Задания для промежуточного контроля

Теоретические вопросы

1. Предел функции в точке. Бесконечно малые и бесконечно большие функции.

2. Предел функции в точке. Основные теоремы о пределах.

3. Непрерывность функции. Точки разрыва.

4. Производная функции. Правила дифференцирования.

5. Формулы дифференцирования. Производная сложной функции.

6. Таблица производных.

7. Производная функции. Геометрический смысл производной.

8. Производная функции. Физический смысл производной.

9. Производные высших порядков. Механический смысл второй производной.

10. Дифференциал функции.

11. Исследование функции на монотонность с помощью производной.

12. Исследование функции на точки экстремума с помощью производной.

13. Исследование функции на наименьшее и наибольшее значения.

14. Исследование функции на интервалы выпуклости и точки перегиба.

15. Общая схема исследования функции.

16. Первообразная. Неопределенный интеграл. Основные свойства неопределенного интеграла.

17. Таблица неопределенных интегралов.

18. Методы интегрирования: непосредственное интегрирование, метод замены переменной.

19. Метод интегрирования: интегрирование по частям.

20. Определенный интеграл. Формула Ньютона-Лейбница.

21. Основные свойства определенного интеграла.

22. Методы вычисления определенных интегралов.

23. Геометрический смысл определенного интеграла.

24. Частные производные и полный дифференциал.

25. Понятие дифференциального уравнения. Общее и частное решение дифференциального уравнения.

26. Дифференциальные уравнения с разделяющимися переменными. Метод решения.

27. Линейные однородные дифференциальные уравнения второго порядка с постоянными коэффициентами.

28. Понятие числового ряда. Сходимость и расходимость числовых рядов.

29. Необходимый признак сходимости ряда. Признак сравнения. Признак Даламбера.

30. Понятие знакочередующегося ряда. Признак сходимости Лейбница.

31. Функциональные ряды. Степенные ряды. Область сходимости степенного ряда.

32. Понятие события. Достоверные, невозможные, совместные, несовместные, противоположные события.

33. Классическое определение вероятности.

34. Теорема сложения вероятностей. Теорема умножения вероятностей.

35. Формула полной вероятности.

36. Формула Бернулли.

37. Случайная величина. Закон распределения дискретной случайной величины.

38. Математическое ожидание дискретной случайной величины.

39. Дисперсия дискретной случайной величины. Среднее квадратическое отклонение случайной величины.

40. Матрицы, действия над матрицами.

41. Определители 1-го, 2-го, 3-го порядков. Правило треугольников.

42. Определители 1-го, 2-го, 3-го порядков. Правило алгебраических дополнений.

43. Обратная матрица. Алгоритм нахождения обратной матрицы.

44. Понятие мнимой единицы. Степени мнимой единицы

45. Определение комплексного числа.

46. Геометрическая интерпретация комплексного числа.

47. Действия над комплексными числами, заданными в алгебраической форме.

48. Тригонометрическая форма комплексного числа. Действия с комплексными числами в тригонометрической форме. Формула Муавра.

49. Показательная форма комплексного числа.

Практические задания

№1. Вычислить пределы:
; ; ; ;

№2.

Исследовать функцию на непрерывность в точке .

№3. Вычислить значение производной следующих функций

;

№4.

1.) Составить уравнения касательной к кривой: ––1 в точке с абсциссой x=2.

2.) Найдите угол наклона, образованный касательной к кривой в точке х₀ = 3 с осью абсцисс.

№5.

1.) Материальная точка движется по закону . Найдите скорость и ускорение точки в момент времени

4.) Два тела движутся прямолинейно: одно по закону , другое – по закону . Определить момент, когда скорости этих тел окажутся равными.

№6. Исследовать функцию на промежутки монотонности, точки экстремума, интервалы выпуклости и точки перегиба:

1.) ; 2.) ; 3.) ;

4.) ; 5.) ; 6.)

№7.

1.) Найти наибольшее и наименьшее значения функции на отрезке[0, 2].

2.) Число 50 записать в виде суммы двух чисел, сумма кубов которых наименьшая.

3.) Периметр основания прямоугольного параллелепипеда 8м, а высота 3м. Какой длины должны быть стороны основания, чтобы объем параллелепипеда был наибольшим?

№8. Найти неопределенные интегралы методом непосредственного интегрирования:

; ; ; .

Найти неопределенные интегралы методом подстановки:

; ; .

Найти неопределенный интеграл методом интегрирования по частям: .

№9. Вычислить определенный интеграл

Вычислить определенный интеграл методом замены переменной:

№10. Вычислить площадь фигуры, ограниченной линиями:

№11. Вычислить объем тела, полученного при вращении вокруг оси абсцисс криволинейной трапеции, ограниченной линиями

№12. Решить дифференциальное уравнение: а) ; б)

№13. Решить задачу Коши: а) б)

№14. С помощью признака Даламбера решить вопрос о сходимости ряда

№15. Пользуясь признаком Лейбница, исследовать на сходимость знакочередующийся ряд

№16. Разложить в ряд Маклорена функцию

№17. Решить задачу, используя классическое определение вероятности: В урне 3 белых и 5 синих шара. Вынимается наудачу один шар. Найти вероятность того, что он белый.

№18. Решите задачу, используя теоремы сложения или умножения вероятностей:

1. Два стрелка делают по одному выстрелу в мишень. Вероятность попадания первого стрелка равна 0,7, а второго – 0,8. Найти вероятность того что мишень будет поражена.

2. В урне находится 36 шаров: 8 белых, 4 черных, 16 синих и 8 красных. Из урны извлекают один шар. Какова вероятность того, что этот шар окажется белым или черным?

№19. Решить задачу с помощью формулы полной вероятности: Две фабрики выпускают одинаковые стекла для автомобильных фар. Первая фабрика выпускает 45% этих стекол, вторая – 55%. Первая фабрика выпускает 3% бракованных стекол, а вторая – 1%. Найдите вероятность того, что случайно купленное в магазине стекло окажется бракованным.

№20. Решить задачу с помощью формулы Бернулли: Монету бросают 5 раз. Найти вероятность того, что «герб» выпадет ровно 3 раза.

№21. Случайная величина Х задана законом распределения: