Взаимосвязь общих индексов

Общие индексы связаны между собой, что позволяет по известным индексам находить третий и т.д.

Так, между индексом количества и индексом цен существует определенная экономическая связь, так как и тот и другой индекс характеризует изменение фактического стоимостного товарооборота. Фактическая стоимость товаров меняется вследствие изменения цен и количества товаров.

Индекс фактического стоимостного объема товарооборота должен равняться произведению индекса количества, так как стоимость товаров есть произведение цены на количество товаров.

Однако произведение индекса цен на индекс объема обязательно будет равен индексу стоимостного товарооборота только при условии, что индекс цен будет взвешен по количеству отчетного периода, и в индексах количества весами должны быть цены базисного периода. Тогда:

 

,

 

или можно записать: .

 

При перемножении в левой части равенства знаменатель первого сомножителя и числитель второго сомножителя сокращаются.

 

Из примера эта взаимосвязь прослеживается следующим образом:

 

или 118,4%.

 

Взаимосвязь индексов можно использовать для проверки вычисленных индексов: 1,184=0,835*1,416.

 

Например. Общий стоимостной объем товарооборота увеличился на 8%, а цены снизились на 5%. Определить изменение физического объема товарооборота.

 

На основании взаимосвязи индексов () определим индекс физического объема товарооборота:

 

,

или количество реализованных товаров увеличилось на 13,7% (1,137*100-100).

 

3. Агрегатные индекс цен, физического объема товарооборота и др. могут быть вычислены при условии, если известны индексируемые величины и веса, т.е. p и g.Но в ряде случаев мы не располагаем необходимыми данными, а имеем произведение pg и индивидуальные индексы. Возникает проблема построения средних индексов, идентичных агрегатным, путем осреднения индивидуальных индексов. Эта задача решается преобразованием агрегатного индекса в среднеарифметический и среднегармонический индексы.

 

Рассмотрим преобразование агрегатного индекса на примере агрегатного индекса физического объема товарооборота. В этом случае индивидуальные индексы должны быть взвешены на базисные соизмерители. Из индивидуального индекса физического объема товарооборота следует, что . Заменив в числителе агрегатного индекса физического объема товарооборота на , получим .

 

Это и есть среднеарифметический индекс физического объема товарооборота.

Задача. Имеются следующие данные выпуска продукции по заводу строительных пластмасс:

Вид продукции	Выпуск продукции в 1 квартале, млн. руб.	Изменение объема производства во II квартале в натуральном выражении, %
Пленка Пеноплен Линолеум		+10 -10 -25

Определить: сводную оценку изменения объема производства продукции (в натуральном выражении).

Решение.

1. Из условия следует, что индивидуальные индексы по видам продукции имеют следующие значения:

(1,1*100%-100% =10%); (0,9*100%-100%= -10%); (0,75*100%-100%= -25%).

 

2. Индекс физического объема продукции:

 

=

Следовательно, объем производства в натуральном выражении во втором квартале по сравнению с первым уменьшился на 10% (0,9*100-100).

 

В тех случаях, когда не известны отдельные значения и , а дано их произведение - товарооборот отчетного периода и индивидуальные индексы цен , и сводный индекс должен быть вычислен с отчетными весами, применяется среднегармонический индекс цен. Причем индивидуальные индексы должны быть взвешены таким образом, чтобы среднегармонический индекс совпал с агрегатным. Из формулы определим неизвестное значение значение и, заменив в формуле агрегатного индекса цен значение , получим:

.

Индекс в такой форме называется среднегармоническим.

Задача: Имеются следующие данные о продаже товаров в магазине:

Товар, ед.изм.	Продано в отчетном периоде , тыс. руб.	Изменение цен на товары в отчетном периоде по сравнению с базисным, %
Туфли мужские, пары Костюмы, шт.		+3 +6
Итого		-

Определить: общий индекс цен.

Решение.

Запишем, исходя из условия, индивидуальные индексы цен: и , и подставим их значения в формулу среднегармонического индекса цен:

 

= или 104,6%.

 

Следовательно, в отчетном периоде по сравнению с базисным цены на данную группу товаров повысились в среднем на 4,6% (104,6-100).

 

 

4. Индексный метод применяется в статистике также для изучения динамики средних величин и выявления факторов, влияющих на динамику средних. Эти задачи решаются с помощью системы взаимосвязанных индексов переменного состава, постоянного состава и структурных сдвигов.

 

Индекс переменного состава представляет собой соотношение средних величин какого- либо признака в отчетном и базисном периодах:

I = = ,

 

где - , -уровни осредняемого показателя в отчетном и базисном периодах;

, - веса (частоты) осредняемого показателя в отчетном и базисном периодах.

 

Как видно из формулы, индекс переменного состава характеризует изменение среднего уровня признака за счет влияния двух факторов:

1) изменения значений осредняемого признака (х) у отдельных единиц совокупности;

2) структурных изменений, под которыми понимается изменение доли отдельных единиц совокупности в общей их численности (d= ).

Индекс постоянного (фиксированного) состава отражает изолированное действие первого фактора- показывает средний размер изменения изучаемого признака у отдельных единиц совокупности и строится как отношение средних взвешенных величин постоянного состава, т.е. с одними и теми же весами:

I x = .

Индекс структурных сдвигов характеризует влияние изменения структуры изучаемой совокупности на динамику среднего уровня признака:

I стр. = .

 

Индексы переменного, постоянного состава и структурных сдвигов увязываются в следующую систему:

I перем.= I пост. * I стр.

 

В качестве весов (частот) индексов средних величин, наряду с абсолютными показателями f могут использоваться и относительные показатели (частоты, доли) d. В последнем случае упомянутые индексы для качественных показателей х можно выразить в общем виде следующими формулами:

 

I = ;

 

I x = ;

 

I стр. = .

 

Где , - доли единиц с определенным значением признака в общей совокупности в отчетном и базисном периодах ().

 

Задача: Имеются следующие данные о заработной плате работников организации по трем отраслям экономики района:

Среднемесячная заработная плата и число работников

№ п/п	Отрасль экономики	Заработная плата, руб.	Число работников, чел.
Январь	Сентябрь	Январь	Сентябрь
	Здравоохранение Образование Культура и искусство

Определить: индекс заработной платы переменного состава, постоянного состава и структурных сдвигов.

Решение.

1. Для определения индекса заработной платы переменного состава вначале определим заработную плату в январе и сентябре месяцах. Обозначим заработную плату через х, а число работников- Т.

Ø Январь:

= = руб.

 

Ø Сентябрь:

= = руб.

 

2. Теперь определим индекс заработной платы переменного состава:

 

I = = , или 113,8%.

Следовательно, средняя заработная плата работников по данным трем отраслям экономики в сентябре по сравнению с январем выросла на 13,8%.

Абсолютный прирост средней заработной платы составил: 637,2-560=77,2 руб.

Изменение средней заработной платы происходило под влиянием двух факторов: изменения уровня заработной платы в каждой отрасли экономики и изменения структуры численности работников.

3. Определим индекс заработной платы постоянного состава:

или 114,9%.

Следовательно, средняя заработная плата работников по данным отраслям экономики в сентябре по сравнению с январем выросла на 14,9% в результате изменения только одного фактора- самой заработной платы по каждой отрасли экономики (без учета структурных изменений в численности работников).

Абсолютный прирост средней заработной платы составил 637,2-554,8=82,4 руб.

4. Вычислим влияние изменения структуры численности работников на динамику средней заработной платы на основе индекса структурных сдвигов:

I стр = или 99,07%.

Следовательно, увеличение доли работников с меньшей заработной платой в общей их численности привело к снижению средней заработной платы по трем отраслям вместе на 0,03%, хотя в каждой отрасли в отдельности она возросла.

Абсолютное снижение средней заработной платы составило 554,8-560=-5,2 руб., что совпадает с разностью исчисленных выше приростов заработной платы: 77,2-82,4=-5,2 руб.

Отрицательный эффект структурных сдвигов объясняется тем, что в сентябре по сравнению с январем в большей мере сократилась доля работников с наиболее высоки уровнем заработной платы, т.е. в здравоохранении (с 40 до 32%).

 

5. Система взаимосвязанных индексов дает возможность широко применять индексный метод для изучения взаимосвязей общественных явлений, проведения факторного анализа с целью определения роли отдельных факторов (не зависимых друг от друга) на изменение сложного явления.

В отечественной статистике принята следующая практика факторного анализа: если результативный показатель можно представить как произведение объемного и качественного факторов, то, определяя влияние объемного фактора на изменение результативного показателя, качественный фактор фиксируют на уровне базисного периода; если же определяется влияние качественного показателя, то объемный фактор фиксируется на уровне отчетного периода.

По существу, любой агрегатный индекс построен по такому принципу обособленного рассмотрения влияния отдельных факторов на изменение сложного показателя.

 

Факторный анализ (взаимосвязь индексов):

Ø Индексы физического объема и цен являются факторными по отношению к индексу стоимости продукции (товарообороту в фактических ценах):

, или .

Таким образом, произведение индекса цен на индекс физического объема продукции дает индекс стоимости продукции (товарооборота в фактических ценах), т.е. образует индексную систему из этих трех индексов.

Если, например, по определенной группе товаров цена единицы товара в отчетном периоде по сравнению с базисным возросла в среднем на 20%, т.е. (, а физический объем товарооборота (в фиксированных ценах) снизился на 5% (), то можно определить изменение объема товарооборота в фактических ценах: , =1,20*0,95=1,14, или 114%.

Таким образом, при снижении физического объема товарооборота на 5%, товарооборот в фактических ценах в отчетном периоде по сравнению с базисным вырос на 14% при повышении цен на единицу товара в среднем на 20%.

 

Ø Аналогичную взаимосвязь между индексом затрат на производства продукции, индексом себестоимости и индексом физического объема продукции можно записать в виде следующей индексной системы:

; .

Ø Индекс изменения общего фонда оплаты труда F в связи с изменением общей численности работающих Т и заработной платы х:

; .

Ø Индекс изменения объема продукции Q в связи с изменением численности работающих Т и уровня их выработки W:

; .

Ø Индекс изменения валового сбора УП в связи с изменением урожайности У и посевной площади П:

; .

 

К числу взаимосвязанных индексов относятся и индексы переменного состава, постоянного состава и индексы структурных сдвигов. В этой системе динамика среднего показателя (индекса переменного состава) выступает как произведение двух индексов: индекса среднего показателя в неизменной структуре (индекс постоянного состава) и индекса влияния изменения структуры явлений на динамику среднего показателя (индекс структурных сдвигов):

I перем.= I пост. * I стр.; .

Индексная система позволяет определить влияние отдельных факторов на формирование уровня результативного показателя, по двум известным значениям индексов найти значение третьего- неизвестное.

Например, если известно, что затраты на производство всей продукции в отчетном периоде по сравнению с базисным выросли на 15% () и одновременно уровень себестоимости продукции снизился на 4% ( =0,96), то можно определить, что физический объем продукции вырос на 20%:

; , или 120%.

Рассмотренные системы представляют собой двухфакторные системы (связь результативного признака с двумя факторами). Но общий признак может зависеть от трех, четырех и более факторов, т.е. связь может быть трехфакторная, четырехфакторная и т.д.

 

Контрольные вопросы:

1. Что называется индексом в статистике?

2. Дайте определение индексируемой величине.

3. Какие задачи решаются с помощью индексов?

4. Как подразделяются индексы по базе сравнения?

5. Что характеризуют индивидуальные индексы? Приведите примеры.

6. В чем сущность общих индексов?

7. Что называется индексом переменного состава, как он исчисляется и что характеризует? Напишите его формулу.

8. Что представляют собой индексы количественных и качественных показателей?

9. Какой индекс называется индексом постоянного состава, как он исчисляется и что характеризует?

10. Что характеризует индекс структурных сдвигов и как он исчисляется?

11. Какая взаимосвязь существует между индексами переменного, постоянного состава и структурных сдвигов?

12. Как исчисляют среднеарифметический индекс физического объема товарооборота и среднегармонический индекс цен?

13. Что представляет собой система взаимосвязанных индексов, для чего она применяется?