Логические отношения по истинности между простыми суждениями (логический квадрат)

Не всякие суждения, как и не всякие понятия, находятся в логических отношениях между собой. Аналогично тому, как существуют несравнимые понятия, существуют и логически несравнимые суждения. Считается, что в логических отношениях друг с другом могут находиться лишь суждения с одинаковой материей, то есть с одинаковыми субъектами и предикатами, на различающиеся по качеству и количеству.

Со времен средневековья существует традиция выражать логические отношения по истинности между простыми суждениями с помощью логического квадрата – схемы, устанавливающей отношения между четырьмя видами суждений: общеутвердительными (А), общеотрицательными (Е), частноутвердительными (I) и частноотрицательными (О).

Логический квадрат устанавливает 4 вида отношений между такими суждениями: подчинение, противоречие, противоположность и подпротивность.

1. Подчинение (субординация) – это отношение, которое существует между общими и частными суждениями одного качества: общее суждение подчиняет себе частное суждение, т. е. общеутвердительное суждение подчиняет себе частноутвердительное, а общеотрицательное – частноотрицательное. Общее суждение в данном случае называется подчиняющим, а частное – подчиненным.

Отношение подчинения фиксируют боковые стороны квадрата – правая и левая. Оно выражается в виде двух правил.

1) Из истинности подчиняющего суждения следует истинность подчиненного, но не наоборот.

Это означает, во-первых, что если истинно общеутвердительное суждение (например, «Все пингвины – птицы»), то истинным будет и подчиненное ему частноутвердительное суждение («Некоторые пингвины – птицы»). Здесь частноутвердительное суждение берется в неопределенном смысле («некоторые, а может быть, и все …»). В виде формулы данное правило можно выразить так: Аи → Iи.

Во-вторых, когда мы обращаемся к правой стороне квадрата, это означает, что если истинно общеотрицательное суждение (например, «Ни одно преступление не является проступком»), то истинным будет и подчиненное ему частноотрицательное суждение («Некоторые преступления не есть проступки»). Формула здесь будет следующая: Еи → Ои.

2) Из ложности подчиненного суждения следует ложность подчиняющего, но не наоборот.

Это означает, во-первых, что если ложно частноутвердительное суждение (например, «Некоторые россияне были на Луне»), то истинным будет и подчиняющее общеутвердительное суждение («Все россияне были на луне»). В виде формулы: Iл → Ал.

Во-вторых, это означает, что если ложно частноотрицательное суждение (например, «Некоторые преступления не подлежат уголовному наказанию»), то ложным автоматически окажется и общеотрицательное суждение («Ни одно преступление не подлежит уголовному наказанию»). Формула: Ол → Ел.

2. Противоречие (контрадикторность) – это отношение, которое изображается диагоналями квадрата, т. е. противоречат друг другу, во-первых, общеутвердительное и частноотрицательное суждения и, во-вторых, суждения общеотрицательное и частноутвердительное.

Правило противоречия звучит так: Если одно из противоречащих друг другу суждений истинно, то другое с необходимостью ложно, и наоборот.

Используя знак эквивалентности ↔ (подробнее об этом ниже), данное правило можно представить в виде четырех формул:

1) Аи ↔ Ол(если, например, истинно суждение «Все квадраты – прямоугольники», то суждение «Некоторые квадраты не являются прямоугольниками» ложно);

2) Ал ↔ Ои (если истинно, к примеру, суждение «Некоторые студенты нашей группы не готовы к семинару», то суждение «Все студенты нашей группы готовы к семинару» окажется ложным);

3) Еи ↔ Iл (из того, что истинно суждение «Ни один белый медведь не живет в Антарктиде», будет вытекать ложность суждения «Некоторые белые медведи живут в Антарктиде»);

4) Ел ↔ Iи (поскольку истинно, например, что «Некоторые свидетели по данному делу допрошены», постольку ложным будет суждение «Ни один свидетель по данному делу не допрошен»).

3. Противоположность (контрарность) – это отношение, фиксируемое верхней стороной квадрата, т. е. это отношение между общеутвердительным и общеотрицательным суждением. Противоположные суждения могут быть одновременно ложны, но не могут быть одновременно истинны. Отсюда следует правило:

Если одно из противоположных друг другу суждений истинно, то второе ложно, но не наоборот.

Формул здесь всего получается две:

1) Аи → Ел (если истинно суждение «Все люди смертны», то суждение «Ни один человек не является смертным» с необходимость ложно;

2) Еи → Ал (из того, что истинно «Ни одна латиноамериканская страна не является монархией», следует ложность того, что «Все латиноамериканские страны – монархии»).

4. Подпротивность ( она же субконтрарность, или частичная совместимость) – это отношение, фиксируемое нижней стороной квадрата, т. е. это отношение между частноутвердительным и частноотрицательным суждением. Подпротивные суждения могут быть одновременно истинными, но не могут быть одновременно ложными. Отсюда следует еще одно правило:

Если одно из подпротивных друг другу суждений ложно, то второе истинно, но не наоборот.

Формул здесь также оказывается две:

1) Iл → Ои (поскольку суждение «Некоторые мамонты выжили» ложно, постольку суждение «Некоторые мамонты не выжили» истинно);

2) Ол → Iи (если суждение «Некоторые студенты нашей группы не готовы к семинару» ложно, то суждение «Некоторые студенты нашей группы готовы к семинару» будет истинным).

 

 

Лекция 6. Логический анализ суждений (окончание)

1. Виды сложных суждений.

Сложное суждение – это суждение, образованное из двух и более простых суждений при помощи логических союзов.

Существует 4 вида логических союзов и, соответственно, 4 вида сложных суждений:

2) конъюнкция – «и»,

3) дизъюнкция – «или» (делится на строгую и нестрогую),

4) импликация – «если …, то …»,

5) эквивалентность – «если и только если …, то …»

Каждый из союзов соединяет между собой два и только два суждения. Однако каждое из соединяемых суждений может быть как простым, так и сложным, поэтому, в принципе, сложное суждение может включать в себя неограниченное число простых.

Разберем элементарные случаи – когда логический союз соединяет два простых суждения.

1. Соединительное (конъюнктивное) суждение.

Оно получается из двух простых суждений посредством логического союза «и». Например: «Сидоров совершил преступление и был осужден», «Вчера была отличная погода, и мы отправились за город». Если простые суждения обозначить как А и В, то формула соединительного суждения будет выглядеть как А&В или А٨В.

Его логическое свойство заключается в том, что оно истинно тогда, когда истинны оба составляющих его суждения (конъюнкта), и ложно во всех остальных случаях. Имея в виду, что каждый из конъюнктов может принимать как истинное значение («и»), так и ложное («л»), можно построить для этого вида суждений следующую таблицу истинности:

 

А	В	А٨В.
И	И	И
И	Л	Л
Л	И	Л
Л	Л	Л

 

Логический союз «и» может в языке выражаться различными грамматическими союзами: «а», «но», «однако», «несмотря на», «как …, так и …», «ни …, ни …» и др. Например, суждение «Несмотря на травму, лыжник продолжал борьбу за победу» будет символически выражаться той же формулой А٨В и его истинность будет определяться по этой же таблице (на основании истинности конъюнктов).

Кроме того, заметим, что логический союз «и», как и вообще логические союзы, может соединять любые суждения, в том числе весьма далекие по содержанию, типа: «Если дважды четыре, то Москва – большой город», «В огороде бузина, а в Киеве дядька». Отсутствие смысла не мешает таким суждениям с логической точки зрения быть истинными и ложными.

2. Разделительное (дизъюнктивное) суждение.

Существует два вида дизъюнкции – строгая (она же сильная, она же исключающая) и нестрогая (она же слабая, она же неисключающая).

В суждении строгой дизъюнкции используется логический союз «либо – либо»: «Приговор может быть либо обвинительным, либо оправдательным», «Я поеду в Москву либо поездом, либо самолетом». Если дизъюнкты – это А и В, то формула строгой дизъюнкции будет А ﻥ В.

Логическое свойство суждения строгой дизъюнкции: оно истинно, когда дизъюнкты имеют различную истинностную характеристику (то есть один из них истинен, а другой ложен), и оно ложно, когда дизъюнкты оба истинны или оба ложны.

В суждении нестрогой дизъюнкции используется логический союз «или» (в нормативных документах он часто обозначается как «и/или»): «Брат моей подруги художник или музыкант», «Завтра будет дождь или снег». Формула для нестрогой дизъюнкции обычно пишется как А۷В.

Дизъюнкты здесь не исключают друг друга, поэтому логическое свойство данного суждения иное: суждение нестрогой дизъюнкции истинно, если истинен хотя бы один дизъюнкт, и ложно, когда ложны оба дизъюнкта. Как видим, таблицы истинности двух дизъюнкций различаются одной первой строкой:

А	В	АﻥВ	А۷В
И	И	Л	И
И	Л	И	И
Л	И	И	И
Л	Л	Л	Л

 

3. Условное (импликативное) суждение.

Это суждение, в котором используется логический союз «если … то …», например, «Если подсудимый невиновен, то его оправдают», «Если у человека высокая температура, то он болен», «Если Иванов – хирург, то он врач». Его формула: А→В, причем суждение, следующее за словом «если» называется антецедентом (основанием) импликации, а суждение, следующее за словом «то» – консеквентом (следствием) импликации.

Логические свойство условного суждения таково: оно ложно только в одном случае, а именно когда основание его истинно, а следствие ложно, и истинно в остальных случаях, включая и те, когда его основание ложно. Это иллюстрируется таблицей:

 

А	В	А→В
И	И	И
И	Л	Л
Л	И	И
Л	Л	И

 

 

Как и другие логические союзы, союз «если …, то …» может соединять суждения, не имеющие общего смысла. Так, суждение «Если снег бел, то Лондон – столица Франции» является логически ложным, а суждение, где антецедент и консеквент переставлены – «Если Лондон – столица Франции, то снег бел» – является логически истинным.

4. Суждение эквивалентности.

В данном суждении используется логический союз «если и только если …, то …», например: «Если и только если лицо совершило преступление, то оно подлежит уголовному наказанию». Эта логическая связь может в языке выражаться и иными способами, в частности, словами «тогда и только тогда, когда»: «Треугольник тогда и только тогда является равноугольным, когда он является равносторонним».

Суждение эквивалентности известно также под названием двойной импликации, что становится понятным, если мы приведем его формулу: А↔В. Используется здесь также другой знак: А≡В.

Логическое свойство суждения эквивалентности: оно истинно, когда составляющие его простые суждения оба истинны или оба ложны, и ложно в остальных случаях. Таблица истинности для эквивалентности будет отличаться от таблицы для импликации одной строкой – третьей:

А	В	А↔В
И	И	И
И	Л	Л
Л	И	Л
Л	Л	И

2. Отрицание суждения.

Наряду с логическими союзами в формулах сложных суждений широко используется знак отрицания. Отрицание может относиться как к простым, так и к сложным суждения. Если обозначить некоторое суждение через А, то его отрицание будет выражаться как А или Ā. Таблица истинности для отрицания будет очень проста:

А	А
И	Л
Л	И

 

2. Табличный метод определения истинности сложных суждений.

Приведенные в первом пункте таблицы истинности позволяют установить истинность или ложность только тех сложных суждений, которые состоят из двух простых. Если сложное суждение включает в свой состав три и более простых суждения, то для определения его истинности (ложности) используются различные логические приемы, и самый простой из них – табличный. Суть его в том, что необходимо перебрать все истинностные значения переменных, составляющих данное сложное суждение.

Еще до построения таблицы, только имея перед собой формулу данного суждения, можно определить, как будет выглядеть искомая таблица.

Так, если в формуле только одна переменная (допустим, А), то в таблице истинности будет две строки: одна для случая, когда А истинно, другая – для случая, когда А ложно. Если в формуле две переменных, то в таблице истинности будет уже 2·2 = 22 = 4 строки; если три, то 2·2·2 = 23 = 8 строк; если четыре, то 2·2·2·2 = 24 = 16 строк и т. д.

Для общего случая в n переменных число строк в таблице истинности будет равняться 2ⁿ строк.

Приведем в качестве примера первые три столбца таблицы истинности для формулы, содержащей три переменных – А, В и С:

 

А	В	С
И	И	И
И	И	Л
И	Л	И
И	Л	Л
Л	И	И
Л	И	Л
Л	Л	И
Л	Л	Л

 

Можно заранее определить и количество столбцов в таблице, которую мы будем строить. Оно равняется числу логических знаков в данной формуле, включая отрицание, плюс по одной колонке для каждой переменной. Например, если дана формула:

((А→В) ٨ (А→С) ٨ (В۷С)) → А,

то мы можем сразу сказать, что в таблице истинности для нее будет 8 строк (так как здесь три переменных) и 12 столбцов (так как здесь 9 логических знаков, с отрицаниями, плюс столбец для каждой из трех переменных).

После заполнения всех строк истинностной таблицы некоторого сложного суждения возможен один из трех вариантов:

1) Формула во всех строках таблицы приняла значение «и» («истинно») – такая формула называется тождественно-истинной формулой (ТИФ), или законом логики, или тавтологией;

2) Формула во всех строках таблицы приняла значение «л» («ложно») – такая формула называется тождественно-ложной формулой (ТЛФ), или противоречием;

3) Формула в одних строках таблицы приняла значение «и», а в других – «л» – такая формула называется выполнимой.

Проверим с помощью указанного метода уже известные нам законы логики, например, закон непротиворечия (А٨А):

А	А	А٨А	(А٨А)
И	Л	Л	И
Л	И	Л	И

 

Или закон исключенного третьего А۷А:

 

А	А	А۷А
И	Л	И
Л	И	И

 

Как видим, таблицы подтверждают, что данные формулы выражают логические законы.

Естественно, что табличный метод может служить для проверки и более сложных формул, например, с двумя переменными. Построим таблицу для формулы (А→В) ≡ (В→А).

А	В	А→В	В	А	В→А	(А→В) ≡ (В→А)
И	И	И	Л	Л	И	И
И	Л	Л	И	Л	Л	И
Л	И	И	Л	И	И	И
Л	Л	И	И	И	И	И

 

Данная формула тоже оказалась тождественно-истинной.

 

Отрицание суждений.

Два суждения называются отрицающими или противоречащими друг другу, если одно из них утверждает то, что отрицает другое, и наоборот. Из этих суждений одно всегда будет, согласно закону исключенного третьего, истинное, а другое ложно. Так, противоречат друг другу суждения вида «Все S есть Р» (например, «Все птицы кладут яйца») и «Некоторые S не есть Р» (в данном случае, «Некоторые птицы не кладут яиц»), а также вида «Ни одно S не есть Р» («Ни один студент нашей группы не был в Америке») и «Некоторые S есть Р» («Некоторые студенты нашей группы были в Америке»).

В логике выделяются два типа отрицаний – внутреннее и внешнее.

Внутреннее отрицание – это отрицание, фиксирующее несоответствие предиката субъекту. Это простые суждения, в которых используется связка «не есть», «не является» или «не», например: «Некоторые студенты нашей группы не являются успевающими», «Ростов Великий не находится в Южном Федеральном округе».

Внешнее отрицание – это отрицание всего суждения и образование нового суждения. Здесь обычно используется слово «неверно», которое ставится перед суждением: «Неверно, что все студенты нашей группы – успевающие», «Неверно, что Ростов Великий находится в Южном Федеральном округе».

Внешнему отрицанию подлежат не только простые суждения, но и сложные. Конъюнктивные и дизъюнктивные суждения отрицаются по формулам, известным в логике как законы де Моргана (Огастес де Морган, шотландский математик и логик XIX века).

Модальность суждений.

В ранее рассмотренных нами суждениях только констатировалось наличие или отсутствие связей между предметами и их свойствами. В этих суждениях не устанавливался характер связи между субъектом и предикатом (если речь шла о простых суждениях, как «Волга – самая длинная река Европы) и не устанавливался характер связи между простыми суждениями (если речь шла о сложном суждении типа «Если я получу отпуск летом, то поеду в Сочи»).

Характер связи между субъектом и предикатом, а также между простыми суждениями в суждении сложном раскрывается через особые модальные слова («модальные операторы»):

«Доказано, что Волга – самая длинная река Европы»;

«Хорошо, что летом тепло, а зимой – холодно»;

«Возможно, что к 2020 году в Ростове появится метро»;

«Несомненно, что если я получу отпуск летом, то поеду в Сочи» и т. д.

Суждения, в которых не используются модальные операторы, называются в формальной логике ассерторическими. Суждения же, образованные из ассерторических путем добавления модальных операторов, называются модальными.

Модальные суждения, подобно ассерторическим, могут быть как простыми, так и сложными. Простые модальные суждения выражаются формулами М (S есть Р) и М (S не есть Р), а сложные формулами М (А→В), М (А۷В) и т. п.

Существует большое число типов связи между субъектом и предикатом и между простыми суждениями, соответственно, существует и большое число различных модальностей. Для их изучения в формальной логике возник даже особый раздел – модальная логика. К числу основных модальностей относятся алетические, эпистемические и деонтические.

Алетическая модальность выражается в терминах «необходимо», «случайно», «возможно», «невозможно». Соответственно, выделяется 4 вида алетических модальностей:

а) Суждение необходимости: «Необходимо, что S есть (не есть) Р» (формулы ٱр и ٱр): «С необходимостью за ночью следует день, а за днем – ночь», «Необходимо, что одно и то же суждение не является одновременно истинным и ложным»;

б) Суждение случайности: «Случайно, что S есть (не есть) Р» (формулы ٱр и: ٱр): «Случайно, что мы с вами сегодня встретились», «Случайно, что вчера я не застал Вас дома»;

в) Суждение возможности (вероятности): «Возможно (вероятно, не исключено, допускается), что S есть (не есть) Р» (формулы ◊р и ◊р): «Возможно, что на Марсе есть жизнь», «Не исключено, что снежный человек существует»;

г) Суждение невозможности: «Невозможно (не допускается, исключено), что S есть (не есть) Р» (формулы ◊р и ◊р): «Невозможно, чтобы человек существовал в бескислородной атмосфере», «Исключено, чтобы дважды два было равно трем или пяти».

Все алетические модальности, в свою очередь, подразделяются на два вида – логические и физические (фактические).

Логически необходимыми являются суждения о законах логики, математики и других дедуктивных наук (например, теоретической механики), а также все следствия из этих законов.

Логически возможными являются все суждения, которые не противоречат этим законам.

Логически невозможными являются все суждения, которые находятся в противоречии с этими законами.

Физически необходимыми являются суждения о законах естественных наук (физики, химии, биологии, астрономии), а также все следствия из этих законов.

Физически возможными являются все суждения, которые не противоречат данным законам.

Физически невозможными являются те суждения, которые противоречат законам естественных наук.

Между логическими и физическими модальностями существуют следующие зависимости:

1. То, что необходимо физически, не всегда необходимо логически. Но все, что необходимо логически, обязательно будет необходимо также и физически.

2. То, что логически возможно, не обязательно возможно физически. Но если нечто возможно физически, то оно будет возможно и логически.

Эпистемическая модальность – это модальность, выражающая степень обоснованности суждения. Существует два основных класса эпистемических суждений – достоверные и проблематичные (вероятные).

Достоверными считаются достаточно обоснованные истинные и ложные суждения. Достоверные суждения существуют в двух основных формах – доказуемые и опровержимые.

Доказуемыми (верифицируемыми) являются суждения, в которых использованы слова «доказано», «установлено», «определено», «выяснено» и т. п.: «Доказано, что Земля имеет форму шара», «Установлено, что Сидоров принимал участие в ограблении банка». С помощью модального оператора они записываются так: Vр – «доказано, что р» и Vр – «доказано, что не- р».

Опровержимыми (фальсифицируемыми) являются суждения, в которых используются слова «опровергнуто», «неверно», «исключено» и т. п.: «Опровергнуто, что атом является неделимой частицей», «Исключено, что Петренко был на месте преступления». С помощью соответствующего оператора опровержимые суждения выражаются так: Fp – «опровергнуто, что р» и Fр – «опровергнуто, что не- р».

Модальности доказуемости и опровержимости могут быть легко выражены друг через друга:

Vр ≡ Fр («р доказано тогда и только тогда, когда опровергнуто, что не- р»)

и Fp ≡ Vр («р опровергнуто тогда и только тогда, когда доказано, что не-р».

Проблематичными (вероятными) являются суждения, в которых используется оператор «вероятно» или его синонимы («не исключено», «можно предположить» и др.): «Вероятно, нынешнее лето будет жарким», «Есть основания предполагать, что П. склонен к шизофрении». С помощью оператора проблематичные суждения выражаются так: Рр – «вероятно, что р» и Рр – «вероятно, что не- р».

Для проблематичных суждений не существует такой разрешающей процедуры, с помощью которой можно было бы логически, без обращения к фактам доказать или опровергнуть их истинность (ложность). Поэтому их еще называют логически непроверяемыми.

Проблематичные суждения могут быть выражены с помощью оператора доказанности и оператора опровергнутости:

Рр ≡ Vр ۸ Fp (т. е. «р вероятно тогда и только тогда, когда оно не доказано и не опровергнуто»).

Деонтическая модальность – это модальность, выражающая предписание в форме совета, пожелания, приказа, правила поведения. Модальности такого рода более других используются в праве, юридических рассуждениях и кодексах. В деонтических суждениях так или иначе идет речь о действиях, поступках людей.

Среди модальных операторов выделяются три – обязывание, запрещение и разрешение.

Модальность обязывания выражается в словах «обязан», «должен», «надлежит», «признается» и т. п.: «Обязательно требуйте предъявления документов у человека, называющего себя сотрудником полиции», «Каждый должен охранять природу и окружающую среду, бережно относиться к природным богатствам». Формулы суждения обязывания выглядят так: О(d) – «обязательно действие d» и О(d) – «обязательно отсутствие действия d».

Модальность запрещения выражается словами «запрещено», «не допускается», «не вправе»: «Запрещено переходить улицу на красный свет», «Никто не может нести уголовную ответственность дважды за одно и то же преступление». Вот как выражается модальность эта модальность: F(d) – «запрещено действие d» и F(d) – «запрещено отсутствие действия d».

Модальность разрешения выражается словами «разрешено», «имеет право», «может иметь» и т. д.: «Границы между субъектами Российской Федерации могут быть изменены с их взаимного согласия», «Поэтом можешь ты не быть». В виде формул это будет выглядеть так: Р(d) – «разрешено действие d» и Р(d) – «разрешено отсутствие действия d».

Логические отношения между деонтическими модальностями выражаются формулами: О(d) ≡ F(d); F(d) ≡ О(d);
Р(d) ≡ О(d) ٨ F(d)

 

 

Лекция 7. Умозаключение как логическая форма мысли