Рекомендации к выполнению задания

 

При выполнении пунктов 1–6 задания используется аппарат векторной алгебры, решение пунктов

7–10 основано на применении уравнений прямой и плоскости в пространстве.

 

 

Пример решения задачи

 

Даны координаты вершин пирамиды:

А ₁ (2, 4, –3),

А ₂ (5, 6, 3),

А ₃ (–2,7,–3),

А ₄ (4, 1, 0).

 

 

Решение:

Найдем длину ребра А ₁ А ₂ как модуль вектора:

 

={ x ₂ – x ₁, y ₂ – y ₁, z ₂ – z ₁} =

 

= {5 – 2, 6 – 4, 3 – (–3)} = {3; 2; 6}

 

.

 

Угол между ребрами А₁А₂ и А₁А₄ найдем как угол между векторами = {3; 2; 6} и = {4 – 2, 1 – 4, 0 – (–3)} = {2, –3, 3}, используя скалярное произведение векторов:

 

 

(, ) = arccos 0,5482 = 56°46¢.

3. Проекцию ребра А ₁ А ₃ на ребро А ₁ А ₂ найдем как проекцию вектора на вектор :

4. Площадь грани А ₁ А ₂ А ₃ можно вычислить, используя геометрический смысл векторного произведения векторов (см. пункт в) справочного материала). Найдем векторное произведение векторов

и = :

 

 

и его модуль:

 

.

 

Модуль векторного произведения векторов равен площади параллелограмма, построенного на векторах и как на сторонах, а площадь грани А ₁ А ₂ А ₃ составляет половину площади этого параллелограмма, т.е.

(кв. ед.).

5. Длину высоты грани А ₁ А ₂ А ₃, опущенной из вершины А ₃ на ребро А ₁ А ₂, найдем по формуле

6. Объем пирамиды А ₁ А ₂ А ₃ А ₄ можно вычислить, используя геометрический смысл смешанного произведения векторов (см. пункт г) справочного материала). Найдем смешанное произведение векторов
= {3; 2; 6}, = {–4, 3, 0} = {2, –3, 3}:

 

 

Модуль смешанного произведения векторов (, , ) равен объему параллелепипеда, построенного на векторах , , как на сторонах, а объем пирамиды А ₁ А ₂ А ₃ А ₄ составляет шестую часть объема этого параллелепипеда, т.е.

 

(куб. ед.).

 

7. Для составления уравнения прямой А ₁ А ₃ воспользуемся уравнением (5) прямой, проходящей через две данные точки А ₁(2,4,–3) и А ₃(–2, 7, –3).

или

А ₁ А ₃: .

 

8. Составим уравнение плоскости А ₁ А ₂ А ₃. Поскольку плоскость П проходит через три точки

А ₁(2, 4, –3), А ₂(5, 6, 3), А ₃(–2, 7, –3), то согласно (2) получим:

 

= –18(x – 2) – 24(у -4) + 17(z + 3) = 0

или

 

18 х + 24 у – 17 z –183 = 0.

 

 

9. Угол между ребром А ₁ А ₄ и гранью А ₁ А ₂ А ₃ найдем по формуле (6) как угол между прямой А ₁ А ₄ и плоскостью П. Направляющий вектор прямой А ₁ А ₄ есть вектор = {2, –3, 3} (см. пункт 4), нормальный вектор плоскости А₁А₂А₃ согласно (1) = {18, 24, –17} (см. пункт 6).

Тогда:

 

j = arcsin arcsin 0,5379» 32°33¢.

 

10. Составим уравнение высоты h, опущенной на грань А ₁ А ₂ А ₃ из вершины А ₄. Известны координаты точки А ₄(4, 1, 0), через которую проходит эта прямая, искомая прямая имеет направляющий вектор , параллельный нормальному вектору = {18, 24, –17} плоскости П грани А ₁ А ₂ А ₃. Тогда согласно (4) канонические уравнения искомой прямой:

 

.

 

Значение h по формуле (3) будет равно

 

.

Ответ:

1) = 7; 2) 56°46¢;

3) 4) (кв. ед.); 5)

6) (куб. ед.); 7) А ₁ А ₃: ;

8) П: 18 х + 24 у + 17 z – 183 = 0; 9) 32°33¢;

10) .

 

Условия задачи 2.

 

№ варианта	А1	А2	А3	А4
	(0, 4, 3)	(1,4,0)	(–1,–1,0)	(4, 1, 2)
	(1, 2, –1)	(2,0,0)	(0,–1,4)	(1,2,4)
	(1, –2, 0)	(3,1,5)	(3,–3,1)	(2,–1,0)
	(2, –1, 3)	(3, 0,2)	(2,0,–3)	(3,2,1)
	(3, –1, 0)	(–1,1,–3)	(1,–1,5)	(1,0,2)
	(1, 2, –3)	(0,–1,2)	(3,–1,–1)	(3,2,3)
	(2,1,3)	(–3,–4,0)	(4,2,1)	(1,–4,1)
	(3,–2,1)	(1,1,–1)	(–5,–1,3)	(3,4,1)
	(2,3,–1)	(–4,1,0)	(–1,–1,5)	(2,3,2)
	(–3,1,2)	(2,–1,4)	(4,1,1)	(2,1,–1)

 

Задача 3. Найти пределы функций.