Прежде всего, отметим, что над массивами одинаковых размеров допускаются операции сложения и вычитания, обозначаемые стандартными знаками + и –. Если A и B – массивы произвольной размерности, но одинаковых размеров, то допустимы выражения
>> A=[4 1; 0 5]
A =
4 1
0 5
>> B=[2 2; 1 7]
B =
2 2
1 7
>> C=A+B
C =
6 3
1 12
>> D=A-B
D =
2 -1
-1 -2
где элементы массивов C и D равны сумме и разности элементов массивов A и B соответственно. Иными словами, операции сложения и вычитания выполняются поэлементно и порождают массивы тех же размеров, что и исходные операнды. Если используются операнды разных размеров выдается сообщение об ошибке:
A =
4 1
0 5
>> S=[1 2 3; 0 4 2]
S =
1 2 3
0 4 2
>> A+S
Error using +
Matrix dimensions must agree.
Исключением в этом смысле является ситуация, когда один из операндов является скаляром:
>> A+7
ans =
11 8
7 12
В таких случаях скаляр предварительно расширяется до массива того же размера, что и матричный операнд. Так например, в приведенном примере из скаляра 7 сначала генерируется матрица [7 7; 7 7], которая и складывается далее поэлементно с матрицей A.
Для поэлементного умножения и поэлементного деления массивов одинаковых размеров применяются операции, обозначаемые комбинациями двух символов – «.*» для умножения и «./» для деления (поясним, что кавычки, разумеется, не входят в состав обозначений для указанных операций). Использование комбинаций символов можно объяснить тем фактом, что символами «*» и «/» обозначены специальные операции линейной алгебры над матрицами и векторами.
Заметим, что помимо операции «./», называемой также операцией правого поэлементного деления, в системе MATLAB имеется также операция левого поэлементного деления, обозначаемая «.\». Поясним, что выражение типа A./B приводит к матрице с элементами A(k,m)/B(k,m), где k и m – соответствующие индексы элементов матрицы. Выражение A.\B приводит, в свою очередь, к матрице с элементами B(k,m)/A(k,m).
При поэлементном возведении в степень каждый элемент первой матрицы возводится в степень, равную соответствующему элементу второй матрицы. Показателем степени может быть не только матрицы того же размера, что и исходная, но и число. Поэлементное возведение в степень обозначается знаком «.^». В частности, имеем:
>> X=[8 5 3 6; -2 4 -7 1]
X =
8 5 3 6
-2 4 -7 1
>> Y=[2 4 -7 9; 1 3 2 8]
Y =
2 4 -7 9
1 3 2 8
>> X.^3
ans =
512 125 27 216
-8 64 -343 1
>> X.^Y
ans =
1.0e+07 *
0.0000 0.0001 0.0000 1.0078
-0.0000 0.0000 0.0000 0.0000
Следует обратить внимание на результат, полученный при выполнении операции X.^Y. Как видно, система MATLAB выделила общий множитель 1.0e+07 для всех элементов результирующей матрицы. Кроме того, полученная матрица включает достаточно много нулевых элементов. Это объясняется тем, что по умолчанию в MATLAB установлен формат представления чисел short, при котором после десятичной точки отображается только четыре десятичные цифры. Более точный результат может быть получен, если задать формат short e:
>> format short e
>> X.^Y
ans =
6.4000e+01 6.2500e+02 4.5725e-04 1.0078e+07
-2.0000e+00 6.4000e+01 4.9000e+01 1.0000e+00
Знак «*» (кавычки, как и прежде, не входят в обозначение операции) закреплен за операцией умножения матрицы на матрицу (или матрицы на вектор) в смысле линейной алгебры. Отметим, что данная операция выполнима, лишь при условии, что количество столбцов в левом операнде равно количеству строк в правом операнде:
>> A=[4 -1 1; 1 5 1; 10 2 42]
A =
4 -1 1
1 5 1
10 2 42
>> x=[1; 2; 3]
x =
>> y=A*x
y =
Отметим, что простейшая в таком смысле операция умножения вектора на число может выполняться с помощью обычного оператора умножения («*»), причем умножать вектора на число можно как справа, так и слева:
>> q=[6 7 8 9]
q =
6 7 8 9
>> q*4
ans =
24 28 32 36
>> 4*q
ans =
24 28 32 36
Умножение матрицы на число подобно умножению вектора на число.
Как известно, произведение двух векторов можно вычислить лишь в том случае, когда они имеют одинаковую длину и один из них является вектор-строкой, а второй – вектор-столбцом:
>> u=[1 5 7];
>> v=[2; 4; 6];
>> u*v
ans =
>> v*u
ans =
2 10 14
4 20 28
6 30 42
Как и следовало ожидать операция произведения векторов не является перестановочной.
Выполним теперь транспонирование матрицы (т.е. перемену мест ее строк и столбцов):
>> A=[1 2 3; 4 5 6]
A =
1 2 3
4 5 6
>> At=A'
At =
1 4
2 5
3 6
Приведем примеры умножения матрицы на матрицу:
>> A=[1 2 3; 4 5 6];
>> B=[2 0 -3; 1 2 7];
>> A*B'
ans =
-7 26
-10 56
>> A'*B
ans =
6 8 25
9 10 29
12 12 33
Для того, чтобы операции умножения матриц имели смысл, в первом случае потребовалось транспонировать матрицу B, а во втором – матрицу A.
Операция возведения матрицы в степень эквивалентна умножению матрицы на саму себя то число раз, которое соответствует показателю степени. Показатель степени должен быть целым положительным либо целым отрицательным числом, а матрица должна быть квадратной, например:
>> C=[5 1 4; 1 7 7; 2 9 6]
C =
5 1 4
1 7 7
2 9 6
>> C^3
ans =
320 829 778
433 1672 1465
488 1827 1599
Возведение матрицы в отрицательную степень эквивалентно умножению обратной матрицы на саму себя то число раз, которое соответствует показателю степени:
>> C^-3
ans =
1.8900e-03 -5.9837e-02 5.3903e-02
-1.4081e-02 -8.2427e-02 8.2371e-02
1.5512e-02 1.1244e-01 -1.0994e-01
Деление вектора на число происходит с помощью обычного оператора деления («/»), однако деление числа на вектор невозможно:
>> q/4
ans =
1.5000 1.7500 2.0000 2.2500
>> 4/q
Error using /
Matrix dimensions must agree.
