Ћекции.ќрг


ѕоиск:




 атегории:

јстрономи€
Ѕиологи€
√еографи€
ƒругие €зыки
»нтернет
»нформатика
»стори€
 ультура
Ћитература
Ћогика
ћатематика
ћедицина
ћеханика
ќхрана труда
ѕедагогика
ѕолитика
ѕраво
ѕсихологи€
–елиги€
–иторика
—оциологи€
—порт
—троительство
“ехнологи€
“ранспорт
‘изика
‘илософи€
‘инансы
’ими€
Ёкологи€
Ёкономика
Ёлектроника

 

 

 

 


Ќормальное распределение случайной величины




¬ теории веро€тностей рассматриваетс€ достаточно большое количество разнообразных законов распределени€. ƒл€ решени€ задач, св€занных с построением контрольных карт, представл€ют интерес лишь некоторые из них. ¬ажнейшим из них €вл€етс€ нормальный закон распределени€, который примен€етс€ дл€ построени€ контрольных карт, используемых при контроле по количественному признаку, т.е. когда мы имеем дело с непрерывной случайной величиной. Ќормальный закон распределени€ занимает среди других законов распределени€ особое положение. Ёто объ€сн€етс€ тем, что, во-первых, наиболее часто встречаетс€ на практике, и, во-вторых, он €вл€етс€ предельным законом, к которому приближаютс€ другие законы распределени€ при весьма часто встречающихс€ типичных услови€х. „то касаетс€ второго обсто€тельства, то в теории веро€тностей доказано, что сумма достаточно большого числа независимых (или слабо зависимых) случайных величин, подчиненных каким угодно законам распределени€ (при соблюдении некоторых весьма нежестких ограничений), приближенно подчин€етс€ нормальному закону, и это выполн€етс€ тем точнее, чем большее количество случайных величин суммируетс€. Ѕольшинство встречающихс€ на практике случайных величин, таких, например, как ошибки измерений, могут быть представлены как сумма весьма большего числа сравнительно малых слагаемых - элементарных ошибок, кажда€ из которых вызвана действием отдельной причины, независ€щей от остальных. Ќормальный закон про€вл€етс€ в тех случа€х, когда случайна€ переменна€ €вл€етс€ результатом действи€ большого числа различных факторов.  аждый фактор в отдельности на величину вли€ет незначительно, и нельз€ указать, какой именно вли€ет в большей степени, чем остальные.

Ќормальное распределение (распределение ЋапласаЦ√аусса) Ц распределение веро€тностей непрерывной случайной величины такое, что плотность распределени€ веро€тностей при - ¥ <х< + ¥ принимает действительное значение:

ехр (3)

“о есть, нормальное распределение характеризуетс€ двум€ параметрами m и s, где m - математическое ожидание; s- стандартное отклонение нормального распределени€.

¬еличина s 2 Ц это дисперси€ нормального распределени€.

ћатематическое ожидание m характеризует положение центра распределени€, а стандартное отклонение s (— ќ) €вл€етс€ характеристикой рассеивани€ (рис. 3).

f(x) f(x)

 
 

 

 


–исунок 3 Ц ‘ункции плотности нормального распределени€ с:

а) разными математическими ожидани€ми m; б) разными — ќ s.

 

“аким образом, значением μ определ€етс€ положением кривой распределени€ на оси абсцисс. –азмерность μ - та же, что и размерность случайной величины X. — ростом математического ожидани€ mобе функции сдвигаетс€ параллельно вправо. — убывающей дисперсией s 2 плотность все больше концентрируетс€ вокруг m, в то врем€ как функци€ распределени€ становитс€ все более крутой.

«начением σ определ€етс€ форма кривой распределени€. ѕоскольку площадь под кривой распределени€ должна всегда оставатьс€ равной единице, то при увеличении σ крива€ распределени€ становитс€ более плоской. Ќа рис. 3.1 показаны три кривые при разных σ: σ1 = 0,5; σ2 = 1,0; σ3 = 2,0.

–исунок 3.1 Ц ‘ункции плотности нормального распределени€ с разными — ќ s.

 

‘ункци€ распределени€ (интегральна€ функци€) имеет вид (рис. 4):

(4)

 

 

–исунок 4 Ц »нтегральна€ (а) и дифференциальна€ (б) функции нормального распределени€

ќсобенно важно то линейное преобразование нормально распределенной случайной переменной , после которого получаетс€ случайна€ переменна€ Z с математическим ожиданием 0 и дисперсией 1. “акое преобразование называетс€ нормированием:

(5)

≈го можно провести дл€ каждой случайной переменной. Ќормирование позвол€ет все возможные варианты нормального распределени€ свести к одному случаю: m = 0, s = 1.

Ќормальное распределение с m = 0, s = 1 называетс€ нормированным нормальным распределением (стандартизованным).

—тандартное нормальное распределение (стандартное распределение ЋапласаЦ√аусса или нормированное нормальное распределение) Ц это распределение веро€тностей стандартизованной нормальной случайной величины Z, плотность распределени€ которой равна:

ехр (6)

при - ¥ < z < + ¥

«начени€ функции ‘(z) определ€етс€ по формуле:

(7)

«начени€ функции ‘(z) и плотности ф(z) нормированного нормального распределени€ рассчитаны и сведены в таблицы (табулированы). “аблица составлена только дл€ положительных значений z поэтому:

‘ ( Ц z) = 1 Ц ‘ (z) (8)

— помощью этих таблиц можно определить не только значени€ функции и плотности нормированного нормального распределени€ дл€ заданного z, но и значени€ функции общего нормального распределени€, так как:

; (9)

. 10)

¬о многих задачах, св€занных с нормально распределенными случайными величинами, приходитс€ определ€ть веро€тность попадани€ случайной величины , подчиненной нормальному закону с параметрами m и s, на определенный участок. “аким участком может быть, например, поле допуска на параметр от верхнего значени€ U до нижнего L.

¬еро€тность попадани€ в интервал от х 1 до х 2можно определить по формуле:

(11)

“аким образом, веро€тность попадани€ случайной величины (значение параметра) в поле допуска определ€етс€ формулой

(12)

ћожно найти веро€тность того, что случайна€ переменна€ окажетс€ в пределах μ k s. ѕолученные значени€ дл€ k =1,2 и 3 следующие (также смотрим рис. 5):

 

 
 

 

 


–исунок 5 Ц Ќормальный закон распределени€

ћежду 3 σ-границами (μ -3 σ;μ +3 σ) находитс€ 99,73% всех наблюдений, т. е. практически все значени€. “олько 0,27% значений наход€тс€ за этими границами, а именно 0,135% за границей μ +3 σ и 0,135% Ц за μ -3 σ:

 

√раницы „исло наблюдений между границами, %
μЦs, μ+s μЦ 2 s, μ+ 2 s μЦ 3 s, μ+ 3 s 68,26 95,44 99,73

 

“аким образом, если какое-либо значение по€вл€етс€ за пределами трехсигмового участка, в котором наход€тс€ 99,73% всех возможных значений, а веро€тность по€влени€ такого событи€ очень мала (1:270), следует считать, что рассматриваемое значение оказалось слишком маленьким или слишком большим не из-за случайного варьировани€, а из-за существенной помехи в самом процессе, способной вызывать изменени€ в характере распределени€.

”часток, лежащий внутри трехсигмовых границ, называют также областью статистического допуска соответствующей машины или процесса.

 





ѕоделитьс€ с друзь€ми:


ƒата добавлени€: 2016-12-06; ћы поможем в написании ваших работ!; просмотров: 2929 | Ќарушение авторских прав


ѕоиск на сайте:

Ћучшие изречени€:

¬ы никогда не пересечете океан, если не наберетесь мужества потер€ть берег из виду. © ’ристофор  олумб
==> читать все изречени€...

2078 - | 1910 -


© 2015-2024 lektsii.org -  онтакты - ѕоследнее добавление

√ен: 0.01 с.