Уравнение состояния газа 
описывает гиперповерхность 
в фазовом пространстве, на которой находятся микросостояния идеального газа с фиксированными значениями E, V, N. Интегрируем (2.9)
,
и выражаем число микросостояний 
внутри гиперповерхности через энергетическую плотность состояний
.
Учитываем (2.8) и (2.10)
,
,
находим
.
Переставляем порядок интегрирований и получаем число микросостояний внутри гиперповерхности
.
Варьируем 
по объему при постоянной энергии. От объема зависит гамильтониан, тогда
,
.
Учитываем симметрию величин в аргументе дельта-функции и заменяем
,
получаем
.
При вычислении внутреннего интеграла учтено
,
на нижнем пределе 
, поскольку 
. Используем (2.10а) в виде
,
тогда
.
По определению среднего для распределения 
получаем
. (2.11)
Внутренняя энергия U
Полная энергия описывается гамильтонианом системы H, и включает кинетическую и потенциальную энергию всех частиц системы. В общем случае эта энергия флуктуирует на микроскопическом уровне. При усреднении по фазовому ансамблю получаем макрохарактеристику – внутреннюю энергию
.
Внутренняя энергия является полной энергией системы, усредненной по фазовому ансамблю.
Давление Р
Давление равно средней силе, действующей со стороны газа на единицу площади стенки сосуда. Давление выражаем через внутреннюю энергию изолированной системы с помощью первого начала термодинамики.
Первое начало термодинамики связывает количества тепла 
, переданное газу, с изменением его внутренней энергии 
и совершенной им работой 
,
где
.
Для изолированной системы
,
,
.
Используем
. (2.11)
В результате давление выражается через статистические характеристики микросостояний
. (2.12)
Энтропия S
Для равновесного обратимого изотермического процесса изменение энтропии пропорционально количеству полученного тепла
.
Вычисляем
,
где учтено (2.12) и
. (2.9а)
Используем первое начало термодинамики для равновесного процесса
,
получаем
.
Сравниваем сомножители бесконечно малой величины между собой
,
и сомножители конечной величины между собой
,
где k – постоянная. В результате
, (2.13)
, (2.13а)
. (2.14)
При рассмотрении конкретных систем и сравнении результатов с формулами термодинамики будет показано, что k – постоянная Больцмана, тогда kT – тепловая энергия.
Из (2.13) получаем – энтропия пропорциональна логарифму числа микросостояний.
Из (2.14) находим – число микросостояний равно произведению энергетической плотности состояний на тепловую энергию. Следовательно, микросостояния создаются за счет тепловой энергии.
