Тема 4. Статистичні показники

Методичні вказівки до вирішення типових задач

Задача 1. Обчислення умовно-натуральних абсолютних величин.

Споживання палива тепловими електростанціями становило:

Вид палива, млн.т (газ – млрд.м3)	Минулий рік	Звітний рік	Коефіцієнт переводу в умовне паливо
Вугілля	7,5	13,9	0,9
Газ природній	9,6	7,7	1,2
Мазут	2,8	2,1	1,37

 

Визначити:

1. Обсяги спожитого палива за кожний рік;

2. Структуру спожитого палива і зробити висновки щодо структурних зрушень.

Розв’язання

Вид палива	Спожито умовного палива (х)
Минулий рік	Звітний рік
Млн.т.	%	Млн.т.	%
Вугілля	6,75	30,5	12,51	50,8
Газ природній	11,52	52,1	9,24	37,5
Мазут	3,84	17,4	2,88	11,7
Всього	22,11	100,0	24,63

 

(х) Обсяг умовного палива розраховується шляхом помноження обсягу натурального палива на коефіцієнт переводу.

Висновок: 1. Збільшився обсяг спожитого умовного палива з 22,11 млн.т. до 24,63 млн.т. або на 111,4% (.

2. Істотно змінилась структура палива, а саме: зросла частка вугілля з 30,5% до 50,8%, натомість зменшилось споживання газу, як абсолютно (в тоннах), так і відносно (у %).

Задача 2. Розрахунок середньої арифметичної зваженої.

На підприємстві реалізація продукції характеризується такими даними:

Сорт товару	Поставлено, тонн	Ціна за 1 тонну, грн
За контрактом	За фактом
Вищий
Перший
Другий
Всього			х

Визначити: Середню ціну за контрактом і фактичну. Якщо ціни відрізняються пояснити причину.

Розв’язання

Розрахунок середньої ціни.

За контрактом:

= 32472 грн/т

За фактом:

= 32988 грн/т

Зростання фактичної середньої ціни реалізації у порівнянні з контрактом пов’язано із збільшенням реалізації продукції вищого сорту на 200 т за рахунок зменшення, на цей обсяг реалізації продукції першого та другого сорту.

Задача 3. Розрахунок середньої гармонічної зваженої

Для групи фермерських господарств є дані про урожайність зернових і про валовий збір зерна.

№ господарства	Урожайність зернових, ц/га (х)	Валовий збір зерна, ц (w)

 

Визначити середню врожайність зернових по групі господарств.

Розв’язання

В умові задачі відсутні дані щодо розміру посівної площі (f), натомість відомо, що w = x*f. За наявності даних про х та w для розрахунку середньої врожайності використовуємо форму середньої гармонічної зваженої.

`Х_гарм. = = = = 34 ц/га

Середня врожайність залежить не лише від мінливості значень ознаки (х), а і зміни структури статистичної сукупності (f). Так, у випадку збільшення площі зернових у фермерському господарстві за № 5 у два рази – валовий збір збільшиться до 39000 ц, а середня урожайність зросте:

`Х_гарм. = = = = 35,1 ц/га

Таким чином, за рахунок структурних зрушень посівної площі (f) урожайність зернових зростає на 1,1 ц/га.

 

 

Тема 5. Ряди розподілу

Методичні вказівки до вирішення типових задач

Задача 1. Розрахунок моди і медіани, показників варіації.

За даними ряду розподілу працівників підприємства за стажем роботи визначити структурні середні та показники варіації.

 

Стаж роботи	Кількість працівників, осіб (f)	x	xf	Накопичені частоти ∑ f
До 4-х
4-8
8-12
12-16
16 і більше
Всього		х		х

 

Розв’язання

До складу структурних середніх відносять моду і медіану. Для оцінки їх значень визначимо середній стаж роботи працівників: `х = 896:100 ≈ 9 років

Для розрахунку моди визначається модальний інтервал (інтервал з найбільшою частотою). В даному випадку модальний інтервал від 8 до 12 років, а частота модального інтервалу f₂ = 35, нижня межа модального інтервалу x₀ =8, ширина модального інтервалу h = 4; передмодальний частота f₁ = 28, післямодальна – f₃ = 12. Тоді модальне значення стажу роботи працівників буде таким:

М_о = Х_о + h = 8 + 4

Для розрахунку медіани визначається медіанний інтервал (де сума накопичених частот перевищує половину значень частот ряду розподілу). Перевищення половини обсягу сукупності в даній задачі 0,5 ∑f = 50 відповідає інтервалу від 8 до 12, який приймається за медіанний інтервал з частотою t_m = 35; кожна межа медіанного інтервалу Х_о = 8; медіанний інтервал h = 4, сума накопичених частот перед медіанним інтервалом S = 43.

Отже, медіанна стажу роботи працівників дорівнює:

М_е = Х_о + h = 8 + 4 .

Обчислюємо такі показники варіації, як розмах варіації, середнє лінійне відхилення, дисперсія, середнє квадратичне відхилення, коефіцієнт варіації.

Розв’язання

1. Розмах варіації – це різниця між середніми значеннями останнього і першого інтервалів:

R = X_max – X_min = 18 – 2 = 16 років

Розрахунок інших показників варіації наведений в таблиці:

		= 9	()	()2	()2.
		-7
		-3
всього		х		х

 

 

2. Обчислюємо інші показники варіації

 

- середнє лінійне відхилення

d	=	∑ ()	=		=	3,7 року
∑

 

- дисперсія

 

σ2	=	∑ ()2.	=		=	21,3
∑

 

- середнє квадратичне відхилення

σ = = = 4,6 роки

- коефіцієнт варіації

Vσ	=	σ	=	4,6	·		=	51,3%

Показники варіації дозволяють дати оцінку відхилення варіації від середньої.

Значення коефіцієнту варіації (51,3 %) свідчить про те, що розглянута сукупність кількісно неоднорідна, тому що Vσ > 33,0 %.

На практичних заняттях по рядах розподілу рекомендуються такі варіанти робіт для розрахунку показників варіації:

Відомі такі дані про стаж роботи і кількість працівників:

 

Варіант 0	Варіант 1	Варіант 2	Варіант 3	Варіант 4
Стаж роботи, роки	Кількість працівників	Стаж роботи, роки	Кількість працівників	Стаж роботи, роки	Кількість працівників	Стаж роботи, роки	Кількість працівників	Стаж роботи, роки	Кількість працівників
До 4-х		2-6		До 4-х		2-6		До 2-х
4-8		6-10		4-8		6-10		2-4
8-12		10-14		8-12		10-14		4-6
12 і більше		14-18		12 і більше		14-18		4 і більше
Варіант 5	Варіант 6	Варіант 7	Варіант 8	Варіант 9
Стаж роботи, роки	Кількість працівників	Стаж роботи, роки	Кількість працівників	Стаж роботи, роки	Кількість працівників	Стаж роботи, роки	Кількість працівників	Стаж роботи, роки	Кількість працівників
До 4-х		2-6		До 4-х		2-6		До 4-х
4-8		6-10		4-8		6-10		4-8
8-12		10-14		8-12		10-14		8-12
12 і більше		14-18		12 і більше		14-18		12 і більше

 

 

Задача 2. Розрахунок дисперсій

Для розрахунку дисперсій використаємо дані таблиці, за матеріалами якої розрахувати групові, міжгрупову та загальну дисперсію.

Матеріали для дисперсійного аналізу

Сорт пшениці	Кількість сортодільниць (f)	Урожайність в кожній сортодільниці (y)	∑y	`уi
Миронівська		25,26,28,30,35,36
Поліська		27,25,29,31
Київська		39,40,44,42,38,37,35,45
Всього		-

 

Розв’язання

В даній структурованій сукупності, що поділена на групи за факторною ознакою (х), дисперсія результативної ознаки (у) розкладається на: дисперсію у кожній групі (внутрішньогрупову), дисперсію міжгрупами (міжгрупову).

Варіація урожайності окремо для кожного сорту пшениці визначається шляхом розрахунку трьох внутрішньогрупових дисперсій, за формулою:

 

= ;

Для сорту «Миронівська»:

= = = 17,67

Для сорту «Поліська»:

= = = 5,0

Для сорту «Київська»:

= =

= = 10,5

 

Середня з групових дисперсій розраховується за формулою:

 

= = = = 11,67

 

Розрахунок міжгрупової дисперсії:

 

= = = = = 29,33,

 

де `у = ;

Використавши взаємозв’язок, міжгрупові та внутрішньогрупові дисперсії (правила додавання дисперсії) визначимо загальну дисперсію:

= 11,67 + 29,33 = 41,00

Перевіримо наші розрахунки, обчисливши загальну дисперсію за спрощеною формулою.

=` –

- = – 1156 = 1197 – 1156 = 41

 

Вірність розрахунків підтверджено.

Для практичних занять з розрахунку дисперсії рекомендуються наступні варіанти.

Варіант

Відділення комерційних банків

Депозитні ставки в окремих відділеннях, %

Центральні

Філії

1.

Центральні

Філії

2.

Центральні

Філії

3.

Центральні

Філії

4.

Центральні

Філії

5.

Центральні

Філії

Центральні

Філії

Центральні

Філії

Центральні

Філії

Центральні

Філії

 

Визначити групові, міжгрупову та загальну дисперсії депозитної процентності ставки, а також питому вагу міжгрупової дисперсії у загальній. Результати проаналізувати.