Справочный материал к заданию. Скалярное произведение векторов

 

 

Скалярное произведение векторов

 

Скалярным произведение двух векторов и называется число
· = (, ), равное произведению модулей (длин) этих векторов на косинус угла между ними:

 

· = (, ) = · · cos (, ^ )

 

Скалярное произведение · называется скалярным квадратом вектора и обозначается . Из определения скалярного произведения следует, что = и = = .

Угол между векторами и вычисляется по формуле

 

.

 

Основные свойства скалярного произведения

 

.

 

 

Геометрический смысл скалярного произведения

 

Скалярное произведение векторов можно выразить через проекцию одного вектора-сомножителя на другой по формуле:

 

(, ) = · = .

 

Если векторы и заданы своими координатами:

 

= { a_x, a_y, a_z }, = { b_x, b_y, b_z },

 

то:

 

· = a_x · b_x + a_y · b_y + a_z · b_z;

 

= ;

 

.

Векторное произведение векторов

 

Векторным произведением вектора на вектор называется вектор × = [ , ], определяемый тремя условиями:

1) модуль вектора × равен: · · sin (, ^ );

2) вектор × перпендикулярен к каждому из векторов и ;

3) векторы , и × , взятые в указанном порядке, образуют правую тройку, т.е. из конца вектора × кратчайший поворот от вектора к вектору виден совершающимся против часовой стрелки.

 

Основные свойства векторного произведения

. .

 

. || .

 

Геометрический смысл векторного произведения

Модуль векторного произведения векторов и равен площади параллелограмма, построенного на векторах и как на сторонах: · · sin(, ^ ).

Если векторы и заданы своими координатами: = { a_x, a_y, a_z },
= { b_x, b_y, b_z }, то векторное произведение × определяется формулой:

× =

= (a_yb_z – b_ya_z) – (a_xb_z – a_zb_x) + (a_xb_y – b_xa_y) .

Длина высоты параллелограмма, построенного на векторах и , опущенной на основание

 

Смешанное произведение трех векторов

Смешанным произведением трех векторов , и называется число (, , ), равное векторному произведению [ , ], умноженному скалярно на вектор . (, , ) = ( × ) · .

Основные свойства смешанного произведения

1⁰. Смешанное произведение векторов не меняется при циклической перестановке его сомножителей: (, , )=(, , )= (, , ).

2⁰. Если тройка , , правая, то (, , ) > 0; если тройка , , левая, то (, , ) < 0.

3⁰. , , компланарны

Геометрический смысл смешанного произведения

Модуль смешанного произведения векторов , , равен объему параллепипеда, построенного на векторах , , как на сторонах.

Если векторы , , заданы своими координатами: = { a _x, a _y, a _z}, = , = , то смешанное произведение
(, , ) определяется формулой:

 

(, , ) =

 

= a_x(b_yc_z – c_yb_z) – a_y(b_xc_z – b_zc_x) + a_z(b_xc_y – c_xb_y).

 

 

Плоскость в пространстве

Любой ненулевой вектор , перпендикулярный к данной плоскости П, называется ее нормальным вектором.

В декартовых координатах каждая плоскость П определяется уравнением первой степени, и каждое уравнение первой степени определяет плоскость. Общее уравнение плоскости:

 

Ах + By + Cz + D = 0, (1)

 

при этом вектор = { A, B, C } является нормальным вектором этой плоскости, .

Уравнение плоскости, проходящий через точку М₀ (x ₀, y ₀, z ₀) перпендикулярно вектору = {A, B, C}:

 

A(x – x ₀) + B(y – y ₀) + C(z – z ₀) = 0.

 

Уравнение плоскости в отрезках:

 

,

 

где а, b, c — абcцисса, ордината и аппликата соответственно точек пересечения плоскости с координатными осями.

Уравнение плоскости, проходящей через три точки М₁(x ₁, y ₁, z ₁),
М₂(x ₂, y ₂, z ₂), М₃(x ₃, y ₃, z ₃):

 

. (2)

 

Уравнение плоскости, проходящей через две точки М₁(x ₁, y ₁, z ₁)
и М₂(x ₂, y ₂, z ₂) перпендикулярно к плоскости A(x – x ₀)+B(y – y ₀) + C(z – z ₀) = 0:

 

.

 

Уравнение плоскости, проходящей через точку М ₀(x ₀, y ₀, z ₀) перпендикулярно к двум непараллельным плоскостям A ₁ x + B ₁ y + C ₁ z + D ₁ = 0 и A ₂ x + B ₂ y + C ₂ z + D ₂ = 0:

 

= 0.

 

Расстояние от точки М(x ^*, y ^*, z ^*) до плоскости Ах + By + Cz + D = 0 вычисляется по формуле:

 

. (3)

Прямая в пространстве

 

Ненулевой вектор , параллельный прямой l, называется направляющим вектором этой прямой.

Канонические уравнения прямой, проходящей через данную точку М ₀(x ₀, y ₀, z ₀) с заданным направляющим вектором = { m, n, p }:

 

. (4)

 

Уравнения прямой, проходящей через две данные точки
М ₁(x ₁, y ₁, z ₁) и М ₂(x ₂, y ₂, z ₂):

 

. (5)

 

 

Углы между прямой и плоскостью, между двумя прямыми

 

Углом между прямой l и плоскостью П называется угол
(0 £ £ ), образованный прямой l и ее проекцией l ¢ на эту плоскость.

Зная нормальный вектор = { A, B, C } плоскости П и направляющий вектор = { m, n, p } прямой l, угол j можно определить из формулы:

. (6)

 

Угол между двумя прямыми в пространстве – это угол между направляющими векторами этих прямых.