Дифференциальное уравнение называется линейным, если оно имеет вид 
. Если в нем функция в правой части принимает нулевой значение, т.е. 
, то уравнение называют однородным.
Линейное однородное уравнение II порядка с постоянными коэффициентами имеет вид 
, где p и q – действительные числа. Его решение ищется в виде 
, где k – постоянная, подлежащая определению.
Если , то 
, 
. Подстановка полученных выражений в уравнение и сокращение на 
приводит к квадратному уравнению 
относительно k. Оно называется характеристическим уравнением исходного дифференциального уравнения с корнями 
. Возможно 3 случая.
1) Числа 
и 
действительны и различны, т.е. 
. Тогда 
, 
, а общее решение исходного уравнения есть линейная комбинация полученных, т.е. 
.
2) Числа и равны, т.е. 
. Тогда 
, а общее решение исходного уравнения имеет вид 
.
3) Числа и - комплексно-сопряженные, т.е. 
. Обозначим 
, 
, поскольку 
. Тогда общее решение исходного дифференциального уравнения имеет вид 
.
Линейные неоднородные дифференциальные уравнения II порядка с постоянными коэффициентами
Теорема. Общее решение неоднородного дифференциального уравнения II порядка с постоянными коэффициентами вида 
является суммой общего решения соответствующего однородного уравнения и частного решения данного неоднородного уравнения.
Поскольку метод нахождения общего решения однородного уравнения рассмотрен ранее, рассмотрим вопрос нахождения частного решения неоднородного уравнения в зависимости от вида функции 
в его правой части.
1) 
Частное решение ищется в виде 
, где 
- неопределенный коэффициент. Тогда 
, 
. После подстановки в исходное уравнение и сокращения на 
получим 
, откуда 
. Возможно 3 случая.
а) уравнение 
не имеет действительных корней, тогда 
;
б) уравнение 
имеет два различных действительных корня, тогда частное решение следует искать не в виде , а в виде 
;
в) уравнение имеет два одинаковых действительных корня, тогда частное решение следует искать не в виде , а в виде 
.
2) 
Частное решение ищется в виде 
, где и 
– неопределенные коэффициенты. 
, 
. После подстановки в исходное уравнение получим 
Перегруппировав слагаемые с косинусами и синусами, получим
.
Приравнивая коэффициенты при синусе и косинусе в правой и левой частях уравнения, получим систему из двух уравнений относительно и :
.
Единственная ситуация, когда полученная система несовместна – это 
, 
. Тогда частное решение ищется в виде 
. Во всех остальных случаях решение полученной системы дает искомые значения и .
3) 
а) если 
, то частное решение имеет вид 
;
б) если 
, то частное решение имеет вид 
;
в) если 
, то частное решение имеет вид 
.
