Наблюдения, сделанные в классе Билла Холла 4 страница

С точки зрения арифметики гораздо важнее понять тот факт, что утверждения типа 4 + 3 = 7 и 9 х 5 = 45 относятся к реальному миру и что с помощью реалий окружающего нас мира эти утверждения можно проверить. Показав это детям один раз, нет нужды тратить много времени на повторные проверки.

 

Марта 1961 г.

 

Мы с Дороти занимались второй день. Я старался добраться до истока ее непонимания чисел, чтобы найти твердую почву, на которой можно было бы начать строительство знаний, но так и не мог нащупать ее.

Я разложил на столе два ряда белых палочек, по пять в каждом. Разложив их, я сказал: «Вот два ряда палочек, в каждом по одинаковому числу». Она согласилась. Я спросил, сколько палочек мне понадобилось, чтобы составить эти два ряда. Она сказала — десять. Я написал 10 на листке бумаги и поставил рядом птичку. Затем я составил два ряда по семь палочек. Она согласилась, что палочек в них поровну, и ответила, когда я спросил, что на оба ряда пошло 14 палочек. Разумеется, ей пришлось пересчитать их. Я написал на другом листке 14 и поставил рядом птичку.

Затем я сказал: «А теперь сделай ты». Она смешала мои ряды с остальными палочками, затем вытащила из кучи несколько и выложила из них два ряда по шесть палочек. Я спросил, сколько палочек ей понадобилось, и она сосчитала — 12. Я написал это число на листке бумаги и поставил рядом птичку. Затем я спросил: если у нее 11 палочек, сможет ли она выложить два одинаковых ряда, чтобы ни одной не осталось? Она смешала свои 12 палочек с общей кучей, отсчитала из нее 11 палочек и попыталась выложить из них два одинаковых ряда. Через некоторое время она сказала: «У меня не получается». Я согласился, что и не могло получиться, нарисовал цифру 11 и поставил рядом большой крест.

После этого я сказал: «С некоторыми числами получилось, как с 10и 14, ас другими, как 11, не получается. Начни с шести и скажи мне, с какими числами это выходит и с какими нет». После того, что мы уже сделали, такое задание было понятно. Она отсчитала 6 палочек и расположила их в 2 ряда. Я написал 6 и поставил птичку. Но тут меня ждал сюрприз.

Вместо того чтобы добавить еще одну палочку и получить 7, она сдвинула все шесть в общую кучу и отсчитала заново 7 палочек, постаравшись выложить из них два ряда. Через некоторое время она сообщила: «Не получается». Я написал 7 и поставил рядом крест. И опять она сдвинула все палочки в общую кучу и отсчитала 8, составила из них два ряда по 4 палочки и сказала: «Из 8 получилось». Точно так же отсчитав заново 9 палочек и не сумев составить из них 2 ряда, она сообщила мне об этом. Эта процедура продолжалась, пока мы не добрались до 14.

Затем она сделала крупный шаг. Разложив в два ряда 14 палочек, она достала еще одну и получила 15. Просто добавив новую палочку в один из рядов, она тут же сообщила, что из 15 «не получается». И снова, оставив ряды, она добавила новую палочку к короткому ряду и сказала, что из 16 «получается». Этим куда более эффективным процессом мы вскоре перевалили через 20, а после 24, не добавляя новой палочки, сказала: «Из 25 не получится». Она продолжала все с большей скоростью и уверенностью, пока мы не достигли 36. Здесь она перестала называть нечетные числа и сказала: «Из 36 получится, из 38 получится, из 40 получится...» — и продолжала так до 50, на чем мы и остановились.

Мы отдохнули немного, построив из палочек домики, а затем перешли к следующей задаче. На этот раз я выложил три ряда одинаковой длины и спросил, какие числа начиная с 6 подойдут в данном случае. К моему удивлению, девочка не смогла выложить из 6 палочек 3 равных ряда, а пыталась расположить их в последовательности 3 —2 —1. Я помог ей, и она начала работать, сделав шаг от задачи из двух рядов. Когда я сложил из 6 палочек 3 ряда по 2 палочки и записал цифру 6, она добавила палочку к одному из рядов и сказала, что из 7 «не получается», добавила палочку к другому ряду и сказала, что из 8 тоже «не получается», затем добавила палочку к третьему ряду и сообщила, что из 9 «получилось». Таким образом мы дошли до 15 или 18. И тут она перестала добавлять палочки и сказала: «Из 19 не получится, из 20 не получится, а из 21 получится». Когда мы дошли до 27, она стала просто перечислять числа, с которыми «получится», — 30, 33, 36, 39.

Задачу для 4 рядов мы начали с числа 8. Посмотрев на палочки, она сказала, что из 9, 10 и 11 «не получится», а из 12 «получится».

Далее без помощи палочек она сказала, что из 13, 14 и 15 «не получится», а из 16 «получится». Так она отметила числа 20, 24, 28, 32 и т. д. В задаче для 5 рядов, которую мы начали с 10, с помощью палочек добрались до 15, и после этого она начала прибавлять по 5.

Люди, которым я описал эту работу ребенка, были крайне удивлены. Они не могли представить, что даже безнадежно неуспевающая ученица со скудными способностями к математике потратит столько сил и неэффективных действий, чтобы решить такую простую задачу. Однако факт остается фактом. Нам, учителям, бесполезно повторять, что дети должны знать больше, должны понимать лучше, должны уметь работать более эффективно. Причина, по которой этот бедный ребенок едва ли что-то узнал за шесть лет обучения в школе, заключается в том, что никто не подумал начать обучение с того уровня, на котором девочка фактически находилась. И она смогла сделать большой прогресс за одно занятие именно потому, что мы начали с уровня ее понимания, от которого она начала двигаться эффективно вперед без посторонней помощи.

Хотя на этот день у меня была намечена интенсивная работа с пятикласниками, я был очень рад позаниматься с Дороти. Я не думаю, что она усвоила больше Теда из того, что я ей показал. Но, по крайней мере, теперь у нее был опыт решения задач, которые она поняла, а это значит, что она смогла почувствовать силу собственного разума. Задача, моя задача, вероятно, казалась ей бессмысленной и нелепой, но решение она все-таки нашла сама.

Я думаю, что было бы глупо и вредно предлагать всем маленьким детям решать подобного рода задачи по всей процедуре, описанной выше. Однако это может оказаться очень полезным как детям, так и взрослым — вынести для себя урок, то есть понять, что даже задачи, кажущиеся нам ужасной головоломкой, можно решить на основе простых математических законов.

Я подозреваю, что взрослые, у которых трудности с основами арифметики и страх перед ней, с помощью описанных упражнений могут почувствовать себя куда более уверенно и даже обрести вкус к этой науке. Как и Дороти, они могут почувствовать удовлетворение от того, что «секрет разгадан».

Нет необходимости пользоваться более дорогими материалами, чем палочки Куизенера, для подобных задач. Подойдут любые мелкие предметы — спички (горелые), зубочистки, кусочки картона и т. п.

Марта 1961 г.

 

Ряд детей работает над задачей, которая может быть сформулирована так: «Найти число квадратов, которые можно разместить на прямоугольнике шириной более одного квадрата». Ясно, что ответом может быть любое число, за исключением простых чисел. Я свел эту задачу к более простой, предложив построить из квадратов прямоугольник с дыркой посередине, равной по величине одному квадрату. Способные ученики, как Терри, подошли к задаче систематично. Они начали строить минимальный по размерам прямоугольник вокруг центральной дырки, то есть образуя вокруг нее пояс толщиной в один квадрат. На это понадобилось 8 квадратов. Затем они начали строить большие по размерам прямоугольники, но так, чтобы дырка оставалась в центре. Вскоре Терри заметил, что такой прямоугольник должен иметь стороны с нечетным числом квадратов — 3 х 5, 7 х 3 и т. д. Вскоре он мог сказать уже без построений, какие числа подойдут и какие нет.

Тугодумы, подобно Энди, подходят к задаче совершенно иначе. Такой ученик обычно берет 16 палочек, составляет из них квадрат 4 х 4 и потом долго думает, как удалить одну, чтобы дырка была в середине, но как он ни старается, ничего не получается. Бесплодные попытки образовать дырку в середине утомляют его, но, как ни удивительно, не пугают. Он работает смело и целеустремленно. В конце концов он начинает понимать, что для решения нужен прямоугольник с нечетными сторонами, но даже теперь не видит, что подойдет любой такой прямоугольник. По сравнению с Терри его метод решения неуклюж и неэффективен, но самое важное — что это его метод, в точности соответствующий его складу ума, и что он этим багажом смог воспользоваться.

Мы должны уметь придумывать или брать из жизни задачи, которые дети смогут решить самостоятельно и сделать при этом для себя важные выводы. Такие задачи должны вырабатывать в них своего рода самонастраивающийся и самообучающийся математический механизм, причем так, чтобы ребенок мог закладывать в него программу все более сложную по мере своего роста. Однако такой подход к обучению математике, как и другим предметам, требует от учителя, чтобы он перестал думать о способе или наилучшем способе решения задач. Мы должны понять, что дети, решающие задачу пусть примитивным методом проб и ошибок, малоэффективным, но делают для себя открытия полезные и волнующие, и к этим открытиям нужно проявлять такой же интерес и так же поощрять их, как и более сложные открытия успевающих учеников. Когда Дороти после долгих и тяжких трудов открыла для себя, что каждое второе порядковое число делится на два, а каждое третье делится на три, она сделала для себя такой же большой интеллектуальный шаг вперед, как школьники, открывшие для себя некоторые законы экспонент.

Иными словами, изобретение колеса для своего времени было не менее крупным шагом вперед, чем изобретение самолета, а по сути и куда крупнее. Мы, учителя, должны безошибочно распознавать те моменты, когда ученики, фигурально выражаясь, «изобретают колесо» и тогда они «изобретают самолет», причем изобретатель колеса требует не меньшего внимания и похвал, чем изобретатель самолета. A самоеглавное, мы должны устоять перед большим искушением показать отстающему ученику колесо, чтобы он поскорее мог перейти к работе над самолетом. В математике точно, а может быть и в других предметах, всякое знание, которое не было добыто самим ребенком, скорее всего покажется ему бесполезным и вскоре будет забыто.

Эти головоломки или задачи на составление прямоугольников или прямоугольников с дырками посередине показались детям достаточно интересными, по крайней мере в школьных условиях. Я сильно сомневаюсь, что дети будут тратить свое свободное время на составление и решение подобных задач. Как и другого рода задачи, описанные выше, они могут быть интересны и полезны особенно тем детям и взрослым, у которых ярко выражена математическая боязнь.

Многие важные математические законы были открыты на основе таких простых игр, как полимино — составление различных фигур из одинаковых квадратиков (см. рис.). Разумеется, для занятий с полимино и с теми головоломками, которые я давал ученикам в классе, палочки Куизенера не требуются: квадратики можно вырезать из плотной бумаги или картона.

Мая 1961 г.

 

Умелая рекламная кампания была проведена в отношении так называемой новой математики. О ней говорили все, и школа или учитель, не взявшие ее на вооружение, казались безнадежно отсталыми. В определенной части эта новая математика действительно хороша. То тут, то там происходят истинно революционные изменения в преподавании математики. Дети находят что-то новое для себя, а не отвечают на вопросы, опираясь на намеки и наводящие вопросы. Но таких мест в новой математике немного. Большая ее часть — то же плохое, что было и в старой математике, и в целом она напоминает книгу кулинарных рецептов. И хорошо еще, если эта книга содержит нужные вам рецепты и написана простым и ясным языком.

Многие из них содержат массу двусмысленностей и плохо подобранных примеров. Материал предполагает наличие у детей знаний, которыми они в действительности не располагают. Они не наводят прочный мост между известным и реальным, с одной стороны, и неизвестным, абстрактным — с другой. Зачастую они слишком объемны, а материал при этом изложен бессвязно или слишком прямолинейно, по принципу «вопрос—ответ». Короче, книги эти не оправдывают той рекламной шумихи, которая вокруг них была поднята. А некоторые дети, которые ими пользовались, так и остались сбитыми с толку, напуганными, как и раньше.

Сеймур Пейперт, профессор математики и образования в МП, сказал о новой математике следующее:

«Реформа курса новой математики шестидесятых годов — это попытка изменить содержание школьной математики. Но далеко идущими эти изменения не стали. Дело не пошло дальше суммирования, хотя и разными способами. Тот факт, что суммирование выполняется рядами, а не числами, а арифметика основана на двоичной системе вместо десятичной, принципиального значения не имеет. Такая математика не развивает изобретательность творчески одаренных детей. Само название — «Новая математика» — неправомерное употребление терминов; слишком мало в ней содержится нового. Она появилась не в процессе изобретений детей-математиков, а как результат тривилизации математики взрослых математиков».

Но даже если бы новая математика и была хороша — а некоторые ее части составлены действительно неплохо! — она никогда не совершит коренного изменения в преподавании математики, поскольку учителям сказали, что они должны ввести новую математику в своих классах, нравится им это или нет. Единственный способ внушить учителям новые методы преподавания — это сказать им: «Вот идея, которая, по нашему мнению, понравится вам, и если она понравится, и только если понравится, вы можете подумать о том, чтобы опробовать ее в работе с детьми». Исключительно с таких позиций мы с Биллом Халлом познакомились с палочками Куизенера. Никто в школе не приказывал нам пользоваться ими. Только по собственной инициативе мы заказали их для своих классов, попытались хорошенько продумать, как лучше ими воспользоваться.

Единственный вид педагогических исследований, способный поднять уровень преподавания, — это исследования, проводимые самими учителями в своих собственных классах и направленные на то, чтобы решить именно их проблемы. На деле же многие учителя, пользующиеся в преподавании результатами своих исследований, попадают в сложные ситуации, даже если новые методы показали лучшие результаты. Заставить учителей проводить такие исследования невозможно, да большинство из них и не захочет этим заниматься, предпочитая прислушиваться к мнению других и не брать на себя лишнюю ответственность. Однако те учителя, которые стремятся находить и использовать новые методы преподавания, заслуживают всяческого поощрения. Ни одна из трех школ, в которых мне довелось работать, не проявила никакой поддержки моим усилиям найти новые пути преподавания, даже если положительные результаты, и порой просто удивительные результаты, были налицо.

Дети не могут узнать многое из «кулинарной книги», даже из самой хорошей. Ребенок учится каждую секунду, но не тем способом, который кажется наилучшим нам, а тем, который наиболее удобен ему, то есть в наибольшей степени соответствует складу его ума, его менталитету. Учителям это трудно понять, а еще труднее — тем, кто придерживается «уставных» принципов в преподавании и за это на хорошем счету у администрации. Чем больше мы знаем о структуре нашего собственного мышления, тем больше искушение перенести эту структуру полностью в умы детей. Но это невозможно сделать. Эту структуру они должны построить сами. Я могу видеть, что факт А и факт В взаимосвязаны друг с другом посредством связи С, но я не могу внедрить эту связь в сознание ребенка, просто рассказав о ней. Он может запомнить факты и то, что я говорил об их взаимосвязи, но вполне вероятно, что мои слова отложатся у него в голове как три факта, А, В и С, никак не связанных друг с другом.

Возьмем, к примеру, два факта: 2x9= 18 и 2 х 10 = 20. Большинство детей и многие учителя рассматривают эти факты в отрыве друг от друга, учебники предпочитают переходить сразу к умножению на 10 и 100. Однако эти два факта связаны друг с другом, и связь эта выражается в том, что десять пар больше, чем девять пар. Зная это, я могу смело утверждать, что 1000 х 2 должно быть больше, чем 999 х 2, ровно на 2, а раз так, то, не выполняя умножения, я могу сказать, что 999 х 2 равняется 2000—2, то есть 1998. Однако я неоднократно убеждался, что многие ученики относятся к этой связи как к третьестепенному факту, который лишь усложняет понимание и никак не соотносится с остальными. Ребенок может сам установить, например, что если 2x75 = 150, то 2 х 74 должно равняться 150—2, то есть 148. Пока он сам к этому не придет, никакие рассуждения не толкнут его на новый шаг — увидеть, что поскольку 3 х 50 = 150, 3 х 49 должно равняться 150—3, то есть 147.

Я уже давно пришел к выводу, что, хотя у детей неплохо развито индуктивное мышление, даже лучшие ученики редко могут привести примеры любых обобщений, какие им доводится знать. А причина, по которой они пользуются лишь немногими обобщениями, о которых узнают в школе, заключается в том, что не они сами сделали эти обобщения и в их сознании они не связаны с реальностью. Конкретная математическая задача, которую я предложил детям, давала им шанс сделать собственное обобщение — базу, на которой можно было строить знания дальше. Однако такого рода задачи было трудно применить к практике, к обычному курсу обучения арифметике — операциям с числами. Затем я увидел работу профессора 3. Динеса, английского математика и преподавателя, тогда работавшего в Гарварде, и мне открылись новые возможности.

Профессор Динес разработал способ преподавания математики, который он назвал «математическая лаборатория». Этот метод уже широко применялся в целом ряде школ Англии.

Детям дают различного рода материалы и предоставляют широкое поле для экспериментов с ними: определить, сколько одних предметов требуется, чтобы составить другой, как составную фигуру одной формы преобразовать в другую и т. д. Никто не подсказывает детям, как и что делать, они ищут пути решения задач сами. Если эксперимент оказывается слишком сложным, его упрощают. А найдя ответ, дети записывают его. Со временем они начинают видеть, что то, что они делали однажды, довольно похоже на то, что они делали в другой раз. На основе этого сходства они начинают делать обобщения, пока наконец не обретают способность решать задачи в уме, без помощи материала. Это означает, что дети усвоили принцип, воплощенный в задаче.

Как материалы, так и эксперименты с ними могут быть самыми различными. Дети находят их столь занимательными и интересными, что в некоторых школах целые классы по сорок человек занимаются ими, причем даже в отсутствие учителя. Некоторые из этих материалов помогают познать то, что знают немногие из них, — значение и использование основы нашей системы счисления — десятичной. В математической лаборатории много других материалов, в том числе и кажущихся взрослым слишком сложными, однако дети занимаются ими с удовольствием и вполне справляются с заданиями.

Нет причин, почему бы с помощью этих материалов, палочек Куизенера и других пособий, которые могут придумать изобретательные учителя, не учить арифметике в полном объеме и многим смежным вопросам лабораторным методом. Понадобится некоторое время на то, чтобы выяснить, какого рода материалы наиболее интересны детям, и привнести в них математический смысл, какие эксперименты дети будут выполнять с наибольшим удовольствием и с минимальным вмешательством учителя. Однако все это может быть сделано школой или учителями, которые понимают общий метод и принципы, на которых он основан, заинтересованы в том, чтобы у детей появились реальные знания, а не только хорошие оценки на экзаменах. В таких школах математика может со временем стать одним из самых популярных и конструктивных курсов, а не ненавистным, источником реальных и полезных знаний, а не абстрактных и оторванных от жизни, развивающим сообразительность, а не убивающим ее.

Меня очень захватила идея математической лаборатории, некоторых собственных материалов Динеса и перспектива разложить их перед детьми и предложить занимательные задачи, чтобы дети не только научились чему-то, но и полюбили математику. Иными словами, я надеялся сделать с этими материалами то, что Сеймур Пейперт надеялся сделать когда-нибудь с определенного рода компьютерами,

Одна из главных задач нашей начальной школы — научить детей основе системы счисления и месту в ней цифр. Учителя считают, что, если дети поймут это, они перестанут делать множество смешных ошибок в арифметических действиях, увидят в них логику и, таким образом, усвоят все действия школьной программы.

Динес придумал и предложил использовать материал, названный им многобазовыми кубиками. Наборы кубиков могут иметь базу 2, 3, 4, 5 и 10, соответственно системам счисления от двоичной и троичной до десятичной. Набор для базы 10 содержит ряд одиночных кубиков из дерева с ребром в 1 единицу (порядка 1 см); ряд деревянных планок шириной в 1 единицу и длиной в десять раз больше, представляющих собой число 10; ряд деревянных пластин толщиной в 1 единицу и длиной и шириной в 10 раз больше, представляющих собой число 100; несколько деревянных кубов с ребром в 10 единиц, представляющих собой число 1000.

Набор для базы 2 состоит из одиночных кубиков того же размера, планок длиной в 2 единицы и пластин толщиной в 1 единицу и длиной и шириной по 2 единицы. Аналогичным образом строятся наборы для баз 3, 4 и 5.

Замысел заключается в том, что дети начнут делать «эксперименты», которые по сути являются арифметическими задачами, и начнут пользоваться данным материалом для размышлений и для проверки ответов. Короче, эти пособия должны помочь им. Воодушевившись такими возможностями, я заказал многобазовые кубики (за свой счет) и экспериментальные карты, входящие в набор. Получив заказ, я принес все это в класс и предложил детям самим решать, какие эксперименты делать.

В целом, по крайней мере поначалу, дети очень заинтересовались этими приспособлениями, а я ждал, когда начнется их независимое математическое образование. Однако меня ждал суровый удар. Когда я взглянул на первые «результаты эксперимента», то увидел, что, за несколькими исключениями, ответы были не только неверными, но и абсурдными. Дорогие и, как мне казалось, самообучающие материалы в действительности не научили их ничему. Я оказался на том же низком уровне, как с Эдвардом, Дороти и другими.

Нельзя также сказать, чтобы дети надолго заинтересовались выполнением экспериментов. Они были не больше заинтересованы, чем головоломками и задачами, которые я придумывал для них, то есть почти нисколько.

Я подождал немного, рассчитывая, что дети научатся извлекать пользу из многобазовых кубиков. Но. никакого улучшения не произошло. Дети, которые и так понимали принципы системы счета, хотя бы интуитивно, понимали связь между написанными цифрами и действиями с ними и с кубиками. Дети, которые могли перевести 101 в двоичной системе счета или 322 в четверичной в эквивалентное число в десятичной системе без использования кубиков, могли бы использовать кубики для проверки своих ответов. Но дети, не способные на решение таких задач без кубиков, не могли осилить их и с кубиками тоже. Таким образом, дети, уже знающие, что куб в базе 2 состоит из 8 единиц, а в базе 4 из 64 единиц, могли проверить сами, что это именно так. Однако дети, для которых эти истины неочевидны, могли спокойно сказать, что куб в базе 4 состоит из 211 или 83 единиц, или любого другого числа, которое придет им в голову. Они воспринимают кубики абстрактно, без связи с реальностью, как нечто таинственное, произвольное и капризное.

И я решил отложить многобазовые кубики. Это оказалось очень просто. Как только я перестал понуждать детей пользоваться кубиками, через некоторое время они и сами перестали ими пользоваться. Я оставил их в комнате, где каждый желающий мог взять их, но никто не брал. К счастью, в отличие от большинства учителей я мог свободно перестать пользоваться тем, что не работало. Никто не заглядывал мне через плечо и не говорил, чем мне пользоваться и чем нет.

Я решил разработать свой собственный математический материал. Этому способствовала и позиция инспекторов народного образования, задачей которых было просто извещать учителей о новых методах и материалах, а также оказывать помощь тем из учителей, которые пожелают этими возможностями воспользоваться.

Я подумал, что если бы я был инспектором в школе, то смог бы влиять на преподавание математики во всей школе, а не только в своем классе. Я предложил свою кандидатуру и получил согласие, хотя жалованье мне назначили вдвое меньшее — около 2000 долларов.

Теперь я понимаю, что школа была в меньшей степени заинтересована в этих исследованиях, чем я сам, и администрация только облегченно вздохнула, освободив меня от преподавания. Год спустя мне сказали, что я могу продолжить исследования в школе, но за свой счет, поскольку у школы на это денег нет. Так я работал бесплатно еще год, пока не попросился обратно в пятый класс. Однако мне отказали.

Но даже если бы школа и согласилась платить за мои исследования, в должности инспектора я мало что мог сделать. Я понимал, что только благодаря моим материалам и идеям класс стал желанным местом для моих учеников, где они узнали больше, чем за все предыдущие годы, но это в большой степени личностный фактор. Не как изобретателя учебных пособий любили меня дети, а как человека со множеством интересов, любителя книг, спорта и музыки, очень терпеливого по отношению к ним, одним словом — как человека, который говорит то, что думает и чувствует, а главное — любит детей, доверяет им и относится к ним с уважением.

Теперь я уже не обольщаюсь на счет придуманных мною пособий. Если бы я преподавал в школе или на дому, я был бы рад иметь под рукой палочки Куизенера, но за свои деньги покупать их я стану далеко не в первую очередь.

Что же нужно, чтобы сделать мир чисел привлекательным для детей, более доступным и интересным?

Необходимо помнить о следующих принципах:

1. Чтобы научиться, дети не нуждаются в том, чтобы их учили. Они узнают достаточно, а может быть даже больше, если начнут думать сами.

2. Детей очень интересует мир взрослых и то, что мы делаем в нем.

3. Дети узнают больше, когда изучаемые вопросы вплетены в контекст реальной жизни, связаны с практикой.

4. Дети учатся лучше, когда перед ними поставлена конкретная, достижимая и серьезная цель.

В области математики это означает следующее: чем лучше дети будут видеть, как мы пользуемся числами, тем больше они будут пользоваться ими, как мы.

Что мы, взрослые, делаем с числами? С их помощью мы измеряем величины, коих в реальном мире огромное множество. Почему? Чтобы знать их количественную меру и лучше использовать. Мы измеряем, чтобы определить, лучше мы делаем что-то или хуже, какой из возможных путей достижения цели короче, где мы находимся и куда направляемся и т. д. Мы ничего не измеряем ради праздного любопытства.

Поскольку все это чрезвычайно интересно и важно для нас, значит, заинтересует и детей.

Мы должны познакомить детей с числами, дав им как можно больше измерительных инструментов — линеек, рулеток, весов, хронометров и секундомеров, термометров, метрономов, барометров, люксо-метров, шумомеров и т. д. Что бы мы ни измеряли, мы должны делать это так, чтобы дети видели, как мы это делаем, и могли повторить наши действия. Они должны знать, что мы думаем о тех параметрах, которые измерили.

Детей интересует собственное тело — рост, подвижность, сила. Я предложил целый ряд экспериментов, в ходе которых могли бы измерить размеры своего тела, силу и скорость, а также зафиксировать изменения этих величин в разных условиях. Так, дети могут измерять частоту своего дыхания, пульс, затем повторить измерения после физических упражнений, затем через регулярные интервалы времени проследить, как эти параметры восстанавливаются до нормальных. Дети могут выполнять различные испытания на скорость и силу путем забегов на отмеренную дистанцию, или подъема тяжестей, или иных упражнений, а затем следить, что получается, если эти упражнения повторить после некоторого отдыха, и как их скорость, сила и время восстановления изменяются изо дня в день, из месяца в месяц.

Помимо того, что тут не обойтись без чисел, это еще и чистая наука, а не пассивное изучение отвлеченных предметов в школе, за партой, когда детям рассказывают о замечательных открытиях, сделанных учеными, или о ложных методах других школ, где детям предлагают с помощью «экспериментов» установить то, что уже давно известно, или где дети просто отвечают на вопросы учителя и получают за свои ответы соответствующую оценку.

Детей интересуют деньги отчасти из-за того, что они сами могут сделать с ними что-то, отчасти из-за того, как ими могут распорядиться взрослые, а кроме того, потому что взрослые ценят деньги.

Все дети старше десяти лет, а некоторые и младше, прекрасно знают, что взрослые думают и говорят о деньгах, и становятся сами весьма озабоченными этим аспектом жизни.

Если бы я снова очутился в своем пятом классе, я не только рассказал бы им как можно больше о роли денег в мире, но и поведал бы все о денежной стороне моей собственной жизни — как я получаю деньги, как их трачу, как коплю и т. д. Я бы показал им финансовые отчеты компаний, акции которых я имею, месячный отчет моего банка, чековую книжку, векселя, налоговые счета и прочее.