Определители второго и третьего порядков

Методические указания

к выполнению контрольной работы

по математике

для студентов заочной формы обучения направления

«Гостиничное дело», «Туризм»

 

Составитель: доцент кафедры ПМиИ, Пилосян Э.А. кафедры

Сочинского государственного университета

 

Рецензент:

 

 

Сочи – 2015

 

 

Порядок выполнения контрольной работы

 

Контрольная работа выполняется в отдельной тетради. На обложку тетради наклеивается титульный лист (см. приложение 1). Номер варианта контрольной работы совпадает с последней цифрой номера зачетной книжки студента.

Задачи решаются в том порядке, который указан в методическом пособии. Текст задачи переписывается.

Контрольная работа должна быть сдана в СГУ не позднее 15 декабря.

Если при решении задач возникают трудности, студент может обратиться за консультацией к преподавателю математики СГУ.

 

 

 

Задача 1. Решить систему линейных уравнений а) используя формулы Крамера; б) матричным методом (с помощью обратной матрицы).

 

Справочный материал к заданию

Матрицы

Матрицей размера m*n называется прямоугольная таблица из m строк и n столбцов, состоящая из чисел или иных математических выражений , называемых элементами матрицы, .

Суммой матриц и одинакового размера называется матрица того же размера, причем .

Произведением матрицы на число называется матрица того же размера, что и матрица , причем .

Произведением матриц и (размеров m*n и n*r соответственно) называется матрица размера m*r, такая что .

Определители второго и третьего порядков

Определитель второго порядка a ₁₁ a ₂₂ – а ₁₂ а ₂₁, т. е. равен разности между произведением элементов на главной диагонали и произведением элементов на побочной диагонали.

Определитель третьего порядка вычисляется либо через определители второго порядка разложением по элементам какой-либо строки или какого-либо столбца (например, при разложении по элементам первой строки):

 

,

 

либо по правилу треугольников: определитель равен алгебраической сумме произведений по три элемента согласно схеме:

где прямыми линиями соединены элементы определителя, произведение которых входит в сумму со своим знаком в случае А) и с противоположным знаком в случае Б), т.е.

 

D = а ₁₁ а ₂₂ а ₃₃ + а ₁₂ а ₂₃ а ₃₁ + а ₁₃ а ₂₁ а ₃₂ – а ₃₁ а ₂₂ а ₁₃ – а ₁₁ а ₃₂ а ₂₃ – а ₃₃ а ₂₁ а ₁₂.

 

Системой m -линейных уравнений с n неизвестными называется система вида

 

а ₁₁ х ₁ + а ₁₂ х ₂ + … + а _1n х _n = b ₁

a ₂₁ x ₁ + a ₂₂ x ₂ + … + a _2n x _n = b ₂

--------------------------------------

a _m1 x ₁ + a _m2 х ₂ + … + a _mn x _n = b _m

 

Эту систему можно записать в матричной форме:

 

А · Х = В,

где

 

a ₁₁ a ₁₂ … a _1n x ₁ b ₁

A = a ₂₁ a ₂₂ … a _2n , X = x ₂, B = b ₂.

----------------- --- ---

a _m1 a _m2 … a _mn x _n b _m

 

Решением системы называется всякая матрица-столбец Х, обращающая матричное уравнение А · Х = В в тождество. Система называется совместной, если она имеет решение, и несовместной, если решений нет. Совместная система называется определенной, если решение единственное, и неопределенной, если она имеет бесчисленное множество решений.

Две системы называются равносильными, если каждое решение одной является решением другой, т.е. у них множества решений совпадают.

Если ∆ - определитель матрицы А – не равен нулю, то система совместна и определенна, ее решение задается формулой:

.

Другую форму записи этого утверждения дают формулы Крамера:

,

где k=1,2,…,n, - определитель, получающийся из ∆ заменой k -го столбца на столбец свободных членов.

Пример решения задачи.

 

а) Решить систему уравнений по формулам Крамера:

Найдем главный определитель матрицы коэффициентов системы уравнений по правилу треугольников:

.

Так как главный определитель отличен от нуля, то решение системы существует и единственно.

Найдем определители , подставляя столбец свободных членов вместо первого, второго и третьего столбцов главного определителя соответственно:

 

,

,

.

Отсюда получим решение системы уравнений:

 

,

 

,

.

Ответ: (-2;1;2).

Минором к элементу квадратной матрицы называется определитель, составленный из элементов матрицы , оставшихся после вычеркивания i –той строки и j –го столбца.

Алгебраическим дополнением к элементу квадратной матрицы называется произведение .

б) Решить систему уравнений с помощью обратной матрицы.

 

Найдем матрицу , обратную к матрице системы методом присоединенной матрицы.

Так как определитель матрицы А равен 27 (см. предыдущий пример), то обратная матрица существует, поэтому решение системы существует и единственно.

Найдем алгебраические дополнения ко всем элементам матрицы А:

 

,

,

,

,

,

,

,

,

.

Запишем присоединенную матрицу:

 

.

Найдем обратную матрицу:

 

.

Найдем решение системы уравнений:

 

.

Ответ: (-2;1;2).

 

 

Условия задачи 1.

 

1. 2.

3. 4.

5. 6.

7. 8.

9. 10. .

 

Задача 2. Даны координаты вершин пирамиды А ₁ А ₂ А ₃ А ₄.

Найти:

1) длину ребра А ₁ А ₂;

2) угол между ребрами А ₁ А ₂ и А ₁ А ₄;

3) проекцию ребра A ₁ A ₃ на ребро А ₁ А ₂;

4) площадь грани А ₁ А ₂ А ₃;

5) длину высоты грани А ₁ А ₂ А ₃, опущенной из вершины А ₃ на ребро А ₁ А ₂

6) объем пирамиды А ₁ А ₂ А ₃ А ₄;

7) канонические уравнения прямой А ₁ А ₃;

8) общее уравнение плоскости А ₁ А ₂ А ₃;

9) угол между ребром А ₁ А ₄ и гранью А ₁ А ₂ А ₃;

10) канонические уравнения высоты, опущенной из вершины А ₄ на грань А ₁ А ₂ А ₃, и длину этой высоты.