Справочный материал к заданию

Если для функции y = f (x) в точке х ₀ существует предел отношения приращения функции D f (x ₀) к приращению аргумента D x при условии D x ® 0, то этот предел называют производной функции y = f (x) в точке x ₀ и обозначают f ¢(x ₀) или y ¢(x ₀), т.е.

где .

Существуют и другие обозначения производной. Например .

Нахождение производной называют дифференцированием.

Пусть U (x) и V (x) — дифференцируемые функции, C — const, тогда правила нахождения производных имеют вид:

1. (U ± V)¢ = U ¢ ± V ¢;

2. (U · V)¢ = U ¢· V + U · V ¢;

3. (C U)¢ = CU ¢;

4. ;

5. [ U (V (x))]¢ = ;

6. (U ^V)¢ = V · U^V ^-1 · U ¢+ U ^V · ln U · V ¢.

Правила дифференцирования основных элементарных функций приведены в следующей таблице:

y = c, c = const	y ¢ = 0	y = tg x	y ¢ =
y = x^l, l Î R	y ¢ = l · x^l ^-1	y = ctg x	y ¢ =
y =	y ¢ =	y = arcsin x	y ¢ =
y =	y ¢ = -	y = arccos x	y ¢ = -
y =	y ¢ =	y = arctg x	y ¢ =
y = e^x	y ¢ = e^x	y = arcctg x	y ¢ = -
y = a^x	y ¢ = a^x × ln a
y = ln x	y ¢ =
y = log _ax	y ¢ =
y = sin x	y ¢ = cos x
y = cos x	y ¢ = -sin x

Рекомендации к выполнению задания

1. Прежде, чем приступить к нахождению производной, следует при необходимости привести функцию к виду, позволяющему упростить процедуру вычисления производной.

2. Особое внимание следует уделить правилу 5 дифференцирования сложной функции. В частности, любую формулу из таблицы производных можно переписать, заменив аргумент х на функцию U (x).

Например,

или

(U^l)¢ = l · U ^l ^‑–1 · U ¢.

Если же

y = U (V ( (x))),

то

3. Правила 1 и 2 применимы для любого конечного числа функций.

Например,

(U ± V ± )¢ = U ¢ ± V ¢ ± ¢;

(U · V · )¢ = U ¢ · V · + U · V ¢ · + U · V · ¢.

Пример решения задачи

y = ln⁵sin(6 x + 3);

Вычислим производную сложной функции,

где y = U ⁵; U = lnV; V = sin j; j = 6 x + 3,

т.е.

Можно не вводить дополнительные обозначения, определив количество промежуточных функций и перемножить их производные.

Условия задачи 4.

а) y = ln(cos⁴ x); б) y = ;

а) y = arctg e^{3 x}; б) y = ;

а) y = ; б) y = ;

а) y = (arcsin x) · (x ² + 4)³; б) y = ;

а) y = б) y = ;

а) y = x ² · tg(3 x + 1); б) y = ;

а) y = ; б) y = ;

а) y = б) y = sin² x · (3 x + – 1);

а) y = ; б) y = ;

а) y =е ^x · sin x + x · cos x; б) y = .

Задача 5. Найти полный дифференциал функции z=f(x,y).

Рекомендации к выполнению задания

Дифференциалом dz дифференцируемой в точке М(х,у) функции z=f(x,y) называется линейная относительно приращений Dx и Dy часть полного приращения этой функции в точке М, т. е.

dz=z'_xdx+z'_ydy,

где и - частные производные z по переменным x и y; dx и dy - дифференциалы х и у.