В каждой метрической шкале применяются определенные статистические методы. Параметрическая статистика применяется в интервальной и более мощных шкалах.
Распределение эмпирических данных.
В ходе любого социального исследования, связанного с применением статистики и теории вероятностей, проводится изучение большого числа людей, их признакового пространства, для того чтобы сделать обобщения и типологические выводы относительно всей или части наблюдаемой популяции. Эта популяция в психометрии (и в других точных математических дисциплинах) называется генеральной совокупностью. Психолог не в состоянии изучить свойства всей популяции. Поэтому он работает с выборкой (частью популяции, группой), а выводы с учетом определенных процессуальных правил распространяет на всю генеральную совокупность. Таким образом, исследователь, изучая свойства относительно небольшой группы, получает знание о свойствах генеральной совокупности. Согласно теореме Бернулли «при бесконечном увеличении объема выборки эмпирическое распределение по вероятности стремится к распределению теоретическому»*.
** Осипов Г.В., Андреев Э.П. Методы измерения в социологии. — М.: Наука, 1977. -С. 75.
Характеристики распределения генеральной совокупности называются параметрами, а характеристики выборочного распределения — оценками параметров. Для применения методов параметрической статистики осуществляется процедура определения вида статистического распределения эмпирических данных.
Метод наименьших квадратов в сочетании с гауссовским (нормальным) распределением эмпирических данных служит основой классической статистики. Предположения о нормальном распределении данных имеют «модельный» характер. На деле они не могут выполняться абсолютно точно.
Статистические выводы, составленные на основе модели, приближенной к нормальному распределению, также имеют более или менее приближенный характер. Оценка «приближенности» практической кривой к параметрам нормали* осуществляется при помощи расчета а) асимметрии и эксцесса и б) критериев согласия Пирсона (Хи-квадрат), Колмогорова (1933) и Ястремского (1949). В первом случае оценивается положение вершины практической кривой относительно теоретической, во втором — определенных «участков» (групп частот) практической кривой относительно теоретической нормали.
* См.: Анастази А.,Урбина С. Психологическое тестирование. — СПб., 2001.— С. 79.
Коэффициент асимметрии (As) показывает величину смещения вершины эмпирической кривой относительно расчетной вершины по горизонтали (вправо «+»; влево «-»). Коэффициент эксцесса (Ех) определяет «крутизну» практической кривой (то есть смещение по вертикали — вверх «+»; вниз «-») (рис. 6).
Коэффициент асимметрии рассчитывается по следующим формулам:
где n — количество испытуемых, подвергнутых процедуре тестирования;
где хi — конкретный тестовый балл i-гo тестируемого.
Рис. 6. Распределение эмпирических данных относительно теоретической кривой (распределение Гаусса)
где δ — среднеквадратическое отклонение (С.К.О.);
Мх — среднее (математическое ожидание).
Коэффициент эксцесса рассчитывается при помощи следующих формул:
Допустимые пределы отклонений от теоретической кривой, когда возможно применение методов параметрической статистики (среднее, С.К.О., коэффициенты корреляции и т. п.), определяются согласно неравенствам П. Л. Чебышева:
[6]
где Sа — дисперсия эмпирической оценки асимметрии;
p — вероятность появления ошибки.
где Se — дисперсия эмпирической оценки эксцесса;
В практике профессионального психологического отбора часто пользуются правилом превышения ошибок асимметрии и эксцесса по абсолютной величине не более чем в два-три раза.
Пример. В таблице 5 представлены данные тестирования двух выборок испытуемых (группа А и группа В).
Таблица 5
