Краткие сведения из теории вероятностей и математической статистики

 

Основные понятия теории вероятностей

В процессе производства невозможно точно соблюсти заданную величину параметра и показателя качества продукции. Качество сырья, настройка станков, квалификация оператора и другие существенные для производства факторы подвержены случайным колебаниям, которые в конечном счете влияют на качество продукции, а это, в свою очередь, вызывает рассеяние значений параметров качества. То есть, любой контролируемый параметр по своей природе является случайной величиной, поскольку он может принимать то или иное значение, заранее неизвестное.

Изучением случайных величин занимаются теория вероятностей и математическая статистика.

Случайная величина – переменная, которая может принимать любое значение из заданного множества значений и с которой связано распределение вероятностей (здесь и в дальнейшем определения взяты из СТ РК ГОСТ Р 50779.10-2003).

Случайные величины могут принимать дискретные и непрерывные значения.

Случайную величину, которая может принимать только отдельные значения, называют дискретной (например, число несоответствий или число несоответствующих единиц).

Случайную величину, которая может принимать любые значения из конечного или бесконечного интервала, называют непрерывной (например, значения показателей качества продукции).

Все случайные величины подчиняются определенным закономерностям, называемым законами распределения.

Законом распределения случайной величины называется соотношение, устанавливающее связь между возможными значениями случайной величины и соответствующими им вероятностями. Сумма вероятностей всех возможных значений случайной величины равна единице. Эта суммарная вероятность каким-то образом распределена между отдельными значениями, что полностью определяется законом распределения. Законы распределения могут быть представлены в аналитической, табличной или графической формах. Законы распределения имеют большое прикладное значение в различных областях человеческой деятельности и, в частности, в области промышленного производства для решения задач, связанных с обеспечением качества продукции.

Для описания дискретных случайных величин используют распределение вероятностей.

Распределение вероятностей – это функция, определяющая вероятность того, что случайная величина примет какое-либо заданное значение или будет принадлежать заданному множеству значений.

Распределение вероятностей имеет смысл только для дискретных случайных переменных, так как вероятность появления отдельного значения непрерывной случайной величины равна нулю.

Для описания как дискретных, так и непрерывных случайных величин используют функцию распределения.

Функция распределения – функция, задающая для любого значения х вероятность того, что случайная величина Х меньше или равна х:

(1)

По определению, функция распределения равна вероятности, с которой случайная величина Х принимает значения, меньше или равные х (вероятности достижения х).

Если функция распределения непрерывной случайной переменной дифференцируема, то первая производная от нее называется плотностью распределения случайной переменной Х:

(2)

Плотность распределения обладает следующими свойствами:

1)

2)

В теории вероятностей рассматривается достаточно большое количество разнообразных законов распределения. В обеспечении качества продукции наибольшее распространение получили: нормальное распределение (распределение Лапласа–Гаусса) для описания непрерывных случайных величин, закон Пуассона и биномиальный закон для описания дискретных случайных величин.