Оценка и критика эпистемологии Брауэра

В настоящем разделе я хочу отдать дань уважения Л. Э. Я. Брауэру[16]. Было бы самонадеянным для меня хвалить и тем более самонадеянным критиковать Брауэра как математика. Однако, возможно, мне будет по­зволительно критиковать его эпистемологию и его фи­лософию интуиционистской математики. Я осмеливаюсь на это только в надежде сделать вклад, каким бы он ни был маленьким, в прояснение и дальнейшее разви­тие идей Брауэра.

В своей лекции 1912 года Брауэр начинает с Канта. Он говорит, что в свете неевклидовой геометрии интуи­ционистская философия геометрии Канта, то есть его концепция чистой интуиции пространства, должна быть отброшена. Однако, говорит Брауэр, нет необходимости делать это, так как мы можем арифметизировать гео­метрию: мы можем прямо основываться на кантовской теории арифметики и на его концепции, что арифмети­ка опирается на чистую интуицию времени.

Я чувствую, что эта позиция Брауэра больше не мо­жет быть принята. Ибо если мы говорим, что кантовская теория пространства сокрушена, перечеркнута не­евклидовой геометрией, тогда мы должны сказать, что его теория времени сокрушена специальной теорией от­носительности, так как Кант говорит совершенно явно, что имеется только одно время и что интуитивная идея (абсолютной) одновременности является решающим аргументом в этом отношении[17].

Можно было бы утверждать, подобно тому, как это делал Гейтинг[18], что Брауэр не смог бы развить свои эпистемологпческие и философские идеи об интуицио­нистской математике, если бы знал в то время об ана­логии между эйнштейновской релятивизацией времени и неевклидовой геометрией. Перефразируя Гейтинга, можно сказать, что это было бы печально.

Однако маловероятно, что на Брауэра оказала сильное впечатление специальная теория относитель­ности. Он мог бы отказаться ссылаться на Канта как на предшественника своего интуиционизма. Но он мог бы сохранить свою собственную теорию личного време­ни—времени нашего собственного личного и непосред­ственного опыта (см. [8]). И это никоим образом не. произошло под воздействием понятия относительности, хотя кантовская теория подверглась подобному воздей­ствию.

Таким образом, нет необходимости рассматривать Брауэра как кантианца. Однако мы не можем так лег­ко обособлять его от Канта, ибо идея интуиции у Брауэ­ра и использование им термина «интуиция» не могут быть полностью поняты без анализа такой его пред­посылки, как кантовская философия.

Для Канта интуиция есть источник знания. И «чис­тая» интуиция («чистая интуиция пространства и вре­мени») является неисчерпаемым источником знания: из нее берет начало абсолютная уверенность. Это есть са­мое важное для понимания идей Брауэра, который яв­но заимствует у Канта эту эпистемологическую кон­цепцию.

Данная концепция имеет свою историю. Кант взял ее у Плотина, Фомы Аквинского, Декарта и др. Перво­начально интуиция означает, конечно, восприятие: это есть то, что мы видим или воспринимаем, если смотрим на некоторый объект или пристально его рассматриваем. Однако начиная по крайней мере уже с Плотина, раз­рабатывается противоположность между интуицией, с одной стороны, и дискурсивным мышлением—с другой. В соответствии с этим интуиция есть божественный спо­соб познания чего-нибудь лишь одним взглядом, в один миг, вне времени, а дискурсивное мышление есть чело­веческий способ познания, состоящий в том, что мы в ходе некоторого рассуждения, которое требует време­ни, шаг за шагом развертываем нашу аргументацию.

Кант защищает (направленную против Декарта) концепцию, состоящую в том, что мы не владеем спо­собностью интеллектуальной интуиции и что по этой причине наш интеллект, наши понятия остаются пус­тыми или аналитическими, если они в действительности не применены к материалу, который поставляют нам наши чувства (чувственная интуиция), или если они не являются понятиями, сконструированными в нашей чистой интуиции пространства и времени [19]. Только та­ким путем мы можем получить синтетическое знание a priori: наш интеллект в его существенных чертах дискурсивен, он обязательно должен действовать в согла­сии с логикой, которая является пустой по своему со­держанию, то есть «аналитической».

Согласно Канту, чувственная интуиция предполагает чистую интуицию: наши чувства не могут делать свою работу, не упорядочивая свои восприятия в рамках пространства и времени. Таким образом, пространство и время предшествуют всей чувственной интуиции; тео­рии пространства и времени—геометрия и арифмети­ка — также верны a priori. Источник их априорной верности есть человеческая способность чистой интуи­ции, которая строго ограничена лишь этой областью и четко отличается от интеллектуального или дискурсив­ного способа мышления.

Кант защищает концепцию, что аксиомы математики основываются на чистой интуиции (см. [31, с. 613]): они могут быть «увидены» или «восприняты» в качестве истинных нечувственным способом «видения» или «вос­приятия». Кроме того, чистая интуиция участвует в каждом шаге каждого доказательства в геометрии (и в. математике вообще)[20]. Чтобы следить за доказатель­ством, нам требуется глядеть на (нарисованный) чер­теж. Это «смотрение» является не чувственной, а чис­той интуицией, о чем свидетельствует то, что чертеж часто может быть убедительным, даже если будет изображен в довольно грубой манере, а также то, что рисунок треугольника может выступать для нас (в одном рисунке) в виде бесконечного количества возможных вариантов треугольников всех форм и размеров.

Аналогичные рассуждения справедливы и для ариф­метики, которая, согласно Канту, основывается на сче­те—процессе, в свою очередь основывающемся, по су­ществу, на чистой интуиции времени.

Эта теория источников математического знания в своей кантовской форме порождает серьезные труд­ности. Даже если мы примем, что все сказанное Кан­том правильно, мы не можем уйти от трудных про­блем, ибо евклидова геометрия, независимо от того, использует она чистую интуицию или нет, несомненно, опирается на интеллектуальную аргументацию, логиче­скую дедукцию. Невозможно отрицать, что математика оперирует дискурсивным мышлением. Ход рассуждении Евклида осуществляется шаг за шагом во всех сужде­ниях и во всех книгах: он не постигается в одно-единственное интуитивное мгновение. Даже если мы допу­стим (ради аргументации) необходимость наличия чис­той интуиции в каждом отдельном шаге рассуждении без исключения (а это допущение для современных людей трудно сделать), ступенчатая, дискурсивная и логическая процедура выводов Евклида настолько без­ошибочна и хорошо известна в целом, найдя подражателей в лице Спинозы и Ньютона, что трудно подумать о том, что Кант мог игнорировать это. Фактически Кант знал все это, вероятно, так же, как любой дру­гой. Однако указанная позиция довлела над ним (1) в силу структуры «Критики чистого разума», в которой «Трансцендентальная эстетика» предшествует «Транс­цендентальной логике», и (2) в силу его четкого раз­личения (я должен сказать, что это четкое различение несостоятельно) между интуитивным и дискурсивным мышлением. Распространена точка зрения, что кантовское исключение дискурсивных аргументов из геометрии и арифметики—не просто пробел, а противоречие.

То, что это не соответствует действительности, было показано Брауэром, который заполнил данный пробел. Я имею в виду теорию Брауэра об отношении между математикой, с одной стороны, и языком и логикой — с другой.

Брауэр решил данную проблему тем, что провел четкое различение между математикой как таковой и ее лингвистическим выражением и ее коммуникативной функцией. Математику саму по себе он рассматривал как внелингвистическую деятельность, по существу, деятельность мысленного конструирования на основе нашей чистой интуиции времени. Посредством такого конструирования мы создаем в нашей интуиции, в на­шем уме объекты математики, которые впоследствии— после их создания — мы можем попытаться описать или сообщить о них другим. Таким образом, лингвистиче­ское описание и дискурсивная аргументация со своей логикой появляются, в сущности, после математической деятельности: они всегда имеют место только тогда, когда объекты математики—такие, как доказатель­ство, — уже созданы.

Подход. Брауэра решает проблему, которую мы об­наружили в кантовской «Критике чистого разума». То, что на первый взгляд выступает противоречием у Кан­та, упраздняется самым оригинальным способом посред­ством концепции, согласно которой мы должны четко различать два уровня: один уровень — интуитивный, мысленный и присущ математическому мышлению, дру­гой — дискурсивный, лингвистический и присущ только коммуникации.

Подобно любой великой теории, ценность этой тео­рии Брауэра проявляется в ее продуктивности. Она од­ним усилием решает три группы крупных проблем фи­лософии математики.

(1) Эпистемологические проблемы об источнике ма­тематической достоверности, природы математических данных и природы математического доказательства. Эти проблемы соответственно решены с помощью кон­цепции интуиции как источника знания, концепции о том, что мы можем интуитивно видеть математические объекты, которые конструируем, и концепции о том, что математическое доказательство является последо­вательным конструированием или построением конст­рукций.

(2) Онтологические проблемы о природе математи­ческих объектов и способе их существования. Эти про­блемы были решены Брауэром посредством выдвиже­ния концепции, которая имела два аспекта: с одной сто­роны, конструктивизм, а с другой стороны, — ментализм. Согласно ментализму, все математические объек­ты находятся в той сфере, которую я называю «вторым миром». Математические объекты—это конструкции че­ловеческого ума, и они существуют единственно как конструкции в человеческом уме. Их объективность, то есть то, что они суть объекты и что они существуют объективно, всецело опирается на возможность повто­рения их конструирования по нашему желанию.

Таким образом, Брауэр в своей лекции 1912 года предполагал, что для интуициониста математические объекты существуют в человеческом уме, в то время как для формалиста они существуют «на бумаге»[21].

(3) Методологические проблемы о математических доказательствах.

Мы можем упрощенно различать два главных под­хода ученых к математике. Одни математики могут интересоваться главным образом теоремами—истин­ностью или ошибочностью математических суждений, другие—главным образом доказательствами: вопроса­ми существования доказательств той или иной теоремы и спецификой таких доказательств. Если преобладаю­щим является первый подход (как это имеет место, например, в случае с Пойя), тогда он обычно связан с интересом в открытии математических «фактов» и по­этому с платонизированной математической эвристикой. Если же преобладающим выступает второй подход, тог­да доказательства являются не просто средствами фор­мирования уверенности в теоремах о математических объектах, а самостоятельными математическими объ­ектами. Как мне кажется, так обстояло дело с Брауэ-ром: те построения, которые были доказательствами, не только создавали и утверждали математические объек­ты, они были в то же время сами математическими объектами, возможно даже наиболее важными такими объектами. Таким образом, утверждать некоторую тео­рему означало утверждать существование некоторого доказательства для нее и отрицать ее означало утверждать существование опровержения, то есть доказатель­ства ее абсурдности. Это непосредственно ведет к от­брасыванию Брауэром закона исключенного третьего, к его отрицанию косвенных доказательств и к требова­нию, что существование может быть доказано только реальным построением рассматриваемых математиче­ских объектов, то есть изображением их, так сказать, ви­димыми.

Это также ведет к отрицанию Брауэром «платониз­ма», под которым мы понимаем учение, согласно кото­рому математические объекты обладают тем, что я на­зываю «автономным» способом существования: они. могут существовать, не будучи созданными нами и,. следовательно, без доказательства своего существова­ния.

До сих пор я пытался понять брауэровскую эписте-мологию, исходя из предположения прежде всего, что она проистекает из попытки решить трудности филосо­фии математики Канта. Теперь я перейду к тому, что содержится в названии данного раздела, — к оценке и критике брауэровской эпистемологии.

Исходя из положений настоящего доклада, можно утверждать, что одним из великих достижений Брауэра, по моему мнению, является его понимание того, что математика и, как я могу добавить, весь третий мир созданы человеком.

Эта идея является настолько радикально антиплато­новской, что Брауэр, понятно, не видел возможности ее связи с некоторой формой платонизма, под которой я имею в виду концепцию частичной автономии матема­тики и ретьего мира в том виде, как она описана вы­ше, в разд. 3.

Другим великим достижением Брауэра в философ­ском плане был его антиформализм—признание им того, что математические объекты должны существо­вать до того, как мы можем говорить о них.

Позвольте теперь мне вернуться к критике брауэровского решения трех групп главных проблем философии математики, сформулированных ранее в данном раз­деле.

(1) Эпистемологические проблемы: интуиция в це­лом и теория времени в частности.

Я не предлагаю заменить название «интуиционизм». Это название, без сомнения, сохранится, но нам важно отказаться от ошибочной философии интуиции как не­погрешимого источника знания.

Не существует авторитетных источников знания, и ни один «источник» не является абсолютно надеж­ным[22] Все приветствуется как источник вдохновения, стимулирования, включая «интуицию», особенно если она предлагает нам новые проблемы. Однако ничто не является несомненным, и все мы подвержены ошибкам.

К тому же следует подчеркнуть, что кантовское чет­кое различение между интуицией и дискурсивным мыш­лением не может быть нами принято. «Интуиция», ка­кой бы она ни была, в значительной степени является продуктом нашего культурного развития и наших успе­хов в дискурсивном мышлении. Кантовская идея об од­ним стандартном типе чистой интуиции, присущем всем нам (по всей вероятности, только не животным, хотя их перцептуальные возможности сходны с человечески­ми), едва ли может быть принята. Ибо после того как мы овладели дискурсивным мышлением, наше интуи­тивное понимание становится весьма отличным от того, что было у нас прежде.

Все сказанное справедливо и в отношении нашей ин­туиции времени. Я лично считаю сообщение Уорфа о чрезвычайно специфической интуиции времени индей­цев племени хопи (см. [55]) убедительным. Однако даже если это сообщение ошибочно (что, я думаю, ма­ловероятно), оно свидетельствует о возможностях, кото­рые ни Кант, ни Брауэр никогда не рассматривали. Если Уорф прав, тогда наше интуитивное понимание времени, то есть способ, которым мы «видим» времен­ные отношения, частично зависит от нашего языка, на­ших теорий и мифов, включенных в язык, иначе гово­ря - наша европейская интуиция времени в значитель­ной степени обусловлена греческим происхождением нашей цивилизации с его акцентом на дискурсивное мышление.

В любом случае наша интуиция времени может ме­няться с изменением наших теорий. Интуиции Ньюто­на, Канта и Лапласа отличаются от интуиции Эйн­штейна, и роль времени в физике элементарных частиц отличается от роли времени в физике твердого» тела, особенно в оптике. В то время как физика эле­ментарных частиц утверждает о существовании лезвиеподобного непротяженного мгновения, «punctum temporis», которое отделяет прошлое от будущего, и тем самым существование временной координаты, образо­ванной из (континуума) непротяженных мгновении, а в конечном итоге мира, «состояние» которого может быть задано для любого такого непротяженного мгновения, ситуация в оптике совершенно другая. Подобно тому как существуют пространственно протяженные растры в оптике чьи части взаимодействуют на значительном пространственном расстоянии, так существуют и протя­женные во времени события (волны, обладающие часто­тами), чьи части взаимодействуют в течение значитель­ного промежутка времени. Поэтому в силу законов, оптики в физике не может быть какого-либо состояния мира в некоторый момент времени. Эта аргументация должна дать и действительно дает совершенно другое понимание нашей интуиции: то, что называлось неопре­деленным психологическим даром, не является ни не­определенным, ни характерным только для психологии, интуиция подлинна и имеет место уже в физике[23].

Таким образом, не только общая концепция интуи­ции как непогрешимого источника знания является ми­фом, но и наша интуиция времени подвержена критике и исправлению - точно таким же образом, как, согласно брауэровскому допущению, это происходит с нашей интуицией пространства.

В главном пункте этих своих рассуждении я обязан философии математики Лакатоса. Этот пункт состоит в том что математика (а не только естественные науки) растет благодаря критике догадок и выдвижению смелых неформальных доказательств, а это предполагает лингвистическую формулировку таких догадок и доказательств и поэтому определение их статус, в третьем мире. Язык, являясь вначале простго средством коммуникативного описания долингвистических объектов, превращается в силу этого в существенную часть научной деятельности, даже в математике, которая в свою очередь становится частью третьего мира. В язы­ке тем самым существуют слои, или уровни (независи­мо от того, формализованы они в иерархию метаязыков или нет).

Если бы интуиционистская эпистемология была бы права, то вопрос о математической компетентности не составлял бы проблемы. (И если бы кантовская теория была бы права, то непонятно, почему мы, а точнее, Платон и его школа, должны были так долго ждать Евклида[24].) Однако эта проблема существует, так как даже весьма компетентные математики-интуиционисты могут не соглашаться между собой по некоторым трудным вопросам[25]. Для нас нет необходимости иссле­довать, какая сторона в этом споре права. Достаточно указать, что раз интуиционистское конструирование подвергается критике, то рассматриваемая проблема может быть решена лишь путем существенного исполь­зования аргументативной функции языка. Конечно, кри­тическое использование языка, по существу, не предпи­сывает нам использовать аргументы, запрещенные ин­туиционистской математикой (хотя и здесь существует проблема, как будет показано ниже). Моя точка зре­ния в данный момент заключается просто в следую­щем: раз допустимость предложенного интуиционизмом математического конструирования может быть подверг­нута сомнению, и, конечно, оно действительно подвер­гается сомнению, то язык выступает более чем просто средством коммуникации, без которого можно в прин­ципе обойтись: он является необходимым средством критического обсуждения, дискуссии. Соответственно этому он не представляет собой только интуиционист­ской конструкции, «которая объективна в том смысле, что она не связана с тем субъектом, который ее со­здаст» [34, с. 173]. На самом деле объективность даже интуиционистской математики опирается, как это про­исходит во всех науках, на критикуемость ее аргументации. Это же означает, что язык является необходимым как способ аргументации, как способ критической дискуссии [33].

Сказанное поясняет, почему я считаю ошибочным субъективистскую эпистемологию Брауэра и философ­ское оправдание его интуиционистской математики. Су­ществует процесс взаимного обмена между конструи­рованием, критикой, «интуицией» и даже традицией, и этот процесс не учитывался Брауэром.

Однако я готов допустить, что даже в своем оши­бочном взгляде на статус языка Брауэр частично прав. Хотя объективность всех наук, включая математику, неотделимо связана с их критикуемостью и тем самым с их лингвистическим формулированием, Брауэр был прав тогда, когда активно выступал против идеи рас­сматривать математику лишь как формальную языко­вую игру или, другими словами, считать, что не суще­ствует таких вещей, как внелингвистические математи­ческие объекты, то есть мысли (или, более точно, с моей точки зрения, содержание мышления). Он настаи­вал на том что беседа на математические темы являет­ся беседой об этих объектах, и в этом смысле матема­тический язык выступает вторичным образованием по отношению к этим объектам. Однако это вовсе не озна­чает что мы можем конструировать математику без языка: не может быть никакого конструирования без постоянного критического контроля и никакой критики без выражения наших конструктов в лингвистической форме и обращения с ними как с объектами третьего мира. Хотя третий мир не идентичен миру лингвистических форм он возникает вместе с аргументативной функцией языка то есть является побочным продуктом языка. Это объясняет, почему, раз наши конструкции делаются проблематичными, систематизированными и аксиоматизированными, язык может сделаться также проблематичным и почему формализация может сделаться отраслью математического конструирования.

Именно это я думаю, имеет в виду Майхилл, когда он говорит, что "наши формализации исправляют наши ин туиции, в то еремя как наши интуиции формируют наши формализации» [37, с. 175] (курсив мой). То что делает это высказывание заслуживающим цитирования, состоит в том, что оно, будучи сделанным в связи с брауэровской концепцией интуиционистского доказательства, в действительности помогает исправлению брауэровской эпистемологии.

(2') Онтологические проблемы. То, что объекты ма­тематики обязаны своим существованием отчасти язы­ку, иногда понималось самим Брауэром. Так, он писал в 1924 году: «Математика основывается («Der Mathematik liegt zugrunde») на бесконечной последователь­ности знаков или символов («Zeichcn») или на конечной последовательности символов...» [6, с. 244]. Это не следует понимать как допущение приоритета языка: без сомнения, ключевым термином здесь является «по­следовательность», а понятие последовательности осно­вывается на интуиции времени и на конструировании, опирающемся на эту интуицию. Однако это утвержде­ние показывает, что Брауэр знал о том, что для осуще­ствления конструирования требуются знаки и символы. Моя точка зрения состоит в том, что дискурсивное мыш­ление (то есть последовательность аргументов, выра­женных лингвистически) имеет огромное влияние на наше осознание времени и на развитие нашей интуиции последовательного расположения. Это никоим образом не расходится с конструктивизмом Брауэра, но дей­ствительно расходится с его субъективизмом и ментализмом, ибо объекты математики могут теперь рассмат­риваться как граждане объективного третьего мира:

хотя содержание мышления первоначально построено нами (то есть третий мир возникает как продукт нашей деятельности), такое содержание обусловливает своп собственные непреднамеренные следствия. Натураль­ный ряд чисел, которые мы конструируем, создает про­стые числа, которые мы открываем, а они в свою оче­редь создают проблемы, о которых мы и не мечтали. Вот именно так становится возможным математическое открытие. Подчеркнем, что самыми важными математи­ческими объектами, которые мы открываем, самыми благодатными гражданами третьего мира являются именно проблемы и новые виды критических рассуж­дении. Таким образом, возникает некоторый новый вид математического существования—проблемы, новый вид интуиции—интуиция, которая позволяет нам видеть проблемы и понимать проблемы до их решения (ср. брауэровскую центральную проблему континуума).

Гейтингом был прекрасно описан способ, которым язык и дискурсивное мышление взаимодействуют с бо­лее непосредственными интуитивными конструкциями (взаимодействие, разрушающее, между прочим, тот идеал абсолютной очевидной достоверности, которого, как предполагалось, достигает интуитивное конструиро­вание). Можно процитировать начало того отрывка из его работы, который не только стимулировал меня на дальнейшие исследования, но и поддержал мои размыш­ления: «Понятие интуитивной ясности в математике са­мо не является интуитивно ясным. Можно даже по­строить нисходящую шкалу степеней очевидности. Выс­шую степень имеют такие утверждения, как 2 + 2 = 4. Однако 1002 + 2 = 1004 имеет более низкую степень; мы доказываем это утверждение не фактическим подсче­том а с помощью рассуждения, показывающего, что вообще (n + 2) + 2 = п + 4... [Высказывания подобно это­му] уже имеют характер импликации: «Если построе­но натуральное число n, то можно осуществить кон­струкцию выражаемую равенством (n + 2) + 2 = n + 4» [26 с 225] «Степени очевидности» Гейтинга имеют в данный момент для нас второстепенный интерес, а бо­лее важным выступает прежде всего исключительно простой и ясный анализ Гейтингом необходимого взаи­модействия между интуитивным конструированием и его лингвистическим выражением, которое неизбежно приводит нас к дискурсивному и тем самым к логиче­скому рассуждению. Данный момент подчеркивается Гейтингом, когда он продолжает: «Эта степень может быть формализована в исчислении со свободно пере­менными» [26, с. 225].

Наконец следует сказать о взаимоотношении Брауэ­ра с математическим платонизмом. Автономия третьего мира несомненна, и поскольку это так, то брауэровское равенство «esse=construi» должно быть отброшено, по крайней мере в отношении проблем. Это, возможно, за­ставит нас заново пересмотреть проблему логики ин­туиционизма: не отбрасывая интуиционистских стандар­тов доказательства, следует подчеркнуть, что для кри­тического рационального обсуждения важно четко раз­личать между тезисом и очевидными свидетельствами в его пользу. Однако это различие разрушается интуиционистской логикой, которая возникает из смешения свидетельства (или доказательства) и утверждения, ко­торое должно быть доказано (см. выше разд. 5.4). (3-) Методологические проблемы. Первоначальным мотивом интуиционистской математики Брауэра была потребность в надежности, уверенности—поиски более верных, надежных методов доказательства, фактически непогрешимых методов. В этом случае, если вы хотите более надежных доказательств, вы должны более стро­го подходить к использованию демонстративной аргу­ментации: вы должны применять более слабые сред­ства, более слабые предположения. Брауэр ограничи­вается использованием логических средств, которые были слабее, чем средства классической логики[26]. До­казать теорему более слабыми средствами является (и всегда являлось) в значительной степени интересной задачей и одним из великих источников математических проблем. Этим и обусловлены интересы интуиционист­ской методологии.

Однако я полагаю, что сказанное справедливо лишь для доказательств. Для критики и опровержения мы не нуждаемся в слабой логике. В то время как органон доказательства может быть достаточно слабым, орга­нон критики должен быть очень сильным. В критике мы не должны быть ограничены тем, что то или иное доказательство невозможно, — мы ведь не утверждаем непогрешимость нашей критики и часто бываем удов­летворены, если можем показать, что некоторая теория имеет контринтуитивные следствия. В органоне критики слабость и экономия не являются добродетелями, ибо добродетель некоторой теории состоит в том, что она может противостоять сильной критике. (Поэтому, по-видимому, в критических дебатах, так сказать в метадебатах о жизненности интуиционистского конструиро­вания, возможно допускать использование классиче­ской логики.)