Знайдіть значення тригонометричних функцій кута ,якщо 1) ,.

2) , 0 .

Тема 8. Тригонометричні рівняння

Приклад 1. Розв`яжіть рівняння:

1)

,

Відповідь:

2)

( 1)

Відповідь:

3)

Відповідь:

4)

-

±(

±( +2 ;

Відповідь:

5)

Відповідь:

6)

- +

Відповідь:

7)

, оскільки

Відповідь: коренів не має

8)

, оскільки

Відповідь: коренів не має

9) +1=0

( )

Відповідь:

10)

=

=

=

=

Відповідь:

11)

2 +

Відповідь:

на

Зверніть увагу!

+2

Відповідь:

13)

Відповідь:

 

Зверніть увагу! () функція парна

14)



Відповідь:

Зверніть увагу! a =( 3=(

15) 3

Відповідь:

 

Приклад 2.

Розв’яжіть рівняння

Дане рівняння є квадратним відносно . Зробимо заміну змінної, а саме:

Відповідь:

Приклад 3.

Зверніть увагу!

Розв’язати рівняння:

:

Відповідь:

Приклад 4. Розв’язати рівняння:

Зверніть увагу!

П

Відповідь:

 

Рівняння виду де числа, називається однорідним рівнянням І степеня.

Метод розв’язання: ділення обох частин рівняння на

Приклад 5. Розв’язати рівняння:

Відповідь:

Рівняння виду, де а,, с – числа, називається однорідним рівнянням ІІ степеня.

Метод розв’язання: ділення обох частин рівняння на

Приклад 6. Розв’язати рівняння:

однорідне рівняння ІІ степеня.

Поділимо ліву частину на праву частину на . Зробимо заміну змінної:

Маємо:

Повертаючись до заміни, маємо:

Відповідь:

Приклад 7.

Зверніть увагу!

Розв’язати рівнння:

Зробимо заміну змінної:

Повертаючись до заміни, маємо:

Відповідь:

Приклад 8.

Розв’язати рівняння:

тоді

Відповідь:

Зверніть увагу!

Приклад 9.

Розв`язати рівняння:

Зверніть увагу!

Приклад 10.

Розв`язати рівняння:

(не має розв'язків)

Відповідь

1) ;2) ;3) ;4) ;5) ;6) ;7) ;8) ;9) ;10) 11) ;12) ;13) ;

14) ; 15) ; 16) ; 17) ; 18) ; 19) ; 20) .

Вправи для самостійного розв’язування до теми 8:

Тема 9. Похідна функції

1. Поняття приросту аргументу і приросту функції в точці

Нехай задана функція . Зафіксуємо деяку точку з області визначення функції . Приростом аргументу (позначається , читається «дельта ікс») називається різниця , тобто . Звідси .

Різницю – називають приростом функції.

2. Означення похідної:

Похідною функції , у точці називається границя відношення приросту функції в точці до приросту аргументу, коли приріст аргументу прямує до нуля:

3. Геометричний зміст похідної:

Значення похідної функції в точці дорівнює тангенсу кута нахилу дотичної до графіка функції в точці з абсцисою та дорівнює кутовому коефіцієнту цієї дотичної. Отже,

– кутовий коефіцієнт дотичної.

 

4.

Рівняння дотичної до графіка функції у точці з абсцисою :

5. Механічний зміст похідної:

Похідна функції у точці виражає швидкість зміни функції або процесу, який ця функція описує у цій точці. Отже, якщо функція описує рух матеріальної точки, тобто залежність пройденої відстані від часу , то її похідна задає залежність швидкості матеріальної точки від часу .

6. Правила диференціювання:

1)

Обов`язково запам`ятайте!!!

2)

3)

4)

C -число

7. Похідна складеної функції: =

Таблиця похідних

1) const 12) 23)

2) 13) 24)

3) ; 14) 25)

4) 15) 26)

5) 16) 27)

6) 17) 28)

7) 18) 29)

8) 19) 30)

9) 20) 31)

10) 21) 32)

11) 22) 33)

Приклад 1. Знайдіть похідну функцій:

1) ;

2) ;

3) ;

4) . Оскільки ,тоді

5)

6)

7) ;

Знайти похідну складеної функції8) :

8) Зверніть увагу

9)

Зверніть увагу

10) Знайти похідну складеної тригонометричної функції:

11) Знайти похідну складеної тригонометричної функції:

12) Знайти похідну функції: Зверніть увагу

;

13) Знайти похідну складеної функції:

Зверніть увагу

14) Знайти швидкість та прискорення точки, що рухається за законом:

15) Скласти рівняння дотичної до графіка функції:

Запам`ятай!

 

1)

2)
3)
4)

 

Вправи для самостійного розв’язування до теми 9:
1. Знайдіть похідну функції:
1) = 7 ⁴ – 5 ³ – 4 + 6; 4) ;

2) = – + ; 5) 5 ;

3) – ; 6) 8 +9;

7) ; 18

8) ; 19)

9) = ( + ) + (2 – ); 20)

10) = ( ² – 4) ( ³ + 1); 21

11) = ; 22)

12) = (5 + 4)¹⁰; 23

13) = ; 24) + ;

14) = ³ ; 25

15) = ; 26 ;

16) = ; 27

17) = ⁴ 7 ; 28) .

2.Обчисліть значення похідної функції у точці , якщо

, = 4

2) , =

2. 1)Складіть рівняння дотичної до графіка функції () = ² – 4

у точці = 2

2)Складіть рівняння дотичної до графіка функції () = ² – 4

у точці =

3. Точка рухається за законом:
Знайдіть миттєву швидкість точки у момент .

Тема 10. Застосування похідної до дослідження функції

1. Дослідження функції на монотонність:

Якщо для функції її похідна додатна у кожній точці проміжку , тобто , то функція зростає на цьому проміжку.

Якщо на проміжку ,то функції спадає на проміжку

Проміжки зростання та спадання функції називають проміжками монотонності.

2. Критичні точки: внутрішні точки області визначення, у яких похідна функції дорівнює нулю або не існує.

3. Точки екстремуму (точки максимуму та точки мінімуму).

Достатня умова екстремуму

Нехай - критична точка.

Якщо функція неперервна в точці і похідна змінює знак при переході через точку , зліва направо, то – точка екстремуму функції .

Якщо при переході через похідна змінює знак з « » на « », то

– точка максимуму.

Знак

 

Якщо при переході через похідна змінює знак з на , то – точка мінімуму.

Знак

 

Якщо при переході через критичну точку зліва направо знак похідної не змінюється, то ця критична точка не є точкою екстремуму.

 

 

Екстремумами функції називають значення функції в точках екстремуму.

4. Схема дослідження функції на монотонність та екстремуми

1) Знайти область визначення функції.

2) Знайти похідну

3) Знайти критичні точки.

4) Позначити критичні точки на області визначення, знайти знак похідної та поведінку функції на кожному з інтервалів, на які розбивається область визначення.

5) Визначити для кожної критичної точки, чи є вона точкою максимуму або мінімуму, чи вона не є точкою екстремуму.

6) Записати результати дослідження (проміжки монотонності та екстремуми).

5. Схема знаходження найбільшого та найменшого значення функції на відрізку :
1) Знайти область визначення функції.

2) Знайти похідну .

3) Знайти критичні точки.

4) Вибрати критичні точки, які належать заданому відрізку .

5) Обчислити значення функції в критичних точках і на кінцях відрізка

.

6) Порівняти одержані значення функції й вибрати з них найбільше та

найменше.

6. Схема дослідження функції для побудови її графіка:

1) Знайти область визначення функції.

2) Дослідити на парність (непарність), періодичність.

3) Знайти точки перетину графіка з осями координат.

4) Знайти похідну .

5) Знайти критичні точки.

6) Знайти проміжки монотонності.

7) Знайти точки екстремуму та значення функції в цих точках.

8) Побудувати графік функції.

Приклад 1.
Знайти критичні точки функції:
= ³ + ² – + 7.
1. Знайдемо область визначення функції:

2. Знайдемо похідну
= 3 ² +