Вынужденные колебания. Резонанс

 

Вынужденные колебания возникают в колебательной системе под действием внешней периодически изменяющейся силы. С учётом вынуждающей силы закон движения пружинного маятника запишется в виде

. (4.44)

После преобразования получим неоднородное дифференциальное уравнение, описывающее вынужденные колебания:

, (4.45)

где .

Общее решение данного неоднородного уравнения равно сумме общего решения соответствующего однородного уравнения и частного решения неоднородного уравнения.

Общее решение однородного уравнения имеет вид

, (4.46) где , а A₀ и - произвольные постоянные.

Частное решение неоднородного уравнения (4.44) имеет вид

, (4.47) где , (4.48)

. (4.49)

Функция (4.47) в сумме с (4.46) даёт общее решение уравнения (4.45), описывающее поведение системы при вынужденных колебаниях. Слагаемое (4.46) играет значитель- ную роль в начальной стадии процесса при установлении колебаний. С течением времени его роль из-за экспонен- циального множителя всё больше уменьшается и им можно пренебречь

. Графически вынужденные колебания представлены на рисунке 4.12.

 

 

Рис. 4.12

 

В установившемся режиме вынужденные колебания происходят с частотой w_в и являются гармоническими, амплитуда и фаза которых определяются выражениями (4.48) и (4.49).

Амплитуда вынужденных колебаний зависит от частоты вынуждающей силы. При некоторой частоте амплитуда достигает максимума. Это явление называется резонансом, а соответствующая частота - резонансной частотой.

Из условия максимума функции (4.48) найдём

, (4.50)

а амплитуда колебаний при резонансе определяется из выражения

. (4.51)

Резонансные кривые при различных значениях коэф- фициента затухания представлены на рисунке 4.13. Чем меньше тем выше и правее лежит резонансный максимум. Если , то все кривые приходят к одному и тому же значению , так называемому статическому отклоне-нию.

ω в

ω рез

β3> β2> β1

 

Рис. 4.13

Резонансная амплитуда связана с добротностью колебатель- ной системы следующим соотношением

. (4.52)

Таким образом, добротность характеризует резонансные свойства колебательной системы: чем больше Q, тем острее и выше резонансная кривая.

 

 

Распространение волн в упругих средах.

Уравнение бегущей волны

Процесс распространения колебаний в упругой среде, периодический во времени и в пространстве, называется механической волной. Распространение волн не связано с переносом вещества. Частицы среды, в которой распространя- ется волна, не переносятся волной, они лишь совершают колебания около своих положений равновесий. От одних участков среды к другим переносятся только энергия и импульс.

Различают продольные и поперечные волны. В продольной волне частицы среды колеблются вдоль направления распространения волны. В поперечной волне частицы среды колеблются в направлениях, перпендикуляр- ных к направлению распространения волны. Механические поперечные волны могут возникнуть лишь в среде, обладающей упругостью формы, т.е. способностью сопротив- ляться деформации сдвига. Поэтому поперечные волны могут существовать лишь в твёрдых телах. Продольные волны связаны с объёмной деформацией среды, поэтому они могут распространяться как в твёрдых телах, так и в жидкостях и в газах. Скорости распространения поперечных и продольных механических волн в твёрдых телах определяются выражениями:

, (4.53)

, (4.54)

где G – модуль сдвига, Е – модуль Юнга.

В газообразных средах распространяется только продольная волна

, (4.55)

где R – универсальная газовая постоянная, T – абсолютная температура, μ- молекулярная масса газа.

Волна называется синунусоидальной, если соответ- ствующие ей колебания частиц среды являются гармониче- скими. График зависимости смещения частиц среды , участвующих в волновом процессе, от расстояния x этих частиц до источника колебаний для какого-то фиксированного момента времени представлен на рисунке 4.14. Расстояние между ближайшими частицами, колеблющимися в одинаковой фазе, называется длиной волны. Длина волны l равна такому расстоянию, на которое распространяется определённая фаза волны за период, т.е.

. (4.56)

 

 

Рис.4.14

Зависимость смещения колеблющейся точки от координат и времени устанавливается уравнением волны.

В случае плоской волны, распространяющейся вдоль положительного направления оси x, уравнение имеет вид

, (4.57)

где х/υ = τ - время прохождения волной расстояния от источника (х = 0) до частицы с координатой х.

Или в стандартной форме

, (4.58)

где - волновое число.

Уравнение волны, распространяющейся в сторону убывания х, отличается только знаком члена kх.

Уравнение любой волны является решением некоторого дифференциального уравнения, называемого волновым. В общем случае волновое уравнение имеет вид

. (4.59)

Стоячие волны

Стоячие волны образуются при наложении двух бегущих синусоидальных волн, распространяющихся навстречу друг другу. Практически, стоячие волны возникают при отражении волн от преград.

Пусть уравнения бегущей и отражённой волны имеют вид:

.

Сложив эти уравнения, получим уравнение стоячей волны

, (4.60)

Из (4.60) следует, что в каждой точке стоячей волны происходят колебания с частотой , т.е. с частотой бегущих волн и амплитудой

, (4.61)

являющейся периодической функцией координаты х.

Точки среды, в которых амплитуда стоячей волны достигает максимального значения, называются пучностями стоячей волны.

Значения координат пучностей

, (m =1,2,3...). (4.62)

Точки среды, в которых амплитуда стоячей волны обращается в ноль, называются узлами стоячей волны. Координаты узлов определяются соотношением

. (4.63)

Расстояние между соседними узлами или соседними пучностями равно

, (4.64)

и называется длиной стоячей волны.

В отличие от бегущей волны, все точки которой совершают колебания с одинаковой амплитудой, но с запаздыванием по фазе, все точки стоячей волны между двумя узлами колеблются с разными амплитудами, но с одинаковы- ми фазами (синфазно). Точки, лежащие по разные стороны от узла, колеблются в противофазе. Графическое изображение стоячей волны представлено на рисунке 4.15.

Рис.4.15

 

В стоячей волне отсутствует перенос энергии, так как образующие эту волну падающие и отражённые волны перено- сят энергию в равных количествах и в противоположных направлениях. Полная энергия колебаний каждого элемента объёма среды, ограниченного соседним узлом и пучностью, не зависит от времени, она лишь периодически переходит из кинетической энергии, сосредоточенной вблизи пучностей, в потенциальную - вблизи узлов волны, где деформация среды достигает максимальных значений.