Определение скоростей и ускорений звеньев

 

Скорости и ускорения ведомых звеньев механизма могут быть определены методами планов, кинематических диаграмм и аналитическими. Во всех случаях в качестве исходных данных должны быть известны: схема механизма при определенном положении ведущего звена, его скорость и ускорение.

Метод планов. Построение планов скоростей и ускорений проводится на основе последовательного составления векторных уравнений для всех групп, входящих в механизм, начиная с ведущего звена.

Для определения полной картины скоростей любого звена, входящего в группу, достаточно знать линейные скорости двух точек этого звена или линейную скорость одной точки и угловую скорость звена. Так как скорости конечных элементов звеньев групп известны, то необходимо выбрать общую для двух звеньев точку и записать два уравнения для определения скорости этой точки.

Для групп первого, второго и четвертого видов (рис. 2.3, а, б, г) это постоянная точка - центр средней вращательной пары группы, для других - мгновенная точка на одном звене, совпадающая в данный момент с центром конечной вращательной пары другого звена.

При составлении векторных уравнений следует четко установить точки, скорости которых используются как скорости в переносном движении. Если звенья группы образуют поступательные кинематические, то необходимо использовать точки, принадлежащие направляющим звеньям. В качестве примера рассмотрим построение планов скоростей и ускорений группы второго класса второго вида.

 

а)

 

 

б) в)

 

Рис. 2.3. Кинематическое исследование группы второго класса второго вида

 

План скоростей. В этой группе (рис. 2.3, а) полагаем, что скорости примыкающих звеньев 1 и 4 заданы. Следовательно, скорость точки В₂, принадлежащей звену 2, равна скорости точки В₁, принадлежащей звену 1, т.е. . Угловая скорость звена 3, образующего поступательную пару со звеном 4, равна заданной угловой скорости звена 4, т.е. w₃ = w₄. Следовательно, для отыскания скоростей второго звена достаточно определить, кроме известной скорости точки В, скорость еще одной точки, а для третьего звена, кроме известной угловой скорости w₃, также скорость какой-либо одной точки. Для решения этой задачи следует рассмотреть движение общей для этих двух звеньев точки С - центра средней вращательной пары.

Рассмотрим движение звена 2 относительно звена 1. Эти звенья образуют вращательную пару, поэтому на основании теоремы о сложении скоростей в сложном движении скорость точки С на звене 2 складывается из скорости переносного (поступательного) движения звена со скоростью и скорости относительного (вращательного) движения звена 2 вокруг точки В:

(2.6)

 

где

Теперь определим скорость точки С, отнеся ее к 3 звену. Звено 3 образует со звеном 4 поступательную пару, поэтому скорость точки С₃ можно представить как сумму двух скоростей: скорости точки С₄, совпадающей с точкой С₃ и принадлежащей среде переноса (в данном случае примыкающему звену 4), и скорости точки С₃ относительно точки С₄ в поступательном движении звена 3 относительно звена 4 - , т.е.:

 

(2.7)

Точку С₄ расположим на плоскости, жестко связанной со звеном 4. Зная закон движения этого звена, можно найти мгновенный цент? вращения (МЦВ) и при известном расстоянии его от точки С₄ и угловой скорости w₄ определить величину и направление скорости этой точки.

Систему уравнений (2.6) и (2.7) решим графически в выбранном масштабе () на плане скоростей (рис. 2.3, б). Откладываем от полюса р_v параллельно вектору скорости точки В отрезок p_v в (мм) и через конец этого отрезка проводим прямую, являющуюся линией действия вектора V_CB. Эта прямая перпендикулярна к линии ВС.

Далее из полюса p_v плана скоростей параллельно вектору (рис. 2.3, а) откладываем отрезок p_vc₄ = (мм). Через конец этого отрезка (точку С₄) проводим прямую, параллельную направляющей поступательной пары D, являющейся линией действия вектора относительной поступательной скорости . Так как , векторные суммы определяются точкой пересечения линий действия относительных скоростей. Точку пересечения этих линий обозначим С, абсолютная скорость точки С определится из условия

V_c = (p_vc) _v.

Из плана скоростей получим также величины и направления векторов относительных скоростей: вращательной V_CB - отрезок bc и поступательной - отрезок C₄C. Угловая скорость второго звена:

 

, (2.8)

а направление ее определяется мысленным переносом вектора относительной скорости V_СВ - отрезка bc плана скоростей в точку С на плане положения группы.

Пользуясь планом скоростей, можно найти скорость любой точки на звене. Скорость точки S на втором звене определяется из условия представления сложного движения звена 2 как поступательного со скоростью V_B и вращательного вокруг точки В, а также как поступательного со скоростью V_c и вращательного вокруг точки С:

} (2.9)

Решая эту систему графически, определяют точку S - конец вектора V_S.

Из построения следует, что треугольник csb на плане скоростей подобен треугольнику CSB на плане положений группы и повернут относительно него на 90°. Правильность построения определяется одинаковым порядком букв при обходе контура звена и контура относительных скоростей на плане скоростей в одном и том же направлении.

План ускорений. Исходными данными для построения плана ускорений являются план положения группы, план скоростей (рис. 2.3, а, б) и ускорения звеньев, примыкающих к данной группе. При построении плана ускорений полностью применимы рассуждения, использованные при решении задачи об отыскании скоростей звеньев. Ускорение точки В₂ известно, т.к. она совпадает с точкой В₁, т.е. , угловое ускорение звена 3 известно, т.к. оно образует со звеном 4 поступательную пару, т.е. e₃=e₄.

Для нахождения ускорения любой точки звеньев 2 и 3 дополнительно надо знать ускорение хотя бы одной точки на каждом из этих звеньев. В качестве такой точки следует использовать центр шарнира С, являющийся общей точкой для звеньев 2 и 3. Рассматривая вращательное движение звена 2 вокруг точки В и поступательное - звена 3 относительно звена 4, записываем следующие векторные уравнения:

 

} (2.10)

Систему уравнений (2.10) решим графически. На чертеже (рис. 2.3, в) обозначим полюс плана ускорений р_а и выберем масштаб построения плана ускорений . Откладываем от полюса р_а параллельно вектору ускорения а_В отрезок (мм). Нормальное ускорение а_СВⁿ точки С в относительном движении направлено от точки С вдоль звена 2 к точке В; величину его, исходя из построенного плана скоростей (рис. 2.3, б), определим по формуле:

 

(2.11)

Из точки b плана ускорений проводим линию действия ускорения в направлении от точки С к точке В и откладываем отрезок .

Из точки n перпендикулярно к отрезку b_n проводим линию действия тангенциального ускорения . Далее из полюса р_а проводим линию параллельно известному направлению ускорения (рис. 2.3, а) и откладываем отрезок:

Ускорение Кориолиса (поворотное ускорение):

(2.12)

откладываем на плане ускорения в виде отрезка (мм). Направление указанного отрезка определяется путем поворота вектора относительной скорости С₄С на 90° в сторону

вращения среды поворота - звена 4. Из точки К проводим линию действия ускорения , параллельную направляющей поступательной пары, т.е. перпендикулярно к вектору ускорений . Пересечение линий действия и определит наложение точки C.

Из плана ускорения получим также величины и направления векторов относительных ускорений (м/с²) и (м/с²). Угловое ускорение звена 2 определится по формуле:

e (2.13)

Направление e₂ устанавливается путем мысленного переноса вектора nc в точку С и определения направления вращения звена 2 вокруг точки В под влиянием этого вектора.

Пользуясь планом ускорений, можно найти ускорение любой точки на звене 2 и 3. Например, требуется определить ускорение точки S на звене 2. На основании известного положения о подобии фигур звена и плана относительных ускорений строим на отрезке bc плана ускорений треугольник csb, подобный треугольнику CSB на звене 2, соблюдая при этом одинаковую последовательность расположения букв при обходе контуров этих треугольников в одном направлении. Соединяя полученную в результате построения точку S с полюсом р_а, получаем отрезок p_as, определяющий в масштабе ускорение точки S:a_s = (p_as)

Аналитический метод. Этот метод позволяет определять скорости и ускорения с более высокой точностью. Обычно применяют метод последовательного дифференцирования функции перемещения точки, скорость и ускорение которой необходимо определить. Функцию перемещения S=S(t) или S=S(j) можно получить из геометрических соображений, как, например, это сделано для кривошипно-ползунного механизма - формула (2.5), а ее скорость и ускорение - путем дифференцирования уравнений (2.3).

Дифференцируя уравнения (2.3) по обобщенной координате j₁ (углу поворота ведущего звена), получают не истинную угловую скорость, а безразмерную величину , получившую название аналога угловой скорости. Связь между аналогом скорости и действительной угловой скоростью i-го звена определится из соотношения:

,

т.е. угловая скорость i-го звена w_i равна произведению угловой скорости ведущего звена w_i на аналог скорости. Продифференцировав уравнения (2.3) и подставив значение аналога скорости, получаем уравнения для определения угловой скорости, получаем уравнения для определения угловой скорости шатуна w₂ (рис. 2.2) и относительной скорости звена 3 - u₃₀=u_с:

(2.17)

Определим значение w₂ из второго уравнения (2.17):

и подставим его в первое уравнение, с учетом формулы (2.4), получим значение u_с:

(2.18)

При вторичном дифференцировании уравнений (2.3) с использованием понятия аналога углового ускорения, представляющего вторую производную по углу поворота ведущего звена , можно определить действительное ускорение i-го звена, умножив аналог углового ускорения на квадрат угловой скорости ведущего звена w₁². При этом принимая, что w₁= const, получают уравнения для определения углового ускорения шатуна e₂ и относительного ускорения звена

(2.19)

из уравнения (2.19) получим значение:

.

Получив значения угловых скоростей и ускорений, можно определить скорость и ускорение любой точки звеньев механизма. В тех случаях, когда l £ 1/3, пользуются приближенными формулами при определении перемещения, скорости и ускорения ползуна. При этом перемещение ползуна S_c измеряем от мертвого положения С_о (рис. 2.2):

S_c = l₁ + l₂ - X_c, или с учетом (2.5) получим:

(2.20)

Раскладывая в ряд радикал, входящий в формулу (2.20) по биному Ньютона и ограничиваясь его первыми двумя членами, получим:

(2.21)

После дифференцирования скорость u_с и ускорение а_с определяют по формулам:

u_с @ w₁l₁ (sinj₁ + l/2 sin 2j₁) (2.22)

a_с @ w₁²l₁ (cosj₁ + lcos 2j₁) (2.23)