас прежде всего затрудняет «геометрическая алгебра» Архимеда, отсутствие удобной и привычной для нас алгебраической символики; к этому присоединяется еще то, что в ряде случаев Архимед получал свои решения атомистическим способом, а затем переводил каждый шаг этого решения на язык метода исчерпания. Поэтому за отсутствием руководящей нити нам чрезвычайно трудно следить за ходом мыслей автора. Нам необходимо все его выкладки переводить на язык нынешней алгебры; от этого решение становится не только более наглядным и компактным, но, применяя обозначения x, y для переменных, a, b, c... для постоянных, a 1 и a 2, b 1 и b 2 для симметричных величин, мы получаем возможность легче понять, к какой цели стремится Архимед. Однако такой перевод на язык алгебры не всегда достаточно легок и прост; поэтому издания, вроде издания Гэзса, где эта работа уже проделана, чрезвычайно облегчают понимание Архимеда.
Другой ряд трудностей существовал и для античного читателя, привыкшего к геометрической алгебре и достаточно в ней вышколенного. Архимед был оригинальным гением; он никогда не занимался, подобно Евклиду и Аполлонию, пересказыванием и подытоживанием того, что было уже сделано другими. Он довольствуется краткими ссылками на свои или чужие сочинения: «Как это доказано в Началах», «Как это было доказано» и т. д., никогда точно не указывая, какое место своих или чужих сочинений он имеет в виду; если принять во внимание, что значительная часть этих произведений до нас не дошла (некоторые из них погибли уже в древности), то станет понятным, почему Архимеда подчас так трудно понять. Будучи гением и обращаясь в своих сочинениях к специалистам-математикам, Архимед предполагает и в читателе наличие такой же математической интуиции, как та, которой он сам обладал; поэтому он более элементарные звенья своей цепи умозаключений часто просто опускает, иногда даже позволяет себе ссылаться на простые теоремы, которые будут им доказаны только в дальнейшей части книги, и т. д. Это не могло не затруднять даже античного читателя-специа-{233}листа; поэтому комментирование и толкование Архимеда со вставкой недостающих звеньев на основании собственных догадок комментатора началось уже вскоре после его смерти. Так, например, предложение 4 книги II «О шаре и цилиндре» кончается словами: «анализ и синтез обеих задач будут даны в конце», но никакого анализа и синтеза мы в этой книге не находим. И вот целый ряд математиков (например, Дионисодор, живший вскоре после Архимеда, Диокл, живший во II—I вв. до н. э. и др.) предлагает свои восстановления недостающей части. Эта работа по дополнению и комментированию Архимеда была, наконец, на исходе античной истории, в VI в. н. э., подытожена Евтокием, комментарий которого обычно присоединяется к изданиям Архимеда. Тем не менее, этого комментария и этих заполнений лакун для нас все еще недостаточно, и ряд ученых нового времени, начиная с Мавролико и Коммандино, живших в XVI в., и кончая учеными XX в. Гейбергом, Гэзсом и вер-Экке, продолжают это дело дополнения и комментирования Архимеда.
При помощи готовой алгебраической транскрипции и этих комментариев мы сравнительно легко разбираемся в наследии Архимеда. Совсем иным было бы наше положение при отсутствии этих пособий. Автор этой книги испытал это, когда ему пришлось переводить и комментировать «Геометрию неделимых» Кавальери, незаслуженно считающуюся исключительно темной и непонятной только потому, что она никогда не комментировалась и не переводилась. Книга эта написана совершенно в стиле Архимеда, но несравненно легче и проще его сочинений; тем не менее перевод и комментирование этой книги были сопряжены с огромной затратой труда и времени.
Огромное большинство древних авторов не математиков, писавших об Архимеде и восхищавшихся им, сочинений его не читало, но знало от специалистов, что он величайший из когда-либо живших математиков; с другой стороны, им хорошо была известна его роль при осаде Сиракуз. Вокруг имени Архимеда быстро стал кристаллизоваться ряд легенд. Вероятно, значительная часть этих легенд носила патриотический и антиримский характер, но такие рассказы (за исключением приведенного на стр. 177) до нас не дошли по понятным причинам. {234} Когда забыли об Архимеде как о политическом деятеле, и о нем сохранилась лишь память как о математике и механике-чародее, правящим римским кругам имело смысл содействовать распространению этих легенд, придав им нужное римлянам направление. Эти легенды строились по обычным шаблонам: крайне рассеянный ученый, думающий все время только о вопросах своей науки и не видящий, что делается у него под носом, испытывающий отвращение ко всему практическому и далекий от политики, так как он заинтересован только в доказательстве правильности своих теоретических положений. Но этот чудак оказывается могущественнейшим из людей, ибо один гениальный ум сильнее тысяч рук. Против машин, открытых Архимедом, бессильны все полководцы.
Для этой живущей своей жизнью и обрастающей все новыми и новыми фактами легенды характерно, что уничтожение вражеского флота при помощи машин казалось недостаточно красочным и чудесным. Рассказывали более поразительные вещи: как старичок Архимед, спокойно сидя на стуле и потихоньку вращая какую-то ручку, плавно передвигал по суше огромный пятиярусный корабль, наполненный людьми. В сочинении о нахождении удельного веса сплавов Архимед, можно думать, употребил встречающееся и в других сочинениях выражение: «Я нашел»; отсюда, по-видимому, вырастает анекдот о рассеянном ученом, который бежит совершенно голый по улице из бани с криками: «Я нашел! Я нашел!»
Наконец, в своем сочинении «Катоптрика» Архимед говорил о зажигательных стеклах и зеркалах. Такие стекла и зеркала давно уже привлекали внимание афинского простонародья; уже в V в. в «Облаках» Аристофана Стрепсиад фантазирует, как он при помощи зажигательного стекла расплавит составленный против него и написанный на воске обвинительный акт. Ни современники Архимеда, ни люди, жившие в ближайшие века после него, ничего не знают о том, чтобы Архимед сжег римский флот при помощи зажигательных зеркал. Впервые о сожжении Архимедом римского флота мы читаем у Лукиана (II в. н. э.) и у Галена (III в.), но и здесь речь скорее всего идет еще не о зажигательных зеркалах, а о стрелах, обернутых в зажженную паклю, о «греческом огне». Однако Анфемий, {235} живший в VI в. н. э., говорит о сожжении Архимедом римского флота при помощи зажигательных зеркал как об общеизвестном факте; в дошедшем до нас отрывке из его сочинения «О парадоксах механики» он подробно рассуждает, каким путем Архимед мог этого достичь. Он считает, что Архимед не мог применить для этой цели вогнутое параболическое зеркало, так как его пришлось бы сделать необъятной величины, и приходит к выводу, что Архимед мог достигнуть удовлетворительного результата при помощи комбинации из 24 плоских зеркал. 1
Любопытно, что особенно живучей и действенной оказалась эта легенда в новое время. Когда в 1548 г. Гонгава опубликовал латинский перевод с арабского перевода сочинения неизвестного античного автора «О зажигательном зеркале в форме вогнутой параболы», 2 в нем сразу же признали утраченное сочинение Архимеда. Оронт Финэ (Orontus Finaeus) написал в 1551 г. специальное исследование,1 посвященное этому вопросу, в котором присоединяется к выводам Анфемия. В 1632 г. этому же вопросу посвящает специальную работу знаменитый итальянский математик Кавальери 2. Исходя из приписанного Архимеду сочинения, он изучает чисто геометрически отражение света от параболических, эллиптических и гиперболических зеркал, критикует «Архимеда» и т. д. {236} Наконец, Кирхер в 1646 г. 3 и Бюффон в 1747 г. пытаются дать экспериментальную проверку «открытия Архимеда». Таким образом, легенда об Архимеде, как это ни удивительно, принесла обильные научные плоды.
Перейдем теперь от легенды об Архимеде к оценке научной роли его сочинений. Архимед уже при жизни был признан великим ученым, классиком математической науки. Время Архимеда и Аполлония было кульминационным пунктом греческой геометрии; после них математика начинает быстро клониться к упадку. Монографии и специальные исследования заменяются «Началами», мы бы сказали, «университетскими учебниками», подытоживающими все, что было открыто отдельными великими математиками. Такими «университетскими учебниками» были «Начала» Евклида и «Конические сечения» Аполлония; в этих книгах было очень немного своего, но в них отчетливо и вразумительно систематизировались достижения математической науки. Математики первых поколений после Архимеда, если не сделали выдающихся открытий, то во всяком случае были достаточно интеллигентными и компетентными, чтобы читать в оригиналах сочинения великих математиков и разбираться в них; таков был, например, живший в I веке до н. э. Гемин. Ученые следующих поколений обычно уже довольствуются изучением «Начал», преимущественно только для прикладных целей. В ту эпоху появляются учебники гораздо более низкого ранга, чем книги Евклида и Аполлония. Это, например, работы жившего около начала н. э. Герона; его книги носят прикладной характер и обходятся подчас без строгих доказательств. Иногда решения изложены у него по египетскому образцу в форме рецептов, без всяких доказательств. Единственным крупным самостоятельным математическим мыслителем этого времени (я не касаюсь здесь Птолемея и его предшественников-астрономов) был живший в III в. н. э. Папп; написанная им «Математическая энциклопедия» («Collectiones») — довольно беспорядочное сочинение, являющееся и хрестоматией по математике и курсом истории математики,— все же она содержит ряд новых и оригинальных открытий. {237}
Однако есть монографические работы, знакомство с которыми не только Папп, но и все авторы эпохи упадка считают для себя безусловно обязательным наряду со знанием курсов Евклида и Аполлония; это — сочинения Архимеда. Несомненно, арабские математики только повторяют мнение математиков поздней античности, когда замечают: «Безусловно необходимо изучать все работы замечательного Архимеда, даже самые незначительные» (аль-Ялиль ас-Сийзи, Х в. н. э.). Пусть эти поздние авторы не всегда понимают Архимеда (так Герон, как мы видели, стр. 93 и сл., смешивал равенство моментов с равенством масс и тем свел к нулю все учение Архимеда об опорах), но основательное знакомство с ним, как с классиком математики, они считают для себя обязательным и сплошь и рядом списывают его доказательства даже в тех случаях, когда не называют его имени (например, в случае «теоремы Герона» для определения площади треугольника по трем сторонам).
После Паппа греческая математика быстро вырождается. Римляне вообще не имели вкуса к теоретическим наукам; в их руках геометрия превращается в прикладную геодезию, довольствующуюся приблизительными результатами.4 По справедливому замечанию вер-Экке, им нынешняя математика не обязана решительно ничем. В V в. н. э. в Восточной империи, в связи с последней вспышкой «языческой» мудрости вообще, наблюдался и последний поздний расцвет математической науки. В Афинах открывается математическая школа, руководимая Проклом, комментатором Евклида; Евтокий пишет замечательный для своего времени комментарий к Архимеду, о котором мы говорили уже выше. В 529 г. эта школа была закрыта императором Юстинианом как «языческая мерзость». Однако уже в 531 г. пришлось прибегнуть к помощи «языческих» математиков: сгорел собор св. Софии, и его пришлось отстраивать. Его строители, Анфемий из Тралл и Исидор Милетский, были для своего времени выдающимися математиками и тщательно изучали Архимеда; с трактатом {238} Анфемия о зеркалах мы познакомились уже выше. В дальнейшем упадок математической науки быстро прогрессирует; некоторые рукописи Архимеда по традиции продолжают переписываться в монастырях, но содержание их уже никому не понятно. Значительная часть сочинений Архимеда в это время в европейских государствах погибла.
В то время как в странах греко-римской культуры математика находилась в состоянии глубочайшего падения и застоя, с IX в. начинается новый ее расцвет в центрах арабской культуры. 1 Экономические потребности этих больших мировых торговых центров и полное отсутствие всяких философских и церковных запретов оказали особенно благотворное влияние на возрождение греческой науки и ее дальнейшее развитие у арабов. Здесь переводятся и изучаются творения классиков греческой науки, давно забытые на их родине. Одно из первых мест и здесь принадлежит Архимеду. Уже около 900 г. Ишак Ибн Хунан, сын и ученик известного арабского математика Хунана Ибн Ишак, под наблюдением отца перевел на арабский язык сочинение Архимеда «О шаре и цилиндре», ставшее у арабов особенно популярным. Примерно в то же время Табит Ибн Куррах из Багдада (836—901) перевел «Измерение круга» и ряд других сочинений Архимеда; известный арабский математик Альмохтассо абиль Хасан снабдил их своими комментариями. В это собрание вошли и «Леммы», греческий подлинник которых не сохранился; впоследствии, в 1657 и 1661 гг., эти «Леммы» будут переведены 2 с арабского на латинский язык, и этот арабский текст останется единственным источником для ознакомления с содержащимися здесь теоремами, открытыми Архимедом. {239}
Табит ибн Куррах перевел с греческого также небольшое сочинение Архимеда «О семиугольнике», неоднократно упоминающееся и у позднейших арабских авторов. По его сообщению, рукопись этого сочинения дошла до него в крайне плохом состоянии: она была испещрена бессмысленными описками, теоремы и чертежи были перепутаны. Поэтому, как он замечает, восстановление и перевод рукописи доставили ему очень много труда; как мы говорили выше, можно полагать, что он выполнил свою задачу не вполне безукоризненно.
До сих пор греческая рукопись сочинения «О семиугольнике» не найдена; перевод Табита остается нашим единственным источником. Этот перевод стал впервые известен только в 1927 г. в немецком переводе Шоя (Schoy). Тот же Шой опубликовал в 1926 г. сочинение аль-Ялиль ас-Сийзи (951—1024), давшего критический разбор этого решения Архимеда и предложившего свое, лучшее решение (стр. 208).
Вышедшее в Х в. исследование аль-Кухи, посвященное сочинению Архимеда «О шаре и цилиндре», показывает глубокое проникновение автора в творчество Архимеда. Он решает здесь три задачи: 1) построить шаровой сегмент, подобный одному данному шаровому сегменту, и равновеликий другому данному шаровому сегменту; 2) построить шаровой сегмент, подобный одному данному шаровому сегменту и имеющий поверхность, равную поверхности другого данного сегмента, и 3) построить шаровой сегмент, равновеликий одному данному сегменту и имеющий поверхность, равную поверхности другого данного сегмента. Первые две задачи представляют собой 5 и 6 предложения II книги «О шаре и цилиндре»; третья, наиболее сложная, выдумана самим аль-Кухи. Он решает ее совсем в духе греческой науки — нахождением точки пересечения двух «объемных мест», равносторонней гиперболы и параболы.
Живший в XI в. аль-Махани посвятил свою работу разобранному нами выше (стр. 131 и сл.) предложению 4 той же книги (разделить шар плоскостью так, чтобы образующиеся шаровые сегменты имели между собой данное отношение). Как мы видели, при решении этой задачи получается кубическое уравнение; аль-Махани приводит его {240} к «каноническому»
Таблица 13. Архимед. Один из античных бюстов,
считавшихся изображением Архимеда
виду x 3+ ax 2+ bx = c, но найти корни этого уравнения ему не удается.
Аль-Бируни посвятил свое сочинение («Книга нахождения хорд в круге») ряду различных задач, частично близких к задачам, содержащимся в извлеченных из Архимеда «леммах». Здесь же приведена, как архимедова, задача нахождения площади треугольника по трем сторонам, которую прежде ошибочно считали впервые решенной Героном.
Но, быть может, наиболее замечательным арабским ученым с интересующих нас точек зрения был живший в Египте около 1000 г. Ибн-аль-Хайтам. Из его работ мы видим, что арабы не только полностью усвоили наследие греческих математиков, в частности Архимеда, но и выбрали из них и развили все то, что могло быть полезным для их учения о бесконечно малых и для алгебраической символики, т. е. для тех математических областей, зачатки которых арабы получили не от греков, а от индусов. У Ибн-аль-Хайтама мы находим наряду с развитой алгебраической символикой и своеобразные инфинитезимальные процедуры. Если Архимед суммировал ряд 12+22+32..., то этот ученый суммирует уже ряд 14+24+34... Хотя сочинение Архимеда «О коноидах и сфероидах» было арабам недоступно, Ибн-аль-Хайтам нашел объем параболоида вращения (иным способом, чем Архимед). Он же правильно нашел объем тела, получающегося от вращения сегмента параболы вокруг стягивающей его хорды: это — знаменитое «параболическое веретено»; честь открытия его объема обычно неправильно приписывается Кеплеру. Ибн-аль-Хайтам написал и исследования о квадратуре круга (нахождение π), базирующиеся на архимедовом «Измерении круга».
В то время как арабские ученые сделали так много для сохранения наследия Архимеда1 и дальнейшей работы в предуказанном им направлении, европейская математическая наука, как мы говорили, находилась еще в та-{241}ком детски беспомощном состоянии, что здесь не могло быть и речи не только о дальнейшем развитии идей Архимеда, но и о простом понимании того, что он написал. Архимед для людей этого времени — это полусказочный чародей-математик древности, почти нарицательное имя, которому готовы были приписать любую математическую головоломку. О нем знают главным образом от арабов; это можно заключить из того, что имя его в XIII—XIV вв. часто цитируется в характерном для арабов искаженном виде — Archimenides. Так, в рукописях Иордана Неморария (около 1220 г.) фигурирует сочинение «Archimenidis de curvis superficiebus», несомненно переведенное с арабского и ничего общего с настоящим Архимедом не имеющее. Точно так же английский математик Фома Брадвардин, выпустивший в свет около 1325 г. сочинение об изопериметрических фигурах, ссылается на того же Archimenides; однако, здесь без всяких собственных добавлений излагаются результаты исследования Зенодора на ту же тему, а та задача на изопериметрические фигуры (полушар — самый большой из шаровых сегментов), которую разбирал Архимед, здесь как раз отсутствует. В самом деле, чего можно ожидать от математиков этого времени, если они (как, например, Боэций) определяли площадь треугольника как произведение половины основания на боковую сторону?
Таблица 14. Фронтиспис одного из ранних изданий
Архимеда
Разумеется, это не исключало того, что отдельные питомцы арабов обнаруживали познания в античной математике. Так, одиноко стоит доминиканский монах Вильгельм Мербеке, живший при папском дворе в Витербо и уже в 1269 г. опубликовавший первый перевод Архимеда с греческого на латинский (греческий язык тогда знали на западе лишь несколько человек, тогда как латынь была языком всей науки того времени). Перевод этот, пропавший в XVI в. и снова найденный В. Розе в Ватикане в 1884 г., был сделан поспешно. Мербеке переводит слово за словом, не вдумываясь в смысл, и в ряде случаев, несомненно, не понял греческого текста; тем не менее такой перевод мог сделать только человек, более или менее разбирающийся в античной математике. Отзыв знаменитого Роджера Бэкона («Этот Вильгельм не знает ничего порядочного ни в науках, ни в языках») вряд ли был беспристрастным. {242}
Но это не исключение. Из сочинений итальянского математика Николая Кузанского, сделавшего в середине XIV в. латинский перевод сочинения Архимеда «Об измерении круга», мы узнаем, что до него среди математиков господствовало убеждение, что Архимедом была найдена точная величина π, равная 31/71. Г. Пейербах (1423—1461) и его ученик Региомонтан (И. Мюллер из Кенигсберга, 1468) знают уже и архимедово и индийское значение для π и понимают, что обе величины — лишь приближения. Региомонтан пользовался уже новым переводом Архимеда, сделанным в 1447 г. Яковом Кремонским по поручению папы Николая I, и собственноручно сделал с него копию, причем исправил ряд ошибок и внес в нее разночтения из другой греческой рукописи. Тем не менее в своей вводной лекции об арабском астрономе Альфрагане, читанной им в 1461 г. в Падуе, он утверждает, будто Архимед, доказав, что подкасательная спирали равна длине соответствующей дуги, тем самым нашел точное решение задачи о длине окружности, т. е. дал точное значение π.
В связи с этим поучительна следующая особенность математики XV и XVI вв.: когда в связи с новыми общественными потребностями начинается быстрый расцвет техники, механики и гидростатики, а следовательно, и математики, путь Архимеда оказывается для ученых этого времени слишком трудным; они идут своими более примитивными путями, а из Архимеда выхватывают только готовые результаты или наиболее простые и понятные решения. Так, не без основания полагают, что Леонардо да Винчи, найдя (в 1482—1487 гг.) центр тяжести пирамиды, исходил из соответствующего готового результата у Архимеда, хотя и не заимствовал его доказательства.
Однако спрос на переводы Архимеда все время растет. В концеXV в. в Англии появляется первый печатный текст Архимеда, что всего удивительнее, без латинского перевода; это — английское издание «Псаммита» без указания автора и года; в 1501 г. Георг Валла в своем сочинении «De expetendis et fugiendis rebus», вышедшем в {243} Венеции, дает перевод принадлежавшей ему рукописи Архимеда; в 1503 г. появляется первое печатное издание старого латинского перевода «Квадратуры параболы» и «Измерения круга», сделанного Мербеке; издал его математик и астролог Люкас Гаурикус (Lucas Gauricus); перевод этот остался почти неизвестным и влияния на современную науку не оказал. Только в 1544 г. в Базеле вышел перевод Архимеда, сделанный Т. Гешофом (Gechauff), сразу получивший широкий резонанс среди математиков и открывший новую эпоху в науке. Это было первое печатное издание всего греческого текста Архимеда с комментарием Евтокия и латинским переводом.
За издание перевода Архимеда взялся также почти одновременно с Гешофом такой крупный и оригинальный математик, как Николай Тарталья. Перевод его вышел в 1543 г. в Венеции. Тарталья перепечатал указанное выше издание Гаурикуса, присоединив к нему еще перевод сочинений «О равновесии плоских тел» и «О плавающих телах». К сожалению, из ложного тщеславия он указал, будто перевод был сделан им самим по найденной им полуистлевшей и трудно читаемой греческой рукописи; в действительности он только списал старый перевод Мербеке.
Ввиду все растущей популярности Архимеда Тарталья в 1551 г. выпустил в Венеции еще и итальянский перевод сочинения «О плавающих телах». Этот первый перевод Архимеда на «lingua volgare» показывает, насколько расширился круг читателей сочинений Архимеда, особенно тех сочинений, чтение которых не требует большой математической подготовки.
Такими работами были прежде всего как раз сочинения «О равновесии плоских тел» и «О плавающих телах», впервые напечатанные Тарталья. Больше всего над ними поработали два наиболее прославившиеся издателя античных математиков — Мавролико и Коммандино. В 1576 г. вышли «Opuscula mathematica» Мавролико (его латинский перевод Архимеда вышел в свет только через 80 лет после его смерти, в 1685 г., в Палермо). Насколько компетентен был Мавролико в вопросах, разбираемых в указанных сочинениях Архимеда, видно из того, что утраченное в рукописях архимедово доказательство теоремы: центр тяжести параболоида вращения лежит на трети вы-{244}соты, считая от основания, он дополнил сам; кроме того, к своему переводу Архимеда он приложил собственное исследование «О центре тяжести на основе Архимеда». К двум архимедовым книгам «О равновесии плоских фигур» (в его переводе это сочинение разделено на три книги) он от себя добавил четвертую: «О равновесии тел» — первое исследование, посвященное этому вопросу в новое время. Мы убеждаемся в этом сочинении, что Мавролико не только мастерски овладел архимедовым принципом исчерпания, но и мастерски творил в этом же направлении: подобно тому как Архимед вписывал в круг все уменьшающиеся треугольники, построенные на сторонах многоугольника, он вписывал в шар все уменьшающиеся тетраэдры. Современники дали даже Мавролико прозвище «второй Архимед».
Еще более известен как переводчик и комментатор Архимеда Коммандино. В 1558 г. он издал в Венеции перевод сочинений Архимеда «Об измерении круга», «О спиралях», «О квадратуре параболы», «О коноидах и сфероидах», «Псаммит», с обширными комментариями. В 1565 г. он издал в Болонье перевод сочинений «О плавающих телах» и «О равновесии плоских фигур», также с комментариями; он также добавляет от себя «Книгу о центре тяжести тел». В духе нового времени он уже отступает от Архимеда; он обходится без доказательства от противного, довольствуясь рассуждениями по аналогии. Любопытно следующее. В переводе сочинения «О плавающих телах», сделанном Мербеке, отсутствовало доказательство теоремы: если круговой сегмент плавает в воде, то он примет такое положение, что ось его совпадет с радиусом Земли. Коммандино добавил от себя это доказательство. Когда в 1906 г. был найден греческий текст этого сочинения (см. стр. 143), оказалось, что восстановление Коммандино точно совпало с текстом теоремы Архимеда,— настолько он проникся мыслями Архимеда.
