Линейные однородные дифференциальные уравнения II порядка с постоянными коэффициентами

Дифференциальное уравнение называется линейным, если оно имеет вид . Если в нем функция в правой части принимает нулевой значение, т.е. , то уравнение называют однородным.

Линейное однородное уравнение II порядка с постоянными коэффициентами имеет вид , где p и q – действительные числа. Его решение ищется в виде , где k – постоянная, подлежащая определению.

Если , то , . Подстановка полученных выражений в уравнение и сокращение на приводит к квадратному уравнению относительно k. Оно называется характеристическим уравнением исходного дифференциального уравнения с корнями . Возможно 3 случая.

1) Числа и действительны и различны, т.е. . Тогда , , а общее решение исходного уравнения есть линейная комбинация полученных, т.е. .

2) Числа и равны, т.е. . Тогда , а общее решение исходного уравнения имеет вид .

3) Числа и - комплексно-сопряженные, т.е. . Обозначим , , поскольку . Тогда общее решение исходного дифференциального уравнения имеет вид .

Линейные неоднородные дифференциальные уравнения II порядка с постоянными коэффициентами

Теорема. Общее решение неоднородного дифференциального уравнения II порядка с постоянными коэффициентами вида является суммой общего решения соответствующего однородного уравнения и частного решения данного неоднородного уравнения.

Поскольку метод нахождения общего решения однородного уравнения рассмотрен ранее, рассмотрим вопрос нахождения частного решения неоднородного уравнения в зависимости от вида функции в его правой части.

1)

Частное решение ищется в виде , где - неопределенный коэффициент. Тогда , . После подстановки в исходное уравнение и сокращения на получим , откуда . Возможно 3 случая.

а) уравнение не имеет действительных корней, тогда ;

б) уравнение имеет два различных действительных корня, тогда частное решение следует искать не в виде , а в виде ;

в) уравнение имеет два одинаковых действительных корня, тогда частное решение следует искать не в виде , а в виде .

2)

Частное решение ищется в виде , где и – неопределенные коэффициенты. , . После подстановки в исходное уравнение получим

Перегруппировав слагаемые с косинусами и синусами, получим

.

Приравнивая коэффициенты при синусе и косинусе в правой и левой частях уравнения, получим систему из двух уравнений относительно и :

.

Единственная ситуация, когда полученная система несовместна – это , . Тогда частное решение ищется в виде . Во всех остальных случаях решение полученной системы дает искомые значения и .

3)

а) если , то частное решение имеет вид ;

б) если , то частное решение имеет вид ;

в) если , то частное решение имеет вид .