Тема 5. Логарифм числа. Логарифмічна функція.

Логарифмічні рівняння.

Означення логарифма

Логарифмом додатного числа за основою ( > 0, ≠ 1) називається такий показник степеня, до якого треба піднести основу , щоб дістати число .

 

, оскільки

Приклади:

1) ₂ 8 = 3, оскільки 2³ = 8

2) ₅ 25 = 2, оскільки 5² = 25

3) ₄ 64 = 3, оскільки 4³ = 64

4) ₃ = -2, оскільки 3^-2 =

5) ₁₅ = -1, оскільки 15^-1 =

6) ₁₅ = 1, оскільки 15¹ = 15

7) ₁₂ 1 = 0, оскільки 12⁰ = 1

Властивості логарифмів

1. = - основна логарифмічна тотожність

2. = 1

3. 1 = 0

4. + = ( )

5. =

6. ^p =

7. 5 WNfIWb6voNzQkRBduHp7J9orNyo/h9028V5BRSQF39DrzrTCvqsXGWxHyiaTYAZbRRN3JE81bSfN d+LZ4pwY3YyLgzl7rtrlQkahaes6rmx9PaSazJzimfPKFa+NABspNEyzPf3KW5eD1WrHj38BAAD/ /wMAUEsDBBQABgAIAAAAIQC6XV473gAAAAgBAAAPAAAAZHJzL2Rvd25yZXYueG1sTI/NTsMwEITv SLyDtUjcqN2kITRkU1VISHBsA624ufGSBPwTxW4b3h73BMfZGc18W64mo9mJRt87izCfCWBkG6d6 2yK81c93D8B8kFZJ7Swh/JCHVXV9VcpCubPd0GkbWhZLrC8kQhfCUHDum46M9DM3kI3epxuNDFGO LVejPMdyo3kixD03srdxoZMDPXXUfG+PBqHPlx9f+ZrqepHs9un8Vb+YzTvi7c20fgQWaAp/Ybjg R3SoItPBHa3yTCNk6TImERZpBuziZyIeDgh5IoBXJf//QPULAAD//wMAUEsBAi0AFAAGAAgAAAAh ALaDOJL+AAAA4QEAABMAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAFtDb250ZW50X1R5cGVzXS54bWxQSwECLQAU AAYACAAAACEAOP0h/9YAAACUAQAACwAAAAAAAAAAAAAAAAAvAQAAX3JlbHMvLnJlbHNQSwECLQAU AAYACAAAACEAzES/cwEDAAArBgAADgAAAAAAAAAAAAAAAAAuAgAAZHJzL2Uyb0RvYy54bWxQSwEC LQAUAAYACAAAACEAul1eO94AAAAIAQAADwAAAAAAAAAAAAAAAABbBQAAZHJzL2Rvd25yZXYueG1s UEsFBgAAAAAEAAQA8wAAAGYGAAAAAA== " adj="18432,20808,12924" fillcolor="black [3200]" strokecolor="black [3213]" strokeweight="1pt"/> =

8. =

9. =

Приклади:

Знайти значення виразу:

1) ₈₁ 3 = 3 = ₃ 3 =

2) ₃ = ₃ 3^-3 = -3 ₃ 3 = -3

3) ₂₅ 125 = 5³ = 3 ₅ 5 = = 1,5

4) _0.5 32 = 32 = 32 = ₂ 2⁵ = -5

Десятковий логарифм

Логарифм за основою 10 називають десятковим і позначають

Отже, 10 = 1; 0,1 =

100 = 2; 0,01 2

1000 = 3; 0,001 =

10000 = 4.

Натуральний логарифм

Логарифм за основую e ( е ≈ 2,72…) називають натуральним логарифмом і позначають

Отже, e = 1

1 = 0

Приклад. Знайти значення виразу:

1) ₆₄ = = =

2) = = = 49

Логарифмічна функція

Функція виду , де , називається логарифмічною функцією.

При         0 1   функція зростає

При     0 1   функція спадає

1)

2)

Приклад. Побудуйте графіки функцій:

1) ₂ 2

	-1

			-1	-2	-3

2

 

 

4. Орієнтир знаходження ОДЗ логарифмічної функції

ОДЗ:

Приклад 1. Знайти область визначення функції:

1) ₆ (5 + 8) ОДЗ: 5 + 8 > 0

5 >

,6

 

Відповідь:

- 1,6

 

2) ₅ (3 – 2 – ²) ОДЗ: 3 – 2 – ² > 0

₁ = -3

₂ = 1

 

Відповідь:

3) ОДЗ:

-4

Відповідь: (-4; 1) U (1; 2)

 

 

Приклад 2.

Знайти , якщо

3 ₆ 2 + 0,5 ₆ 25 – 2 ₆ 3.

Маємо: ₆ + ₆ – ₆ ;

_{6 6} 8 + ₆ 5 – g₆ 9;

_{6 6} ;

; .

Відповідь: 4

Приклад 3.

Знайти значення виразу:

= = = =

Приклад 4.

Знайти значення виразу:

25¹ 25 25 4 = 100

Логарифмічні рівняння

Орієнтир розв’язання

найпростіших логарифмічних рівнянь

Якщо , тоді

Приклад 5. Розв’яжіть рівняння:

1) (2 + 1) -1 ОДЗ: 2 + 1 > 0

2 + 1 ()^-1 2 > 1

2 + 1 2 >

2 1 (;+∞)

Відповідь:

2) ОДЗ:

Відповідь: 7,9

3) ОДЗ:

 

x

Відповідь: 13

4)

Відповідь: 3

5) ОДЗ: ;

1 ;

( 2) ( 11)=

Відповідь: 14

Логарифмічні рівняння, які розв’язуються методом заміни змінної

Приклад 1.

Розв’яжіть рівняння:

змінної: , t

Одержуємо:

Повертаючись до заміни, маємо:

1) 2)

Відповідь:

Приклад 2.

Розв’яжіть рівняння:

ОДЗ:

x+2

заміну змінної:

Одержуємо:

Повертаючись до заміни, маємо:

або

Відповідь:

Приклад 3.

Розв’яжіть рівняння:

ОДЗ: 2

Зробимо заміну змінної:

=0

=0

3

або

Повертаючись до заміни, маємо:

1) 2)

Відповідь: 1; 2

Вправи для самостійного розв’язування до теми 5:

1. Знайти:

1) 4) 7)

2) 5) 8)

3) 6) 9) .

2. Знайти значення виразу:

1) 4) 7)

2) 5) 8)

3) 6) 9) .

3. Знайти область визначення функції:

1) 6)

2) 7)

3) 8)

4) 9)

5) 10)

4. Обчисліть значення виразу:

1) ; 2) ⁡ .

5. Розв’яжіть рівняння:

1) 2; 6) ;

2) ; 7) ;

3) ; 8) ;

4) ; 9) .

5) ;

6. Розв’яжіть рівняння

1)

2)

3)

4)

5)

7. Розв’яжіть рівняння

1) ; 4) ;

2) ; ;

3) ; .

8. Розв’яжіть рівняння

1)

2)

;

4)

5)

6) ( 2) ( 3) 2;

7)

8) (4 5) ( 2) 0;

9) ;

10) ;

11) ;

12)

13) ;

14) ;

15)

16)

17)

18) 2

19) ;

20) 3

21) (10 ) (0,1 ) .

Тема 6. Логарифмічні нерівності.

При розв’язуванні логарифмічних нерівностей треба враховувати:

- властивості лінійних нерівностей;

- властивості монотонності логарифмічної функції та область її визначення.