Лекции.Орг


Поиск:




Составление описания ситуации оценивания 1 страница




С.Н. Астахов

Автоматизированные информационные системы расчета основных моделей исследования операций.

 

 

Казань 2016

 

Содержание

 

Введение 4

Раздел 1

1.Проблема универсальной применимости математики

1.1. Причины универсальности математики 6

1.2. Специфика применения математики в разных науках 9

2.2 Особенности математических методов, применяемых к решению экономических задач ……………………………. 16

Раздел 2 Основные модели и алгоритмы исследования операций в общественно - экономических дисциплинах.

2.1.1 Квалиметрия и квалиметрические модели……….…………………………………………………………………33

2.1.2. Основы прикладной квалиметрии……………………………………..48

2.2 Математическое программирование……………………………………….75

2.2.1. Методы и алгоритмы решения задач математического программирования……………………………………………………………...82

2.2.2. Задачи целочисленного программирования. Метод Гомори…………91

2.2.3. Динамическое программирование………………………………………92

2.3.1. Теоретические основы теории игр..……………………………………..96

2.3.2. Стратегии теории игр……………………………………………………114

2.4. Теория статистических решений………………………………………….121

2.5. Модели В. В. Леонтьева…………………………………………………135

2.6. Теория массового обслуживания……………………………………………186

2.7.1 Имитационное моделирование и метод статистических испытаний……220

2.7.2. Применение метода Монте-Карло в социально – экономическом моделировании………………………………………………………….230

2.7.3 Использование метода Монте Карло в СМО………………………………246

2.8.1. Понятие и сущность сетевого планирования и управления.

……………………………………………………………………………………….257

2.8.2. Анализ сетевых графиков…………………………………………265

2.8.3. Оптимизация сетевых графиков………………………………….272

2.9.1. Модели финансовой математики…………………………………………...277

2.10.1. Актуарные расчеты…………………………………………………………307

2. 10.2. Пример актуарного моделирования в страховании……………………331

2. 11.1 Сущность эконометрического моделирования…………………………412

2.11.2 Эконометрические модели…………………………………………………432

2.11.3. Оценка значимости коэффициентов модели…………………480

2.11.4. Многофакторная линейная регрессия………………………………….486

2.11.5. Методы анализа временных рядов…………………………….497

2.12.1 Модели статистики интервальных данных……………………………….512

 

Раздел 3

Задачник с методическими указаниями и алгоритмами расчетов……………………………….………………………………………557

 

Раздел 4

Применение пакетов прикладных программ для решения моделей исследования операций……………………………………………610.

 

Тестовая база…………………………………………………………………….

Использованная литература

 

 

Введение

 

Современная ситуация, как в области прикладных наук так и в хозяйствен-ной практике, характеризуется высокой конкуренцией на всех уровнях, услож-нением производственных отношений и информационного насыщения производительных и наукоемких отраслей, особенно в сфере высоких технологий.

В таких условиях институциональным единицам всех уровней от индиви-дуальных предпринимателей до министерств и других государственных органов необходимо иметь представление или использовать накопленный в мире опыт внедрения математических методов и моделирования в социально - экономические системы, не забывая о сделанном российскими и советскими учеными.

Другими словами, современный специалист в области информационных технологий и в первую очередь менеджер и прикладной информатик обязан знать и уметь реализовывать собственную стратегию и тактику пользуясь как современными, так и традиционными экономико-математическими методами. Для этого он должен обладать знаниями и навыками организации внедрения экономико-математических задач и способами решения их при помощи вычислительной техники и программных продуктов.

Необходимость данного учебного пособия также определяется тем, что оно позволяет научить студентов не только понимать и формализировать сущность как социально - экономических и основных технико-экономических явлений и процессов, но и научить их управлять в условиях внедрения методов программного компьютерного обеспечения в целях совершенствования деятельности институциональных единиц различных уровней.

Объектом изучения математических методов является работа с количественными показателями деятельности. Предметом данного учебного пособия являются теоретические вопросы и практические аспекты организации различных процессов и управления ими.

Основной целью настоящего пособия является следующее:

1) дать студентам основополагающее представление о том, что такое современные экономико-математические школы и направления;

2) научить основным задачам современных направлений в сфере исследования операций.

3) Продемонстрировать возможности решения этих задач типовыми средствами современных программно - вычислительных комплексов.

В соответствии со сформированной целью основными задачами курса является:

1) изучение методологической базы основных направлений исследования операций и присущих методов;

2) ознакомление с основными методами;

3) развитие навыков по самостоятельному принятию решений в сфере постановки задачи и организации применения исследования операций и использованию возможностей их использования в различных сферах деятельности человека.

4) Создание инфологических моделей и решение их типовыми программно – вычислительными комплексами.

Данное учебное пособие напрямую не связанно, с каким либо отдельным

предметом и рассчитано на использование в целом ряде научных дисциплин как предусмотренных учебными планами, так и позволяющих развить общую эрудицию, а также имеет непосредственную связь с такими курсами, как «Моделирование бизнес процессов», «Исследование операций»,

«Общая теория статистики», «Информационные технологии», «Информацион-ные системы», «Прикладные компьютерные программы», «Основы менеджмента», «Управление качеством», «Стратегический менеджмент», «Риск-менеджмент», «Финансовый менеджмент», «Инвестиции», «Экономическая статистика», «Математическая статистика», «Математический анализ», «Векторная алгебра», «Маркетинг» и т.д.

 

 

Раздел 1

Проблема универсальной применимости математики

1.1. Причины универсальности математики.

Есть различные точки зрения на процессы, происходящие в обществе вообще и в экономике в частности, в любой момент истории.

Но независимо от того как различные теоретики и политические силы воспринимают эти процессы (как откат в прошлое или как прогресс), ни одна их них не может отрицать того, что структура социально - экономических условий существования человечества становятся все более сложными.

В связи с увеличением количества системных связей становится намного труднее принимать решения, как касающееся частных интересов, так и общественных и государственных. Эти трудности не могут не вызывать волны новых интересов к математическим методам, что и породило в середине 20 – ого века такую научную дисциплину как «Исследование операций», которая обобщает такие методы, которые позволяют выбрать наилучшую стратегию как на ближайшее будущее, так и на перспективу.

В то же время многие менеджеры и просто люди в сложных ситуациях предпочитают обращаться к собственной интуиции, или накопленному опыту, который был наработан в прошлом, невзирая на то, что опыт быстро устаревает.

Следовательно, необходимо оценить роль математических методов в общественной жизни вообще и социально - экономической практике в частности. А именно насколько адекватно они описывают все возможные ситуации и предсказывают наилучшее решения, или даже так: стоит ли их использовать вообще?

По отношению к этому вопросу существуют два полярных мнения: полное отрицание применимости математических методов в общественной жизни, как весьма абстрактных, и фетишизация, преувеличение той роли, которую математика может, или могла бы сыграть.

Оба этих подхода основаны на незнании реального положения вещей, поскольку человек, хотя бы частично знакомый с этим вопросом, никогда не поставит его кардинально, а будет говорить лишь о возможности применения математических методов во всей системе исследования социально - экономических проблем.

В этом вопросе есть скорее значительный философский аспект, связанный с возможностями математического абстрагирования практики и теории.

То есть, насколько математические модели исследования операций отражают реальные тенденции, по которым живет экономика и общество. Полнота этого отражения зависит в некоторой степени от задач и цели исследования. Для одних целей достаточно минимального уровня соответствия, для других же может потребоваться более детальное описание. В любом случае вопрос заключается в уровне абстрагирования и в так называемых допустимых преобразованиях шкалы измерения.

Кроме того математические методы естественным образом развиваются, вместе с экономическими и другими системами, откуда часто заимствуются математические модели. Например, путевой анализ в эконометрике и схемы гибели и выживания в системах массового обслуживания взяты из биологии.

А в последние годы бурно развиваются и связанные с ними компьютерные информационные технологии. Это происходит как вследствие изменений в общественной жизни, так и по внутренней логике развития.

Особенно надо отметить огромное влияние, которое оказало и еще окажет развитие компьютерных информационных технологий. На современном этапе информационные технологии обрабатывают и внедряют накопленный опыт математики, но, безусловно, и скорость обработки информации позволит сгенерировать новые математические методы и модели, поскольку исключают громоздкие и затратные «ручные» технологии.

Вычислительная техника и информационные технологии позволяет исключить у пользователей громоздкий аппарат вычислений, а также позволила на практике применить множество методов, описанных ранее лишь теоретически или на простейших примерах. И если практическое применение большинства математических методов было связанно либо с ручными методами расчетов, либо с механизацией расчетов (счеты, калькулятор, табулятор), то теперь речь идет именно об автоматизации, которая исключает многочисленные промежуточные расчеты и допущения, которые искажают результаты.

Математику часто определяют как науку, оперирующую чистыми абстракциями, то есть идеями, отделёнными от реального мира. Но с момента зарождения в древности кроме общетеоретической математики всегда и даже скорее в первую очередь существовала и прикладная математика, которая больше похожа на универсальный язык независимо от сферы приложения.

Не зря люди воспринимали числа и операции над ними как моделирование законов реального мира, и даже использовались для отражения теологических и магических постулатов. В Древней Греции впервые возникла идея о том, что числа можно изучать отдельно (школа Пифагорейцев). Правда, взгляды их на числа находились в области теологии, но, как раз они и открыли первые закономерности, не имеющие аналога в мире вещей, хотя и пытались утаить их от всего мира. Таким образом, в Древней Греции и на Востоке, были положены начала развития математики как самостоятельной науки с явным религиозным и магическим оттенком.

В Средние века развитие математики как таковой происходило в основном в мусульманском арабском мире. В Европе же шел процесс развития формальной логики внутри христианской схоластики. Например, известно, что понятие бесконечно малой величины было сформулировано при постановке задачи - сколько чертей можно уместить на кончике иглы. Это также было позитивным моментом, поскольку применение математики предполагает определённую формализацию знания независимо к тому к какой области жизни относятся эти знания.

Начиная с 17 века возможности математики начинают резко расти. Первоначально развитие математики определялось потребностями формализации изучения и выражения объективных законов.

Впоследствии математика стала развиваться, подчиняясь также внутренней логике развития природы и общества, и исходя из собственных потребностей. Но при этом роль математики, как аппарата для выражения объективных законов, нисколько не уменьшилась.

При этом новые закономерности, выведенные чисто математически, давали возможность предсказывать свойства, присущие в первую очередь объектам физической природы.

Позднее математика стала широко проникать во все сферы науки, и тут выяснилось, уравнения и выражения, созданные для целей одной науки, применимы, после определённой доработки, в другой. Например, модель жизни клетки живого организма подходит к модели деятельности предприятия, а теория очередей, в своей основе имеет схему «гибели и размножения» диких животных в зависимости от каналов питания и наличия воды.

 

1.2. Специфика применения математики в разных науках.

В чём же заключается причина такой универсальной применимости математических методов?

По мнению Вигнера, как и в древности, универсальность применимости математики следует считать чем-то сверхъестественным. Ученые прикладники должны просто пользоваться ею, не пытаясь понять причины этого. А саму математику он рассматривает как науку о хитроумных операциях, производимых по специально разработанным правилам над специально придуманными понятиями. Причем новые понятия выводятся для того и так, чтобы над ними можно было произвести какие-нибудь математические операции, которые импонируют человеческому чувству прекрасного, сами по себе и по получаемым с их помощью результатам, обладающим большой простотой и общностью.

Hо такой подход, часто встречающийся, скорее относится к области психологии и слишком эмоционален, чем научен. Непонятное для большинства людей всегда кажется магическим. Причина такой универсальности математики заключается в специфике и высоком уровне абстрагированности и терминологии математического языка.

Уже введение понятия числа было переходом на более высокий уровень абстракции, так как они лишены физических ощущений. Они не имеют вкуса, запаха, объема, веса и других эмпирических характеристик, являясь лишь субъективным суждением о количестве или качестве какого-либо предмета, явления. В то же время они позволяют определить сравнительные количественные характеристики и отношения практически любого объекта.

Единственная сложность состоит только в выборе единицы измерения и адекватной шкалы с допустимыми ошибками вычисления. То есть, измерив, объект, выразив его количественно, можно затем отвлечься от его содержания и оперировать полученными данными по всем правилам математического языка. Полученные таким образом результаты можно и нужно проверять эмпирически, чтобы оценить ошибку измерения или, как ее называют аппроксимации.

Вообще, язык математики, так же как языки программирования имеет определенные преимущества перед естественными языками. Он минимально избыточен, моносемантичен и содержит в себе правила преобразования. Причем правильно организованная шкала позволяет не подменять ложные значения истинными и наоборот. Все это позволяет сравнительно легко оперировать элементами языка: объединять фрагменты в блоки, применять алгоритмы к блокам, а затем развертывать результат через систему подстановок и так далее.

Применение математического языка, в свою очередь требует определённого уровня формализации. Введение единиц измерения – уже есть частичная формализация.

Очевидно, что единицы измерения формализуют, в основном, только лишь количественную сторону явлений и процессов, часто не отражающих латентную (скрытую) сущность, не позволяя создать новые методы для решения новых задач.

Формализация же качественных характеристик объектов происходит двумя путями:

1) создание формализованных аксиоматических систем;

2) алгоритмизация.

Аксиоматическая система - это один из способов построения теории на основе базовых положений (аксиом), из которых затем выводится основное содержание теории. Аксиоматические системы в ходе эволюции прошли три этапа, которым соответствуют три типа аксиоматических систем:

а) Содержательные аксиоматические системы - когда на основе основных представлений с помощью интуиции описываются содержательно ясные объекты. То есть и объекты и аксиомы имеют свои аналоги в мире вещей, и они понятны и ощутимы. Hа начальных этапах развития науки (или молодых наук) практически все теории представляли из себя такие аксиоматические системы. Такие системы, в основном, не представляют ценности в смысле универсальности их применения, но вызывают живой интерес к предмету.

б) Полуформализованная аксиоматическая система предполагает задание абстрактных объектов, для которых описываются содержательно ясные аксиомы. Такие системы уже в достаточно большой мере универсальны, поскольку часто бывает, что сходство начальных условий позволяет применять старую теорию для изучения новых объектов (конечно же, с известной долей скептицизма или доработки).

в) Полностью формализованные системы. В этом случае изначально задаются и алфавит системы и аксиомы и правила преобразования знаков алфавита, сохраняющие истинность аксиом. Такие системы вполне могут развиваться по своим внутренним законам. Но теории и методы, созданные в рамках таких формализованных систем могут найти и находят неожиданное применение в различных отраслях научного знания.

Но главным критерием применимости того или иного метода является проверка результатов исследования на опыте, на практике или как говорят верификация.

Алгоритмизация, второй вид полной формализации, предполагает создание алгоритмов - единых методов для решения целого ряда задач. Это особенно важный момент с точки зрения применения языков программирования.

При этом метод решения заключается в совершении какой-то последовательности заранее определённых действий. При этом создание алгоритма, конечно уже предполагает универсальность. Одно время даже пытались создать единый алгоритм для решения любых задач и создать единый язык программирования. Воплощением этих идей был, например язык Алгол.

Однако универсальность алгоритмов имеет определённые ограничения.

Во-первых, это дискретность алгоритмов, то есть разбивка их на шаги, которые нельзя пропускать;

Во - вторых для ряда задач вообще нет алгоритма решения или только описания на естественном языке (так называемые не формализуемые или слабо формализуемые задачи).

То есть следует заметить, что математика увы пока еще универсальна не абсолютно, хотя надо заметить, что количество неформализуемых задач стремительно уменьшается в связи с развитием производительности вычислительной техники. При применении математических методов в различных науках наблюдается определенная специфика, что находит свое отражение в многообразии предметных, специальных языков программирования.

Специфика применения математики в различных отраслях науки в значительной мере определяется особенностями процесса познания в этих науках, которые в свою очередь зависят от свойств объекта исследования.

Свойства объекта исследования, в свою очередь, могут определяться допущениями, которые накладывает на возможные изменения этого объекта, законы объективной реальности, «жизненного цикла» данного обьекта.

Отсюда одной из задач науки является сужение множества "мыслимых", или виртуальных движений, выяснение принципов отбора реальных движений из числа возможных. Исходя из этого проблема математического описания материального и нематериального мира сводится, прежде всего, к поиску информации, которая описывает различных механизмы отбора, лежащих в основе причинности всех реальных связей и движений.

Применение моделирования при принятии решений предполагает последовательное осуществление трех этапов исследования.

Первый - от исходной практической проблемы и наблюдением за объектом(и) до теоретической чисто математической задачи.

Второй – внутриматематическое и внутримашиное изучение и решение этой задачи.

Третий – переход от математических и теоретических выводов обратно к практической проблеме, то есть верификации модели.

Выбирая свой путь в мире исследований по теории и практике принятия решений, приходится обдумывать и решать все эти вопросы относящиеся к методологии науки.

В литературе вопросы методологии моделирования обсуждаются недостаточно у специалистов и особенно у практиков, что во многом связано с устаревшим представлением о «затратности» и «сложности» моделирования с неясным практическим результатом, что было характерно для времен трудоемких, «ручных» технологий. Зато наблюдается поток публикаций, в которых постановки решаемых задач часто выглядят искусственно и пафосно.

В области моделирования задач принятия решений, как, впрочем, и в иных областях применения математики, целесообразно выделять четыре проблемы:

ЗАДАЧА – МОДЕЛЬ - МЕТОД - УСЛОВИЯ ПРИМЕНИМОСТИ.

Задача, как правило, порождена потребностями той или иной прикладной области, которая порождена стремлением любой системы к равновесию.

Вполне понятно, что при этом происходит одна из возможных математических формализаций реальных ситуаций.

Например, при изучении предпочтений потребителей у маркетологов и логистов возникает вопрос: различаются ли эти предпочтения у различных групп или секторов потребителей.

При математической формализации эти мнения потребителей в каждой группе обычно моделируются как независимые случайные выборки, т.е. как совокупности независимых одинаково распределенных случайных величин, а вопрос маркетологов и логистов переформулируется в рамках этой модели как вопрос о проверке той или иной статистической гипотезы однородности.

Здесь подразумевается однородность характеристик, или о проверке равенства математических ожиданий, или о полной (абсолютной) однородности, то есть о примерном совпадении функций распределения, соответствующих ко-личеству совокупностей.

Задача может быть порождена также изучением и обобщением потребностей ряда прикладных областей. Приведенный выше пример иллюстрирует эту ситуацию: к необходимости проверки гипотезы однородности приходят и медики при сравнении двух групп пациентов, и инженеры при сопоставлении результатов обработки деталей двумя способами, и так далее. Таким образом, одна и та же математическая модель может применяться для решения самых разных по своей прикладной сущности задач.

Важно подчеркнуть, что выделение перечня задач находится вне математики. Выражаясь инженерным языком, этот перечень является сутью технического задания, которое специалисты различных областей деятельности отдают статистикам.

Метод, используемый в рамках определенной математической модели - это уже во многом, дело математиков и специалистов по информационным технологиям. В эконометрических моделях речь идет, например, о методе оценивания, о методе проверки гипотезы, о методе доказательства той или иной теоремы, и т.д. В первых двух случаях алгоритмы разрабатываются и исследуются математиками, но используются прикладниками, в, то время как метод доказательства касается лишь самих математиков.

Ясно, что для решения той или иной задачи в рамках одной и той же принятой исследователем модели может быть предложено много различных методов.

Можно привести некоторые примеры.

Для математиков специалистов по теории вероятностей и математической статистике наиболее хорошо известна история Центральной Предельной Теоремы теории вероятностей.

Предельный нормальный закон был получен самымс разными методами, из которых часто вспоминают теорему Муавра-Лапласа, метод моментов Чебышева, метод характеристических функций Ляпунова, и наконец завершающие эпопею методы примененные Линдебергом и Феллером.

В настоящее время для решения практически важных задач могут быть использованы современные информационные технологии на основе метода статистических испытаний и соответствующих датчиков псевдослучайных чисел. Они уже заметно потеснили асимптотические методы математической статистики. В рассмотренной выше проблеме однородности для проверки одной и той же гипотезы совпадения функций распределения могут быть применены самые разные методы – Смирнова, Лемана - Розенблатта, Вилкоксона и др.

И наконец, внимательно рассмотрим последний элемент четверки, который называется условием применимости. Это условие - полностью внутриматематическое. С точки зрения математика замена условия (кусочной) дифференцируемости некоторой функции на условие ее непрерывности может представляться существенным научным достижением, в то время как прикладник оценить это достижение, конечно не сможет. Для прикладника, как и во времена Ньютона и Лейбница, непрерывные функции не отличаются от (кусочно) дифференцируемых. Точнее, они одинаково хорошо (или одинаково плохо) могут быть использованы для описания реальной действительности.

Точно также прикладник не сможет оценить внутриматематические достижения, состоящие в переходе от конечности четвертого момента случайной величины к конечности дисперсии. Поскольку результаты реальных измерений получены с помощью некоторого средства измерения, шкала которого конечна, то прикладник априори уверен, что все результаты измерений заведомо лежат на некотором отрезке то есть они финитны. Прикладник с некоторым недоумением наблюдает за математиком, который рассуждает о конечности тех или иных моментов - для прикладника они заведомо конечны в рамках его собственного опыта.

Как известно, наука так организована, что принципиально абстрагируется от свойств конкретных обьектов или процессов и рассматривает только их идеальные математические модели и взаимосвязи между этими моделями. Поэтому и математическая модель может рассматриваться как некоторая абстрактная система отдельных свойств, имеющих разную степень сложности. Эта модель, в силу своего абстрактного характера, в принципиальном отношении будет совершенно одинаковой для самых различных видов отношений, продукции или услуг.

Модель является одновременно и отражением, и важным инструментом научной абстракции, позволяющим выделить, обособить и анализировать существенные для данного исследования характеристики - свойства, взаимосвязи, структурные, функциональные параметры некоторого объекта.

Смоделировать, означает описать явление, или процесс в обобщенной форме: внутреннюю структуру (структурная аналогия), или воспроизводство функции объекта (функциональная аналогия), или динамику процесса. Обобщение выражается при этом в описании явлений с помощью математических уравнений. Именно поэтому моделирование успешно применяется не только в экономических, технических, естественных науках, но и при изучении общественных процессов, явлений.

Математическое моделирование различных явлений и процессов может быть успешным только в сочетании с глубоким содержательным анализом, способным раскрыть механизм действия общественных законов.

Модели принято разделять на логические, записанные с помощью логических выражений, информационные, основанные на массовых потоках информации и математические. Математической или абстрактной называют модель с количественными характеристиками, записанными в виде формул.

К логическим моделям чаще всего относятся модели логистики, планиро-вания и прогнозирования. Здесь используется историческая аналогия, которая основывается на временной шкале изменения системы.

Модели описательного характера рассматриваются в виде различных сценариев.

Среди информационных известны модели взаимодействия между науками. Математические модели обычно делятся на три основные группы:

- статистико-вероятностные модели;

- экономико-математические;

- функционально-иерархические.

 

2.2. Особенности математических методов, применяемых к решению экономических задач

В моделировании социальных и экономических процессов в соответствии с их природой, исключительно важную роль играют статистико – вероятностные модели.

К ним относят модели распределения, модели распознавания образов, корреляционные, дисперсные, факторные, имитационные модели, модель Монте-Карло, позволяют исследовать сложную социально – экономическую систему любого типа. Возможность учета нелинейности, динамика вероятностной природы некоторых явлений позволяет сделать статистическую модель, условно адекватную действительности.

Конечно, статистическое моделирование процессов функционирования сложных систем предполагает учет случайных возмущений, описываемых разными законами распределения.

Экономическая модель — это абстрактное, упрощенное представление об экономической действительности или о том или ином ее фрагменте, отвлекающееся от различных деталей и подробностей, несущественных с точки зрения исследователя для понимания главных свойств и взаимосвязей в исследуемом явлении, что характерно для моделирования вообще.

По мере развития экономической деятельности происходит непрерывное усложнение общественного производства, появляется большое разнообразие гомеостатических общностей, усложняются цели, стремления и потому противо-речия. Вместе с усложнением инфраструктуры организации все большее число ее отдельных частей приобретает черты отдельных, обособленных систем и, следовательно, структура прямых и обратных связей усложняется.

При построении модели некоторые теоретики пытаются учитывать постепенное развитие «интеллекта» и, следовательно, способности все большего понимания индивидом последствий его действий, степени их влияния на характер гомеостатической стабильности. Благодаря этому реакции теряют свою рефлексность, и при анализе, как прямых так и обратных связей становится необходимым учитывать процессы переработки информации и принятия решений.





Поделиться с друзьями:


Дата добавления: 2016-12-04; Мы поможем в написании ваших работ!; просмотров: 435 | Нарушение авторских прав


Поиск на сайте:

Лучшие изречения:

Большинство людей упускают появившуюся возможность, потому что она бывает одета в комбинезон и с виду напоминает работу © Томас Эдисон
==> читать все изречения...

831 - | 649 -


© 2015-2024 lektsii.org - Контакты - Последнее добавление

Ген: 0.01 с.