При выполнении пунктов 1–6 задания используется аппарат векторной алгебры, решение пунктов
7–10 основано на применении уравнений прямой и плоскости в пространстве.
Пример решения задачи
Даны координаты вершин пирамиды:
А 1 (2, 4, –3),
А 2 (5, 6, 3),
А 3 (–2,7,–3),
А 4 (4, 1, 0).
Решение:
Найдем длину ребра А 1 А 2 как модуль вектора:
={ x 2 – x 1, y 2 – y 1, z 2 – z 1} =
= {5 – 2, 6 – 4, 3 – (–3)} = {3; 2; 6}
.
Угол между ребрами А1А2 и А1А4 найдем как угол между векторами 
= {3; 2; 6} и 
= {4 – 2, 1 – 4, 0 – (–3)} = {2, –3, 3}, используя скалярное произведение векторов:
(, 
) = arccos 0,5482 = 56°46¢.
3. Проекцию ребра А 1 А 3 на ребро А 1 А 2 найдем как проекцию вектора 
на вектор 
: 
4. Площадь грани А 1 А 2 А 3 можно вычислить, используя геометрический смысл векторного произведения векторов (см. пункт в) справочного материала). Найдем векторное произведение векторов
и 
= 
:
и его модуль:
.
Модуль векторного произведения векторов 
равен площади параллелограмма, построенного на векторах и как на сторонах, а площадь грани А 1 А 2 А 3 составляет половину площади этого параллелограмма, т.е.
(кв. ед.).
5. Длину высоты грани А 1 А 2 А 3, опущенной из вершины А 3 на ребро А 1 А 2, найдем по формуле
6. Объем пирамиды А 1 А 2 А 3 А 4 можно вычислить, используя геометрический смысл смешанного произведения векторов (см. пункт г) справочного материала). Найдем смешанное произведение векторов
= {3; 2; 6}, = {–4, 3, 0} 
= {2, –3, 3}:
Модуль смешанного произведения векторов (, , ) равен объему параллелепипеда, построенного на векторах , , как на сторонах, а объем пирамиды А 1 А 2 А 3 А 4 составляет шестую часть объема этого параллелепипеда, т.е.
(куб. ед.).
7. Для составления уравнения прямой А 1 А 3 воспользуемся уравнением (5) прямой, проходящей через две данные точки А 1(2,4,–3) и А 3(–2, 7, –3).
или
А 1 А 3: 
.
8. Составим уравнение плоскости А 1 А 2 А 3. Поскольку плоскость П проходит через три точки
А 1(2, 4, –3), А 2(5, 6, 3), А 3(–2, 7, –3), то согласно (2) получим:
= –18(x – 2) – 24(у -4) + 17(z + 3) = 0
или
18 х + 24 у – 17 z –183 = 0.
9. Угол между ребром А 1 А 4 и гранью А 1 А 2 А 3 найдем по формуле (6) как угол между прямой А 1 А 4 и плоскостью П. Направляющий вектор прямой А 1 А 4 есть вектор = {2, –3, 3} (см. пункт 4), нормальный вектор плоскости А1А2А3 согласно (1) 
= {18, 24, –17} (см. пункт 6).
Тогда:
j = arcsin 
arcsin 0,5379» 32°33¢.
10. Составим уравнение высоты h, опущенной на грань А 1 А 2 А 3 из вершины А 4. Известны координаты точки А 4(4, 1, 0), через которую проходит эта прямая, искомая прямая имеет направляющий вектор 
, параллельный нормальному вектору = {18, 24, –17} плоскости П грани А 1 А 2 А 3. Тогда согласно (4) канонические уравнения искомой прямой:
.
Значение h по формуле (3) будет равно
.
Ответ:
1) 
= 7; 2) 
56°46¢;
3) 
4) 
(кв. ед.); 5) 
6) 
(куб. ед.); 7) А 1 А 3: 
;
8) П: 18 х + 24 у + 17 z – 183 = 0; 9) 
32°33¢;
10) 
.
Условия задачи 2.
| № варианта | А1 | А2 | А3 | А4 |
| (0, 4, 3) | (1,4,0) | (–1,–1,0) | (4, 1, 2) | |
| (1, 2, –1) | (2,0,0) | (0,–1,4) | (1,2,4) | |
| (1, –2, 0) | (3,1,5) | (3,–3,1) | (2,–1,0) | |
| (2, –1, 3) | (3, 0,2) | (2,0,–3) | (3,2,1) | |
| (3, –1, 0) | (–1,1,–3) | (1,–1,5) | (1,0,2) | |
| (1, 2, –3) | (0,–1,2) | (3,–1,–1) | (3,2,3) | |
| (2,1,3) | (–3,–4,0) | (4,2,1) | (1,–4,1) | |
| (3,–2,1) | (1,1,–1) | (–5,–1,3) | (3,4,1) | |
| (2,3,–1) | (–4,1,0) | (–1,–1,5) | (2,3,2) | |
| (–3,1,2) | (2,–1,4) | (4,1,1) | (2,1,–1) |
Задача 3. Найти пределы функций.
