Медиана и мода случайной величины

Центр распределения непрерывных случайных величин, плотности распределения которых не являются симметричными, удобно характеризовать медианой.

Медиана случайной величины Т есть такое ее значение, которое делит площадь под кривой плотности распределения пополам.

.

f(t)

t

 

Рисунок 4 - Изображение моды и медианы на графиках

Следовательно, относительно медианы равновероятно получение большего или меньшего значения случайной величины.

Модой М₀ непрерывной случайной величины Т является такое ее значение, которому соответствует наибольшее значение плотности распределения, т. е. f(M₀)=max.

Для определения теоретических значений интегральной и дифференциальной функций распределения наработок на отказ необходимо учитывать ряд особенностей нормального закона распределения.

Чаще всего, он проявляется тогда, когда случайная величина Т является результатом действия достаточно большого числа различных факторов, но все они оказывают относительно малое влияние. Нормальный закон распределения используется для описания постепенных изменений технических параметров агрегатов и систем машин, когда доля внезапных отказов мала. Этот закон распределения характерен для постепенных (износовых) отказов.

Для этого закона плотность распределения вероятности имеет вид:

, (18)

где , s - параметры нормального распределения.

Нормальное распределение обладает рядом свойств:

- кривая распределения симметрична относительно точки t= , через которую проходит ордината;

- кривая распределения достигает максимальной величины равной при t= ;

- ветви кривой при t->¥ асимптотически приближаются к оси абсцисс;

- при уменьшении s кривая распределения вытягивается вверх, сжимаясь с боков, а при увеличении s кривая распределения вытягивается вдоль оси абсцисс;

- в интервале от -s до s заключено приблизительно 68,3 % всей площади под кривой, от - 2 s до + 2 s − 95,5 %и от - 3 s до + 3 s − 99,7 %.

Отсюда видно, что рассеивание случайной величины с незначительной погрешностью укладывается на интервале ± 3 s.

Для упрощения вычислений введем величину . Такая замена называется нормированием:

. (19)

Знак аргумента не имеет значения f₀(-x) = f₀(x),

. (20)

Табулированные значения функции f₀(x) представлены в таблице А.1 приложения.

Вероятность безотказной работы до первого отказа вычисляется с помощью уравнения:

, (21)

где Ф - функция Лапласа, обладающая свойствами . Табулированные значения функции Лапласа представлены в таблице А.2 приложения.

Вероятность восстановления определяется по формуле:

. (22)

Интенсивность отказов или восстановления:

. (23)

Для облегчения расчетов и проверки результатов, полученные данные сводятся в таблицу 3.

Таблица 3 - Последовательность вычислений при проверке принадлежности данных нормальному закону

i		ni	ni ×		()2	()2× ni	xi	f(t)i	F(t)i
……
r
		S	S			S

 

После заполнения таблицы построить графики функций F(t), P(t) и l(t).