Теперь вернемся к процессам рождения (размножения) и гибели 1 страница

Так называется широкий класс случайных процессов, происходящих в системе, размеченный граф состояний которой изображен на рис.100.

Рисунок 100 – Граф состояний для процессов гибели и размножения

Здесь величины , ,…, – интенсивности переходов системы из состояния в состояние слева направо, можно интерпретировать как интенсивности рождения (возникновения заявок) в системе. Аналогично, величины , ,…, – интенсивности переходов системы из состояния в состояние справа налево, можно интерпретировать как интенсивности гибели (выполнения заявок) в системе.

Поскольку все состояния являются сообщающимися и существенными, существует (в силу теоремы 2) предельное (финальное) распределение вероятностей состояний. Получим формулы для финальных вероятностей состояний системы.

В стационарных условиях для каждого состояния поток, входящий в данное состояние должен равняться потоку, исходящему из данного состояния. Таким образом, имеем:

Для состояния S₀:

(119)

Следовательно:

(120)

Для состояния S₁:

(121)

Следовательно:

(122)

С учетом того, что :

(123)

(124)

Аналогично можно получить уравнения для остальных состояний системы. И наконец в результате получим систему уравнений:

Рисунок 101

Тогда решение этой системы будет иметь вид:

(125)

, ,…, (126)

2.7.1. Имитационное моделирование и метод статистических испытаний

Экономико -математическая (чаще компьютерная) имитационная модель позволяет проводить исследования которой проводится экспериментальными методами. Термин введён в начале 1960-х годов, его границы довольно широки и поэтому не слишком чётко определены.

Появление имитационного моделирования связано с так называемой «новой волной» в экономико-математическом моделировании. К этому времени проблемы экономической науки и практики в сфере управления и экономического образования, с одной стороны, и рост производительности компьютеров, с другой, вызвали потребности расширить рамки «классических» экономико-математических методов. Наступил даже момент некоторого разочарования в возможностях нормативных, балансовых, оптимизационных и теоретико-игровых моделей, поначалу заслуженно привлёкших к себе тем, что они вносят во многие проблемы управления экономикой обстановку логической ясности и объективности и непосредственно приводят к «разумному» (сбалансированному, оптимальному, компромиссному и тому подобному) решению.

Выявился широкий класс проблем, в которых эти модели, в силу определенного абстрагирования, не улавливают существенных явлений реальности. Не всегда, например, удаётся полностью осмыслить априорные цели и, тем более, формализовать критерий оптимальности и (или) ограничения на допустимые решения. Поэтому многие попытки всё же применить такие методы стали приводить к получению неприемлемых, или даже нереализуемых (хотя и оптимальных) решений. Преодоление возникших затруднений пошло даже по пути отказа от полной формализации (как это делается в нормативных моделях) процедур принятия социально-экономических решений. Предпочтение стало отдаваться разумному синтезу интеллектуальных возможностей эксперта (экспертные оценки) и информационной мощи компьютера (см. Диалоговая система). Одно течение в этом направлении — переход к «полунормативным» многокритериальным человеко-машинным моделям; второе — перенос центра тяжести с прескриптивных моделей, ориентированных на схему «условия — решение», на дескриптивные модели, дающие ответ на вопрос, «что будет, если...?» (см. Система поддержки принятия решений).

Первый признак такого имитационного моделирования — ориентированность на такую схему. В ходе экспериментов с имитационными моделями эксперты задают машинному комплексу вопросы, а встроенная в машину модель доставляет ответы; эксперты их анализируют и формируют знания, суждения, решения. Вторая особенность имитационного моделирования — более подробное, чем в классических моделях, отображение структуры прототипа в структуру модели, использующее богатые и гибкие возможности информационных технологий и современных средств организации и обработки данных. В этом — отличие современных имитационных моделей от дескриптивных эконометрических моделей, хотя, конечно, последние можно рассматривать как частный случай имитационных моделей.

Эконометрическая модель устроена как «чёрный ящик» и не отображает внутренних связей в прототипе. Её параметры оцениваются в результате статистической обработки данных наблюдений за действительностью. Может оказаться, что эти оценки верны только в условиях конкретного действующего экономического механизма, и для анализа явлений, которые могут возникнуть в условиях проектируемого экономического механизма, более или менее существенно отличающегося от действующего, модель становится непригодной. Но именнл изучение свойств экономических механизмов, радикально отличных от прежних, особенно актуально. Если конструктор модели вынужден по такой причине отказаться от моделирования непосредственно «в лоб», он пытается понять и отобразить внутренние причинно-следственные связи и механизмы и для этого представить модель в виде совокупности «атомов» — компонентов, для каждого из которых он способен построить правдоподобную модель и все существенные отношения, между которыми он способен правдоподобно отобразить. Такой способ приводит к более правдоподобной модели — особенно, если в качестве компонентов модели выбирать модели компонентов системы-прототипа (предприятия, цеха, банки, регионы, транспортные сети, органы управления, группы населения и тому подобное).

Усложнение структуры имитационной модели вызывается также стремлением использовать её в качестве средства проверки «доброкачественности» решений, формируемых экспертом или нормативной (то есть более простой) моделью. Для моделирования первичных структурных единиц («атомов») часто приходится привлекать и классические подходы. Так, для отображения технологических процессов уместно использовать эконометрические промышленные и сельскохозяйственные производственные функции, которые явно не зависят от механизма управления производством. Для построения функций спроса могут быть использованы оптимизационные модели, так как здесь критерий оптимальности и ограничения формулируются вполне обоснованно.

Третья особенность имитационной модели состоит в том, что это, как правило, не «слайд» как, скажем, статическая модель межотраслевого баланса, в которой разновременные события «склеены» в одномоментные, а скорее, «слайд шоу», отображающее функционирование прототипа в виде смен состояний модели в последовательные моменты и — в этой связи — появление разных способов моделирования времени. Эта особенность родилась из отмеченной выше потребности не только получить подходящие решения (роль нормативной модели на этом завершается и ей это удается), но и включить в модель компоненты, отображающие отклик системы на принятые решения — в виде показателей её функционирования. Классическую динамическую балансовую модель и её разновидности можно вполне рассматривать как частный, «вырожденный» случай имитационной модели. Хотя функционирование и моделируется, но моменты производства, распределения и потребления ресурсов сводятся всего в один. В результате чего модель слишком уж жёстко описывает важные явления, связанные с разными ритмами производств поставщиков и потребителей, а также последствия срывов договоров поставки. В «невырожденных» имитационных моделях получает отражение то обстоятельство, что процессу потребления ресурсов всегда предшествуют процессы производства и распределения. Четвёртая особенность имитационной модели — более свободный выбор средств для моделирования процессов (в то время как классические модели используют сравнительно узкий круг математических конструкций: линейные уравнения и неравенства, оптимизация линейных или дробно-линейных функций, регрессионный анализ, методы теории массового обслуживания). Модели процессов — это машинные и программно – человеко - машинные алгоритмы.

В результате они:

вычисляют значения модельного времени;

· изменяют значения переменных, представляющих состояния компонентов модели;

· генерируют по ходу моделирования новые компоненты (например, сдаваемые в эксплуатацию строящиеся промышленные предприятия или выставляемые платёжные требования);

· уничтожают компоненты (разорившиеся предприятия или оплаченные платёжки).

В алгоритмы моделирования процессов включаются иногда и специальные процедуры, генерирующие случайные значения некоторых переменных (представляющих, например, текущие погодные условия или отклонение объёмов поставки от договорных). Пятая особенность — весьма широкие возможности диалога экспериментатора с моделью в ходе её выполнения, в то время как с выполняемой на компьютере классической моделью экспериментатор контактирует лишь перед её запуском (задавая значения её изменяемых параметров) и после её завершения (интерпретируя полученные результаты).

Перечисленные особенности не исчерпывают, возможно, всех свойств моделей, которые разные авторы называют имитационными; с другой стороны, некоторые авторы называют имитационными модели, обладающие лишь частью этих свойств; наконец, некоторыми из перечисленных свойств могут в той или иной степени обладать и классические модели, особенно их модификации.

Для представления структур и процессов имитационного моделирования используются как универсальные так и специализированные языки программирования, проблемно-ориентированные пакеты прикладных программ, различные универсальные и специализированные системы управления базами данных. Все эти средства позволяют моделировать самые разнообразные структуры и различные отношения между их компонентами: подчинённость, собственность, договорённость и тому подобное. В силу своей «молодости» такое моделирование процессов может наталкиваться на методологические трудности.

В первую очередь это относится к моделированию человеческого поведения, в частности процессов принятия решений. Это одна из причин, по которой модели процессов реализуются иногда в виде человеко-машинных алгоритмов: некоторые элементы человеческого поведения моделируются специально привлечёнными людьми (экспертами). Такое участие людей в эксперименте с имитационными моделями приобретает форму имитационной управленческой игры.

Точность отображения прототипа собственно определяется структурой модели, свойствами алгоритмов, моделирующих процессы, и реальностью числовой информации, используемой в модели. Такая сложность имитационных моделей и их прототипов, сложность проведения и интерпретации экспериментов с ними приводит к тому, что в данной сфере затруднительно, а иногда и принципиально невозможно применить формализованные (например, статистические) методы оценки адекватности модели, используемые в естественных науках и технике. Здесь очень часто приходится оперировать субъективными понятиями, принятыми в гуманитарных областях: доверие к модели, правдоподобие модели, убеждённость в её применимости и тому подобное.

Однако именно имитационные модели являются подходящим инструментом для системных исследований.

Получение решений в имитационном моделировании производится с помощью так называемого метода статистических испытаний. Это численный метод решения математических задач, основанный на моделировании случайных величин или процессов и в последующем построении статистических оценок для искомых величин. Другое название метода статистических испытаний - метод Монте-Карло - в большей степени относится к модификациям метода статистических испытаний. Универсальность метода статистических испытанийкак метода вычислительной математики определяется возможностью его использования для решения задач, не связанных со случайностью. Это достигается построением вспомогательных вероятностных моделей, куда в качестве параметров входят подлежащие точному определению и формализации постоянные величины.

Создателями метода статистических испытаний (метода Монте-Карло) считают американских математиков Д. фон Неймана и С. Улама. В 1944 году, в связи с работами по созданию атомной бомбы фон Нейман предложил широко использовать аппарат теории вероятностей для решения прикладных задач с помощью ЭВМ. Одеакр первая работа, где этот вопрос систематически излагался, принадлежит Метрополису и Уламу.

Первоначально метод Монте-Карло использовался главным образом для решения задач нейтронной физики, где традиционные численные методы оказались не пригодными. Далее его влияние распространилось на широкий класс задач статистической физики, очень и очень разных по своему содержанию. Сейчас к разделам науки, где все в большей мере используется метод Монте-Карло, следует отнести задачи теории массового обслуживания, задачи теории игр и математической экономики, задачи теории передачи сообщений при наличии помех и ряд других.

Аналитические методы как известно дают решение задачи либо в виде формулы, либо в виде разложения в ряды или интегралы по полному набору собственных функций какого-нибудь оператора.

Классические численные методы в своб очередь дают приближенную схему решения задачи, связанную, обычно с разбиением пространства на строго определенные клетки и заменой интегрирования суммированием и дифференцирования – конечными разностями.

Основными недостатками аналитических методов при этом являются:

§ Крайне недостаточная универсальность основных способов решения. Например, способ разложения в ряд по собственным функциям практически не работают для тех дифференциальных уравнений в частных производных, где переменные не разделяются, и так далее.

§ Крайне ограниченный набор возможных геометрических условий, для которых возможно решение задачи. Даже самое простое сочетание простых, но разнотипных поверхностей делает задачу неразрешимой.

§ Невозможность полного расчета физического процесса, вероятностное описание которого известно, но выражение в виде уравнения крайне затруднительно.

Классические численные методы исправляют часть этих недостатков, но при этом добавляют свои собственные. Они не страшатся сложной геометрии задач, однако:

§ Они чрезвычайно громоздки. Объем промежуточной информации часто трудно вместить даже в память современного компьютера.

§ Оценка погрешности решения представляет намного более трудную процедуру, чем сам процесс решения. Часто она просто невозможна.

Метод же статистических испытаний свободен от всех этих недостатков.

Метод Монте-Карло можно определить как метод моделирования случайной величины с целью вычисления основных характеристик их распределений. Это численный метод решения математических задач при помощи самого моделирования случайных величин.

Задача метода Монте-Карло следующая - после получения ряда реализаций интересующей нас случайной величины нужно получить некоторые сведения о ее распределении, то есть она является типичной задачей математической статистики.

Простейшая схема метода статистических испытанийтакова. Для определения неизвестной величины подыскивается случайная величина , математическое ожидание которой равно . Если независимы и одинаково распределены так же, как , то при достаточно большом по закону больших чисел средняя арифметическая этих величин будет приближённо равна :

при и . (127)

Этот факт указывает способ расчета, а путём моделирования случайной величины . С помощью центральной предельной теоремы можно получить оценку погрешности. Эта погрешность стремится к нулю с ростом и, например, с большой вероятностью не превосходит , где . Таким образом, например, представляют многомерный интеграл в виде математического ожидания функционала от случайного процесса, который затем моделируется. Известны вероятностные модели для вычисления интегралов, для решения интегральных уравнений систем линейных алгебраических уравнений, краевых задач для эллиптических уравнений, для оценки собственных значений линейных операторов и так далее.

Моделирование случайных величин с заданными распределениями, как правило, осуществляется путём преобразования одного или нескольких независимых значений случайной величины а, распределённой равномерно в интервале (0, 1). Последовательности таких выборочных значений обычно получают на компьютере с помощью теоретико-числовых алгоритмов; и такие числа называются псевдослучайными.

Если в расчёте по методу статистических испытаниймоделируются случайные величины, определяемые конкретным содержанием изучаемого явления, то такой расчёт часто бывает не вполне эффективным. Эта неэффективность обычно проявляется в достаточно большой величине погрешности (дисперсии) оценок искомых величин. Разработано много способов уменьшения такой дисперсии указанных оценок в рамках метода статистических испытаний. В частности, рекомендуется выбрать более подходящую вероятностную модель.

Как было отмечено, метод Монте-Карло это сугубо численный метод, использующий моделирование случайных величин и построение статистических оценок для искомых величин. Первоначально такие алгоритмы метода Монте-Карло применялись для:
- оценки многократных интегралов;

- решения интегральных уравнений 2-го рода.

Теперь рассмотрим алгоритм для оценки многократных интегралов.

Пусть необходимо оценить интеграл по мере Лебега в евклидовом -мерном пространстве и — плотность вероятности такая, что можно записать в виде математического ожидания следующим образом:

, (128)

где . Моделируя искомое на компьютере, можно получить выборочных значений . Тогда согласно закону больших чисел,

. (129)

Одновременно можно оценить и среднеквадратическую погрешность , то есть величину , а также приближённо построить подходящий доверительный интервал для . Выбором плотности можно распорядиться для получения необходимой оценки с возможно меньшей дисперсией. Соответствующие алгоритмы также называются существенной выборкой (выборкой по важности).

Иногда полезны сочетания метода Монте-Карло с классическими квадратурами — так называемые случайные квадратурные формулы, основная идея которых состоит в том, что узлы и коэффициенты какой-либо квадратурной суммы (например, интерполяционной) выбираются случайно из распределения, обеспечивающего несмещённость получаемой оценки интеграла. При этом порядок скорости сходимости метода Монте-Карло существенно повышается и в некоторых случаях становится максимально возможным на рассматриваемом классе задач.

Если же подинтегральная функция зависит от параметра, то целесообразно использовать метод зависимых испытаний, то есть вычислять интегралы для различных значений параметра по одним и тем же случайным узлам. Важным свойством метода Монте-Карло является сравнительно слабая зависимость среднеквадратичной погрешности собственно от размерности задачи, причём порядок сходимости по числу узлов, всегда один и тот же: . Это позволяет вычислять (после предварительных преобразований задачи) интегралы очень высокой и даже бесконечной кратности.

А вот алгоритмы метода Монте-Карло для решения интегральных уравнений 2-го рода

Пусть необходимо вычислить линейный функционал , где , причём для интегрального оператора с ядром выполняется условие, обеспечивающее сходимость ряда фон Неймана: . Цепь Маркова определяется начальной плотностью а также переходной плотностью ; вероятность обрыва цепи в точке равна

; (130)
где — случайный номер последнего состояния. Далее определяется функционал от траектории цепи, математическое ожидание которого равно . Чаще всего при этом используется так называемая оценка по столкновениям.
, (131)
где
, . (132)
Если при и при , то при некотором дополнительном условии
. (133)
Возможность достижения малой дисперсии в знакопостоянном случае показывает следующее утверждение:
если и , (134)

где , то , .

Моделируя подходящую цепь Маркова на компьютере, в результате получают статистическую оценку линейных функционалов от решения интегрального уравнения 2-го рода. Это также даёт возможность и локальной оценки решения на основе представления: , где . В методе Монте-Карло оценка первого собственного значения интегрального оператора осуществляется извечтным итерационным методом на основе следующего соотношения

(135)

Все рассмотренные результаты почти автоматически распространяются на все системы линейных алгебраических уравнений вида .

Решение же дифференциальных уравнений осуществляется методом Монте-Карло на базе соответствующих интегральных соотношений. Изложенное представляет собой основу для построения весьма эффективных модификаций статистического моделирования.

2.7.2. Применение метода Монте-Карло в социально – экономическом моделировании

Итак, еще раз повторим - сущность метода Монте-Карло состоит в следующем:

требуется найти некоторое значение а некоторой изучаемой величины. Для этого выбирают такую случайную величину X, математическое ожидание которой равно а:

М (Х)=A.

Практически же поступают так: производят N испытаний, в результате которых получают N возможных значений X, вычисляют их среднее арифметическое и принимают его в качестве оценки (приближенного значения) или математического ожидания A’ искомого числа A.

Как правило, составляется специальная программа для осуществления одного случайного испытания. Имеется погрешность вычислений, как правило, пропорциональная , где D – некоторая постоянная.

Это значит, что N должно быть достаточно велико, поэтому метод существенно опирается на возможности компьютера. Ясно, что добиться таким путем максимально высокой точности практически невозможно. Это считается главным недостатком метода. Во многих задачах удается значительно увеличить точность, выбрав при этом способ расчета, которому соответствует значительно меньшее D.

Поскольку метод Монте-Карло требует проведения большого числа испытаний, его соответственно часто называют методом статистических испытаний. Теория этого метода демонстрирует, как наиболее целесообразно выбрать искомую случайную величину X, как найти ее возможные значения.