Объем пространства равен произведению ортогональных, т. е. независимых, координат. Фазовый объем системы, состоящей из независимых подсистем 1 и 2, равен произведению объемов, которые они занимают:
,
тогда из (2.13)
получаем
. (2.13б)
Энтропия системы равна сумме энтропий независимых подсистем.
Из
, (2.9а)
находим
.
Используем
, (2.13)
, (2.14)
получаем
. (2.14а)
Следовательно:
1. Число микросостояний и фазовый объем системы увеличиваются экспоненциально с ростом энтропии согласно
. (2.13а)
Чем больше микросостояний, тем меньше информации о системе. Увеличение энтропии означает уменьшение информации о системе и увеличение ее хаотичности. Для контроля и управления необходимо снижать энтропию системы.
2. Чем ниже температура, тем быстрее уменьшается энтропия с понижением энергии системы согласно (2.14а). Для лучшей контролируемости системы нужно снижать ее температуру и использовать переходы с малой энергией.
ПРИМЕР 1
Атом массой m с энергией e находится в объеме V, все точки и направления объема равноправны. Найти энергетическую плотность состояний. Получить температуру и давление, создаваемые фазовым ансамблем. Рассмотреть случай, когда в объеме находятся N атомов идеального газа.
Гамильтониан атома 
, система изолирована, тогда 
,
.
Фазовый ансамбль находится в импульсном пространстве на сфере радиусом
.
Микросостояния фазового ансамбля отличаются направлениями вектора импульса. Число микросостояний, или фазовый объем внутри гиперповерхность 
:
при 
, 
. (2.2а)
Учтена независимость импульса от координат при отсутствии внешнего поля. Для плотности состояний
(2.9а)
получаем
. (П.2.5)
Плотность состояний классической частицы пропорциональна корню квадратному из энергии и объему, доступному для частицы.
Из (2.14)
находим
. (П.2.6)
Температура пропорциональна энергии частицы.
При
,
.
Из
, (2.12)
, (2.2а)
, (П.2.5)
, (П.2.6)
получаем давление, создаваемой фазовым ансамблем, соответствующим одной частице:
.
Получили уравнение идеального газа 
.
Частный случай – азот N2
При
, 
,
получаем
, 
.
На интервале энергии 
находятся 
уровней, следовательно, классический газ имеет квазинепрерывный спектр.
Для N частиц с полной энергией E радиус сферы в импульсном пространстве
.
Для объема импульсного пространства в виде шара размерностью 
используем
, (П.2.1)
получаем
,
,
– температура пропорциональна средней э нергии частицы.
Давление
удовлетворяет уравнению идеального газа .
ПРИМЕР 2
Система из N независимых одномерных гармонических осцилляторов имеет полную энергию Е. Найти энергетическую плотность состояний и температуру системы Т.
Гамильтониан системы
.
С учетом 
получаем
– уравнение эллипсоида в 2 N- мерном пространстве,
N полуосей 
,
N полуосей 
,
.
Объем эллипсоида находим из (П.2.1а)
.
Число микросостояний
,
где 
; 
– интервал эквидистантного спектра осциллятора, квант энергии.
Из (2.9а)
получаем энергетическую плотность состояний
.
Из (2.14)
находим
, 
.
Средняя энергия осциллятора
.
