Пусть f(x) и j (x) – функции, для которых существуют пределы при х ® х0 (¥):
, 
Тогда имеют место следующие теоремы о пределах:
1. Функция не может иметь более одного предела.
2. Предел алгебраической суммы конечного числа функций равен такой же сумме пределов этих функций:
3. Предел произведения конечного числа функций равен произведению пределов этих функций:
В частности, постоянный множитель можно выносить за знак предела:
4. Предел частного двух функций равен частному пределов этих функций (при условии, что предел делителя не равен нулю):
(B ¹ 0)
Пример. Вычислить предел 
.
◄ Пределы числителя и знаменателя существуют и предел знаменателя не равен нулю. Пользуясь теоремой о пределе частного, получаем:
. ►
Пример. Вычислить 
.
◄ Теорему о переделе частного здесь применять нельзя, т.к. числитель и знаменатель конечного предела не имеют. Имеем неопределенность 
. В подобных случаях для раскрытия неопределенности целесообразно числитель и знаменатель разделить на степень х с наивысшим показателем, а затем перейти к пределу:
. ►
Замечательные пределы
Первый замечательный предел:
Второй замечательный предел:
,
где 
–число Эйлера, которое является основанием для натуральных логарифмов. Последний предел можно записать в других формах:
,
.
Пример. Вычислить 
.
◄ Для раскрытия подобных неопределенностей 
используется первый замечательный предел:
.►
Непрерывность функции.
Функция f (x) называется непрерывной в точке х0, если она удовлетворяет следующим условиям:
1) она определена в точке 
,т.е. существует f(х0);
2) она имеет конечный предел функции при х ® х0;
3) этот предел равен значению функции в точке х0,
т.е. 
Например, в точке х = 0 функция 
не является непрерывной (нарушено 1-е условие).
Функция, заданная выражением:
в точке х = 0 не является непрерывной из-за отсутствия предела при х ® 0, хотя существуют пределы слева и справа (см. рис.).
Точка называется точкой разрыва функции 
, если эта функция в данной точке не является непрерывной. Существует две разновидности точек разрыва.
Точка разрыва 1-го рода: существуют конечные односторонние пределы функции слева и справа при х ® х0, не равные друг другу.
В качестве примера можно указать точку х = 0 для рассмотренной выше функции 
.
Точка разрыва 2-го рода: хотя бы один из односторонних пределов равен бесконечности или не существует.
В качестве примера можно указать точку х = 0 для функции .
Свойства функций непрерывных в точке:
1. Если функции и 
непрерывны в точке , то их сумма 
, произведение 
и частные 
(
) являются функциями, непрерывными в точке .
2. Если функция y = f (x) непрерывна в точке х0 и f(x0) > 0, то существует такая окрестность точки x 0, в которой и f(x) > 0.
3. Если функция y = f (u) непрерывна в точке u0 и f(x0) > 0, а функция 
непрерывна в точке х0, то сложная функция y = f [ j (х)] непрерывна в точке х 0.
Функция y = f (x) называется непрерывной на промежутке Х, если она непрерывна в каждой точке этого промежутка.
Свойства функций непрерывных на отрезке:
1. Если функция y = f (x) непрерывна на отрезке [ a, b ], то она ограничена на этом отрезке.
2. Если функция y = f (x) непрерывна на отрезке [ a, b ], она достигает на этом отрезке наименьшего значения m и наибольшего значения M.
3. Если функция y = f (x) непрерывна на отрезке [ a, b ] и ее значения на концах отрезка f(a) и f(b) имеют противоположные знаки, то внутри отрезка найдется точка x Î (a, b) такая, что f (x)=0.
Лекция 2.7.2 «Производная. Дифференциал»
Учебные вопросы:
1. Производная
2. Дифференциал
Производная
Производной от функции 
называется предел отношения приращения функции к приращению независимой переменной при стремлении последнего к нулю (если этот предел существует):
.
Другие обозначения производной: 
.
Дифференцирование функции – это нахождение производной этой функции. Если функция имеет в точке x производную (конечную), то она называется дифференцируемой в этой точке.
Геометрический смысл производной: производная 
равна тангенсу угла между осью Ox и касательной, проведенной к графику функции в точке 
(см. рис.).
Механический смысл: производная пути по времени 
есть скорость точки в момент 
т.е. 
.
Производительность труда в момент есть производная объема произведенной продукции по времени 
.
Теорема. Если функция дифференцируема в точке , то она в этой точке непрерывна.
Обратная теорема, вообще говоря, не верна, т.е. непрерывная функция может быть не дифференцируемой в точке , например, функция 
в точке 
.
Правила дифференцирования
1. Производная константы равна нулю, т.е. 
, где С - const.
2. Производная аргумента равна 1, т.е. 
.
3. Производная алгебраической суммы конечного числа дифференцируемых функций равна такой же сумме производных этих функций, т.е.
4. Производная произведения двух дифференцируемых функций:
Следствие. Постоянный множитель можно выносить за знак производной: 
, где С - const.
5. Производная частного двух дифференцируемых функций:
.
при условии, что 
.
6. Производная сложной функции 
, где , где y и u – дифференцируемые функции своих аргументов, равна
Теорема. Для дифференцируемой функции с производной, не равной нулю, производная обратной функции равна обратной величине производной данной функции, т.е. 
.
Производная логарифмической функции:
; 
.
Производная показательной функции:
; 
Производная степенной функции:
.
Производные тригонометрических функций:
Производная неявной функции 
получается дифференцированием обеих частей уравнения, рассматривая y как функцию от x, а затем из полученного уравнения находится 
:
